金屬熔滴與基板碰撞變形的數值模擬

曾祥輝，齊樂華，2，蔣小珊，楊 方

(1.西北工業(yè)大學機電學院，710072西安，zxianghui@mail.nwpu.edu.cn; 2.西北工業(yè)大學現代設計與集成制造技術教育部重點實驗室，710072西安)

熔滴沉積增材制造工藝是將噴墨打印技術的思想應用到制造領域而開發(fā)的一種快速成形技術.該工藝將微小熔滴逐點逐層堆積實現三維成型.西北工業(yè)大學對熔滴沉積增材制造的快速成型工藝進行了廣泛研究［1-3］，制備得到各種異性金屬件.熔滴的快速固化使制件微觀結構和力學性能較其他制造方法有很大程度的提高，具有廣闊的應用前景.

熔滴與基板以及熔滴間碰撞后變形和凝固直接影響熔滴間結合強度及成型精度，具有重要的研究意義.Christoulis等［4］研究了不同溫度銅熔滴與不銹鋼基板碰撞變形過程中的凝固和結晶情況.Escure等［5］討論了熔滴與基板的高速碰撞特性.Salimijazi和Cédric等［6-7］從理論計算和實驗2方面對金屬熔滴與基板碰撞后的冷卻速率和凝固特性進行了研究.上述研究的熔滴碰撞速度都很大，而熔滴沉積增材制造工藝的碰撞速度一般在10 m/s以下.試驗只能觀測到熔滴的外部形態(tài)變化［8-9］，無法掌握內部溫度場和凝固層變化.基于此，本文建立了熔滴與基板碰撞的理論模型，研究了錫熔滴在低速碰撞后的變形及凝固規(guī)律，為金屬熔滴沉積增材制造提供指導.

1 數值建模方法

1.1 流動控制方程組

采用VOF兩相流模型進行求解，其基本控制方程包括連續(xù)方程、動量方程和能量方程等.

假設熔滴體積不可壓縮且相變過程中密度不變，則二維連續(xù)方程為

式中u和v分別為熔滴在x和y方向的速度.

采用動量方程對整個區(qū)域進行求解，所得速度場為氣、液兩相共用，其動量方程組為

式中:μ為動力粘度;p為壓強;Gx和Gy分別為橫向和縱向體積力.密度ρ的計算為

式中:F為每個單元中目標流體的體積分數;下標1，2分別為空氣和熔滴.

熔滴的能量包括熱能和機械能.由機械能轉化的熱量與熔滴自身所帶熱量相比很小，可以忽略不計，所以能量守恒方程可以簡化為

式中:T為溫度;cV為比定容熱容;λ為導熱系數.

在VOF模型中，每個單元中的溫度T取其中各相質量分數的平均值，即

式中各相溫度Ti基于該相的熱物性參數求得.

1.2 自由表面跟蹤方法

采用VOF方法對熔滴與基板碰撞變形的自由表面進行追蹤［10］.定義熔滴為目標流體，則每個單元的流體體積分數F為

設計算區(qū)域中目標流體和另一種流體所占區(qū)域分別為Ω和Ω'，自由表面為Γ，(i，j)為單元坐標，則有

則VOF控制方程為

求解式(9)即可獲得每個時間步后所有單元的F值，把F值介于0～1的網格相連就得到了更新的自由表面Γ.

1.3 凝固界面跟蹤方法

熔滴與基板及空氣發(fā)生熱量交換，當某點溫度下降到熔點溫度以下時發(fā)生凝固.如圖1所示.熔滴內部自下而上發(fā)生凝固，凝固界面Y(t)溫度為Tm，隨著熱量的散失，Y(t)不斷上移，直至整個熔滴都成為固相.為在數值求解中區(qū)分熔滴內部的固液相區(qū)，需定義單元液相體積分數β［11］，通過計算得到所有單元的β值，從而實現對凝固界面的追蹤.為使整個計算區(qū)域所有單元對β都有意義，規(guī)定:氣體區(qū)域單元的β值都為1;固體區(qū)域(基板)單元的β值為0，熔滴內部單元的β值定義為

式中Tm為金屬熔點溫度(純金屬的固相線溫度和液相線溫度相同，統(tǒng)一稱為熔點溫度).為了避免出現速度突變，假設液相線和固相線溫度之間有個極小的溫度區(qū)間δ，重新定義β為

圖1 熔滴變形過程中的凝固示意

對每個時間步內的β值進行求解判定，把β值相同的單元相連就得到了新的凝固界面.

2 數值求解及關鍵技術

將流體動力學控制方程、自由表面跟蹤算法和凝固界面跟蹤算法相結合，建立液固碰撞的數值計算模型，然后利用FLUENT進行求解.

2.1 計算區(qū)域確定

本文主要考察單個熔滴與基板碰撞過程中形態(tài)和凝固層變化.為減少計算時間，只對區(qū)域的1/2進行求解并擴展至整個區(qū)域.如圖2所示，選擇的計算區(qū)域包括流體區(qū)域(A區(qū)熔滴和B區(qū)空氣)和固體區(qū)域(C區(qū)基板).初始狀態(tài)定義熔滴與基板點接觸.

圖2 模擬區(qū)域

2.2 材料屬性設置

FLUENT中采用兩相流模型計算目標流體的凝固時，目標流體相需設置合理的熔化潛熱、液相線和固相線溫度等熱物性參數;而空氣中此3個參數值必須設置為0.固體區(qū)域只涉及熱量的傳遞，因而只需定義密度、導熱系數和比熱容即可.模擬所用的錫熔滴、空氣和不銹鋼的物性值如表1所示.

表1 模擬所用材料的物性值

2.3 定解條件設置

邊界包括計算區(qū)域固定邊界和區(qū)域內部的運動邊界，如圖2所示.固定邊界包括:左邊界是對稱軸;上邊界和右邊界為大氣邊界;基板的下面和右面邊界為絕熱壁面;流體區(qū)域和固體區(qū)域的交界面為雙邊熱耦合壁面.計算區(qū)域內部運動邊界包括熔滴和空氣交界的自由表面、熔滴內部固相區(qū)和液相區(qū)交界的凝固界面.自由表面隨熔滴形態(tài)的變化而變化，通過單元流體體積分數F進行追蹤判定.凝固界面隨熔滴形態(tài)和溫度的變化而變化，通過單元液相體積分數β進行追蹤判定.

初始條件設置包括邊界和區(qū)域內部參數的設定，如壓強、溫度、速度等，須特別注意流體區(qū)域內流體體積分數F和液相體積分數β的設定.初始狀態(tài)熔滴的F值為1(與熔滴內部是否發(fā)生凝固無關)、空氣的F值0.假設熔滴內部溫度均勻且在液相線溫度以上，初始狀態(tài)整個流體區(qū)域(包括熔滴和空氣)的液相體積分數都為1;液相體積分數為0的單元有2種情況:基板區(qū)域內單元液相體積分數始終為0，當熔滴內部單元的溫度下降到熔點溫度以下時，其液相體積分數變?yōu)?.固體區(qū)域只參與熱量的傳遞，只需設置溫度和邊界的導熱條件即可.

3 模擬結果與討論

3.1 溫度場分析

熔滴變形的同時與周圍發(fā)生熱交換，其形變和凝固相互影響，而溫度是反映整個計算區(qū)域能量分布最直觀的參數，首先對模擬得到的溫度場進行分析.圖3為直徑200 μm錫熔滴以2 m/s的初速度與基板碰撞后的溫度場分布，其中:熔滴初始溫度506 K;基板和空氣初始溫度290 K.熔滴把熱量傳遞給空氣和基板，自身溫度從心部向四周逐漸降低，空氣和基板溫度則逐漸上升.由于基板熱傳導系數較空氣大，單位時間內從熔滴傳遞給基板的熱量比傳遞給空氣多，因此等溫線在液固交界面上形成一個凹陷的拐點.熔滴傳遞熱量的同時還有形變，所以拐點的位置隨著熔滴的鋪展而向外移動.

3.2 變形及凝固分析

為進行直觀比較，將熔滴的外觀形態(tài)和內部凝固層的變化在圖4中對比分析，計算過程和圖3完全一樣.其中:左圖是熔滴不同時刻的形態(tài)變化(熔滴在基板上逐漸鋪展，鋪展半徑不斷變大);右圖是對應相同時刻熔滴內部凝固層的變化(0 μs時刻錫熔滴內部各點溫度都在液相線溫度以上，沒有凝固層).熔滴在基板上鋪展的過程中與周圍發(fā)生熱量交換，使凝固層出現并生長.熔滴內部凝固界面從無到有，向四周鋪展的同時還不斷向上運動.凝固界面從中間向四周略有傾斜，隨著時間的推移逐漸趨于水平.同時凝固層的外緣有一層很薄的糊狀區(qū)，會繼續(xù)沿著外緣向下緩慢流動，但是沒有對其進行深度細化，該區(qū)域并不明顯.熔滴的鋪展(右端)及凝固(左端)形態(tài)在80 μs后的差別很小，但凝固層表面的糊狀區(qū)仍有一定的鋪展速度，其鋪展半徑還會略有變大，液滴表面會趨于光滑，鋪展運動大約在150 μs時刻靜止.圖4左圖熔滴的鋪展半徑和右側凝固層的半徑完全相等，說明熔滴鋪展前沿的熱交換很劇烈，與基板接觸的瞬間就凝固.

圖3 溫度場變化(T0=506 K，V0=2 m/s)

全凝固是指熔滴內部液相率為0的狀態(tài)，半凝固指液相率達到50%的狀態(tài).熔滴沉積增材制造工藝要求熔滴之間很好的重熔，不能出現冷隔層或孔洞.文獻［12］指出:先后下落發(fā)生融合的2顆熔滴，前1顆熔滴處于半凝固狀態(tài)時候，其后1顆熔滴與之結合的效果最好.液相率太大會使前1顆熔滴坍塌，即變形過度;液相率太小則可能使2顆熔滴之間產生冷隔、孔洞等缺陷.可見熔滴半凝固狀態(tài)的參數直接關系到熔滴沉積增材制造制件的精度和強度.

熔滴內部自下而上發(fā)生凝固，其凝固界面的位置和對應時間等參數無法通過實驗測得，只能用計算的方法求出，然后再通過實驗進行間接的驗證.表2是計算錫熔滴在全凝固和半凝固狀態(tài)下所用時間、鋪展半徑和凝固層高度的數據.由表2可知，在相同的溫度下，初始碰撞速度越大，熔滴在基板上鋪展較快，熱量交換也較快，因此達到全凝固和半凝固狀態(tài)所用的時間短、對應鋪展半徑變大、凝固層高度變矮，且碰撞速度變化對各參數的影響很大.在相同的碰撞速度下，隨著初始溫度的升高，熔滴達到全凝固和半凝固狀態(tài)所用時間越長、對應的鋪展半徑較大、凝固層高度變矮.分析表2中半凝固時間可以掌握相鄰兩顆熔滴的間隔時間，例如表2中T0=508 K，V0= 4 m/s的熔滴達到半凝固狀態(tài)的時間為21.3 μs，根據這個時間來調整熔滴的下落頻率，使相鄰熔滴先后落到基板上的時間間隔約為21.3 μs，這樣就使前面的熔滴在半凝固狀態(tài)下和后面的熔滴結合.鋪展半徑和凝固層高度數據可用于指導基板的運動，保證相鄰熔滴的重疊率最為合適.

圖4 形態(tài)和凝固層變化(T0=506 K，V0=2 m/s)

表2 全凝固和半凝固狀態(tài)下相關參數的比較

3.3 模擬結果與實驗對比

圖5將模擬結果(左圖)和文獻［13］中的實驗照片(右圖)進行比較，二者的初始條件相同:初始溫度為519 K;錫熔滴以4 m/s速度與基板碰撞、基板的初始溫度為298 K.從右圖可以看出:實驗由于受基板表面粗糙度(Ra=0.06 μm)的影響，熔滴在鋪展過程中受到阻礙，因此圖5中鋪展熔滴的外沿存在許多指狀凸出.圖5中由于表面張力的影響，會使熔滴在鋪展達到最大半徑后略有回縮，模擬過程中也出現了相同的現象.如果忽略實驗基板表面粗糙度對熔滴鋪展的影響，模擬結果與實驗照片吻合良好，說明本文所建模型是正確的.

圖5 模擬結果與試驗照片對比

4 結論

1)根據兩相流模型，結合自由表面追蹤的VOF方法和凝固界面追蹤法則，建立了金屬熔滴與基板碰撞的理論模型，模擬結果與實驗結果基本吻合，表明了本文建模方法的正確性.

2)熔滴的溫度場變化和形態(tài)、凝固層的變化一致.熔滴碰撞后在基板上緩慢鋪展，其鋪展前沿和基板接觸的瞬間就發(fā)生凝固.熔滴凝固層從無到有，逐步向上生長完成.隨后，凝固層表面糊狀區(qū)的流動使熔滴繼續(xù)在基板上沿著徑向緩慢鋪展，最后完全凝固.

3)連續(xù)2顆熔滴垂直沉積時，前1顆熔滴處于半凝固狀態(tài)時，二者的融合性最好.

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