平移不變小波變換在消除電路噪聲中的應(yīng)用

謝琦，陳維義，林偉

（海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢 430033）

0 引言

現(xiàn)代火力控制系統(tǒng)中，對于各種故障的檢測十分復(fù)雜，而且在信號采樣的過程中常常不可避免地受到各種噪聲的污染，加大了檢測設(shè)備對故障檢測的難度。因此，去掉這些噪聲，可提高檢測系統(tǒng)對采集信號的檢測精度與可信度，對實現(xiàn)故障的準(zhǔn)確判斷是十分必要的。傳統(tǒng)的低通濾波法將含噪信號的高頻部分濾去，盡管達(dá)到了去噪的效果，但同時也破壞了信號的細(xì)節(jié)部分，損失了有用信息。

由于小波變換可同時做時頻分析，具有良好的局部化性質(zhì)，其多分辨率功能可聚焦到研究對象的任意細(xì)節(jié)，所以它一出現(xiàn)，便作為1種信號處理工具而得到了廣泛應(yīng)用。Donoho等在1994年首次提出了小波閾值去噪方法［1－2］并證明了該方法在Besov空間上可得到其他線性估計都達(dá)不到的最佳估計值。小波閾值法計算量小，去噪效果良好，得到了廣泛的應(yīng)用。但該方法去噪后的信號由于信號特征與小波基存在差異，在不連續(xù)領(lǐng)域容易產(chǎn)生Pseudo-Gibbs現(xiàn)象［3］，難以實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)。因此在標(biāo)準(zhǔn)正交小波變換的基礎(chǔ)上提出平移不變小波變換［4］，該方法能有效抑制Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，提高小波去噪能力。本文通過分析傳統(tǒng)正交小波變換的不足，提出以平移不變小波法與新閾值函數(shù)相結(jié)合來進一步改善Pseudo-Gibbs現(xiàn)象、提高信噪比、減小均方誤差，最后通過對實測數(shù)據(jù)的仿真計算，證明了該方法的有效性。

1 小波去噪方法基本原理

1.1 離散小波變換

常用的離散二進小波變換的分解與重構(gòu)一般采用Mallat算法［5－6］，過程如圖1所示。在對信號{aj}進行分解之前，先對數(shù)據(jù)邊界進行延拓，使其成為無限長信號，信號經(jīng)過小波低通濾波器Hj與小波帶通濾波器Gj后，對數(shù)據(jù)進行下采樣（↓2），截取部分系數(shù)作為{aj}的低頻近似系數(shù){aj+1}與高頻細(xì)節(jié)系數(shù){dj+1}。若進行下一級分解，仍舊對{aj+1}重復(fù)上述步驟，這樣每次輸出采樣率都可減半，保證了總的輸出系數(shù)長度不變;在重構(gòu)時，將{aj+1}與{dj+1}向上抽樣（↑2），然后分別作用于小波低通濾波器H'j與小波帶通重構(gòu)濾波器G'j，即可恢復(fù)上一尺度的{a'j}。

1.2 小波閾值法

一維含噪信號的數(shù)學(xué)模型可表示為:

式中:s（x）為有用信號;n（x）為噪聲信號，理想情況可看做高斯白噪聲，服從N（0，σ2）。記f（x）的小波系數(shù)Wf（j，x）為wj，x，s（x）的小波系數(shù)Ws（j，x）為uj，x，n（x）的小波系數(shù)Wn（j，x）為vj，x，閾值處理后的小波系數(shù)為w^j，x。

閾值法降噪的基本步驟如下:

1）含噪信號的分解。選擇合適的小波基并確定分解層數(shù)j，運用Mallat算法對含噪信號分解至j層，然后計算信號在各層的小波系數(shù)。

2）系數(shù)的閾值量化。選擇合適的閾值大小與閾值函數(shù)（軟閾值或硬閾值），對分解后每1層的高頻系數(shù)進行處理，得到新的高頻系數(shù)。

3）信號的重構(gòu)。將處理后得到的高頻系數(shù)與原低頻系數(shù)用Mallat算法進行信號重構(gòu)，得到去噪后的信號。

傳統(tǒng)閾值函數(shù)分軟閾值與硬閾值2種，其中硬閾值函數(shù)表達(dá)式為:

軟閾值函數(shù)表達(dá)式為:

1.3 離散小波變換的不足

由離散小波變換的過程可知，在尺度間的正交小波基是非一致降樣取樣的，隨著尺度的增大，取樣間隔以2的指數(shù)倍變大，因而不能從多尺度的角度很好的匹配信號的局部特征，所以該方法容易在信號的奇異點處產(chǎn)生Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。

2 平移不變小波變換

2.1 基本原理

在奇異點附近的鄰域內(nèi)，傳統(tǒng)小波變換去噪會表現(xiàn)出Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，其重構(gòu)的信號在奇異點附近交替出現(xiàn)較大的振蕩。該現(xiàn)象并不是信號固有的，而是去噪過程中產(chǎn)生的人為干擾［1］。因為小波變換的局部化特征，其振蕩幅度與奇異點的位置密切相關(guān)。例如，使用Haar小波基對噪聲信號作小波變換，當(dāng)奇異點位于n/2位置時，變換結(jié)果沒有出現(xiàn)異常;當(dāng)位于n/3位置時，將表現(xiàn)出顯著的Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。由以上分析可知，為消除小波去噪后的信號的振蕩現(xiàn)象，應(yīng)設(shè)法消除小波去噪在奇異點位置的特殊性。

平移不變小波去噪是在傳統(tǒng)閾值法基礎(chǔ)上的改進。其方法為對含噪信號進行n次循環(huán)平移，對平移后的信號使用閾值法進行去噪處理，然后對去噪結(jié)果求平均。

對于信號f（x），（0≤x≤N－1），定義Sh為循環(huán)平移h位的平移算子:

上面的算子是一一對應(yīng)的，稱為平移量。因此其逆為:

設(shè)信號進行閾值去噪過程為1個分析運算T，那么信號f（x）通過平移消除振蕩的過程可寫為:

對1個復(fù)雜信號，里面可能包含多個奇異點，對某個奇異點效果最佳的平移量對其他奇異點的效果可能很差，即難以得到對所有奇異點效果都最佳的平移量h。我們可以通過在一定平移范圍H（H的最大長度為原始信號的長度N）內(nèi)做循環(huán)平移運算，再平均所得的結(jié)果的方法來解決這一矛盾。則n次循環(huán)平移的平移不變小波去噪法可表示為:

其中，AVE表示“進行平均”。

2.2 平移不變小波變換去噪的基本步驟

1）對原始信號f（x）進行循環(huán)平移。

2）對平移后的信號做離散小波變換，得到各尺度上的小波系數(shù)wj，x。

3）對得到的各尺度上小波系數(shù)進行閾值處理，得到估計小波系數(shù)。

5）進行逆循環(huán)平移，然后求其平均值，這樣便得到去噪后的信號。

3 基于新閾值函數(shù)的平移不變小波去噪

當(dāng)α=0時，函數(shù)為多項式插值法，形式與硬閾值法近似相同;當(dāng)α=1時，函數(shù)形式近似與軟閾值法形式相同。以上方法使得到的在整個定義域內(nèi)都是連續(xù)且可導(dǎo)的，克服了硬閾值折衷法不連續(xù)性，軟閾值法導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的缺點。通過合理調(diào)整α的大小最小。本文將該新閾值法應(yīng)用于平移不變小波的去噪中，通過仿真實驗對該方法的效果進行了驗證。

圖4 新閾值函數(shù)Fig.4The new threshold function

4 信號采集與仿真處理

為了驗證提出新方法的有效性，在海軍某陸戰(zhàn)旅實驗場，使用串口輸出加ADSP-BF532處理器為核心構(gòu)建一嵌入式系統(tǒng)，對某型裝甲車勻速行駛時進行了火控系統(tǒng)的動態(tài)測試與數(shù)據(jù)采集，行駛速度為20 km/h，駕駛員加測試人員共3名，采樣頻率為10 kHz，得到了5組原始信號。經(jīng)計算分析，挑選其中信噪比為9.7523的1組數(shù)據(jù)進行去噪試驗。分別采用軟閾值函數(shù)法、硬閾值函數(shù)法、新閾值函數(shù)法、基于硬閾值的循環(huán)平移小波法、基于軟閾值的循環(huán)平移小波法與基于新閾值的循環(huán)平移小波法共6種方法，在Matlab下利用sym 8小波基對原始信號進行去噪處理，為更好地消除Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，采用完全平移不變?nèi)ピ敕?，令平移范圍H為:

其中，N為原始信號長度。

然后，對比各方法去噪后的信噪比SNR與均方誤差MSE。

信噪比定義為:

由仿真結(jié)果可見，基于新閾值的循環(huán)平移小波法的去噪效果優(yōu)于基于軟閾值的循環(huán)平移小波法，效果與基于硬閾值的循環(huán)平移小波法相當(dāng);傳統(tǒng)閾值去噪法中也是新閾值函數(shù)法效果最好。這說明基于新閾值的循環(huán)平移小波法去噪后的信號更接近與原始有用信號。此外，應(yīng)用上述方法對其他4組采集數(shù)據(jù)進行去噪處理，同樣取得了良好的效果。

5 結(jié)語

針對傳統(tǒng)小波閾值法的不足，將新閾值函數(shù)法與小波循環(huán)平移法相結(jié)合，使循環(huán)平移法去噪效果更好，并用該法對測試系統(tǒng)采集的火控系統(tǒng)信號進行了去噪試驗。結(jié)果表明，該方法相對傳統(tǒng)閾值法，有效地提高了信噪比，降低了均方誤差，很好地抑制了Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，使去噪后的信號更加逼近于原始的有用信號。其缺點是算法復(fù)雜度為O（Nlog2N）［4］，計算速度沒有傳統(tǒng)閾值法快，但也是可以接受的，為工程提供了1種實用的方法。

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