機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算方法

李四超，張代國(guó)，張強(qiáng)

（海軍駐鄭州地區(qū)軍事代表室，河南鄭州 450015）

0 引言

根據(jù)我國(guó)目前的實(shí)際情況，機(jī)械產(chǎn)品的可靠性工作必須從定性的設(shè)計(jì)、分析入手，發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，從而改進(jìn)設(shè)計(jì)，使定性分析起到影響設(shè)計(jì)、提高可靠性的作用;與此同時(shí)，還要通過積極的研究來逐步積累數(shù)據(jù)，以實(shí)現(xiàn)機(jī)械產(chǎn)品的定量設(shè)計(jì)和評(píng)估，從而驗(yàn)證可靠性是否達(dá)到了規(guī)定的指標(biāo)要求。本文研究重點(diǎn)是機(jī)械產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)可靠性的定量分析方法。在研究過程中，首先對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)（以下簡(jiǎn)稱結(jié)構(gòu)）可靠性一般的定量分析方法進(jìn)行了深入探討，在此基礎(chǔ)上，提出一種結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的改進(jìn)方法，可求解出一般結(jié)構(gòu)在確定置信度下的可靠性置信區(qū)間。

1 機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的一般方法

1.1 結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的基本假設(shè)［1］

為了進(jìn)行有效的結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算，做出如下基本假設(shè);

1）結(jié)構(gòu)強(qiáng)度為一非負(fù)的隨機(jī)變量或隨機(jī)過程，用R或R（t）表示;

2）應(yīng)力為一非負(fù)的隨機(jī)變量或隨機(jī)過程，用S或S（t）表示;

3）當(dāng)應(yīng)力不超過結(jié)構(gòu)強(qiáng)度時(shí)，結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是可靠的，否則被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)失效;

4）結(jié)構(gòu)失效僅由于應(yīng)力作用而發(fā)生;

5）計(jì)算應(yīng)力和強(qiáng)度的一切力學(xué)公式仍然適用，但公式中的確定量均視為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量或隨機(jī)過程。

1.2 應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型的建立

結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的理論基礎(chǔ)是應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型。在該模型中，應(yīng)力和強(qiáng)度均是概率意義上的量，設(shè)計(jì)時(shí)不能予以精確地確定，需要通過隨機(jī)變量的有關(guān)綜合運(yùn)算確定應(yīng)力和強(qiáng)度的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。隨機(jī)變量的計(jì)算目前主要有代數(shù)運(yùn)算、泰勒級(jí)數(shù)近似求解和蒙特卡洛模擬3種方法。

通過采用合適的隨機(jī)變量計(jì)算方法，可以得出應(yīng)力和強(qiáng)度2個(gè)隨機(jī)變量的分布。設(shè)應(yīng)力S的概率密度函數(shù)為fs（S），強(qiáng)度T的概率密度函數(shù)為fR（T），則結(jié)構(gòu)可靠度的表達(dá)式為［2］:

圖1為應(yīng)力S和強(qiáng)度T的概率密度函數(shù)曲線。圖中2條曲線的重迭部分稱為干涉區(qū)，它是結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)失效的區(qū)域。干涉區(qū)的面積愈小，結(jié)構(gòu)的可靠度就愈高;反之，可靠度就愈低。根據(jù)干涉區(qū)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的理論稱為應(yīng)力－干涉理論，這種模型稱為干涉模型。從干涉模型可以看出，欲確定結(jié)構(gòu)的可靠度R，

圖1 強(qiáng)度－應(yīng)力干涉示意圖Fig.1Stress-strength interferogram

必須研究應(yīng)力和強(qiáng)度2個(gè)隨機(jī)變量中一個(gè)超過另一個(gè)的概率，即:

式（2）是在應(yīng)力和強(qiáng)度相互獨(dú)立的假設(shè)下得出的。一般情況下，應(yīng)力和強(qiáng)度為獨(dú)立隨機(jī)變量的假設(shè)是正確的，這與工程實(shí)際相符。但有時(shí)就不能把應(yīng)力和強(qiáng)度考慮為獨(dú)立的隨機(jī)變量，譬如需要考慮結(jié)構(gòu)本身重量或由重量引起的自重應(yīng)力時(shí)，就須考慮它們的相關(guān)問題。此時(shí)，設(shè)應(yīng)力和強(qiáng)度的聯(lián)合密度函數(shù)為fS，T（S，T），則可得結(jié)構(gòu)可靠度普遍的表達(dá)式:

1.3 強(qiáng)度和應(yīng)力的確定方法

1）材料強(qiáng)度的獲取方法

在采用應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行分析時(shí)，關(guān)鍵是需要知道材料強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)承受應(yīng)力的分布及特征參數(shù)，只有在得出應(yīng)力和強(qiáng)度的分布參數(shù)后，才可根據(jù)式（3）對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性進(jìn)行分析計(jì)算。

經(jīng)過長(zhǎng)期研究，人們認(rèn)識(shí)到材料的強(qiáng)度服從正態(tài)分布，并得出了部分材料拉伸強(qiáng)度極限和屈服極限的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)，同時(shí)給出了材料變異系數(shù)的數(shù)值。大量統(tǒng)計(jì)表明:金屬材料強(qiáng)度的變異系數(shù)一般小于0.10，最大不超過0.15，當(dāng)變異系數(shù)小于0.3時(shí)，認(rèn)為材料的強(qiáng)度取正態(tài)分布是可以接受的。

變異系數(shù)按下式定義［3］:

一般材料特性的變異系數(shù)可參考表1。

在一般機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)中沒有給出強(qiáng)度（或屈服）極限的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只給出了材料強(qiáng)度的單一值，此時(shí)可認(rèn)為該單一值即為材料強(qiáng)度的平均值μr。若變異系數(shù)Cr為0.10，則強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為:

2）應(yīng)力的確定方法

應(yīng)力的均值可按傳統(tǒng)的材料力學(xué)方法進(jìn)行確定，即根據(jù)結(jié)構(gòu)承受的載荷，尺寸等變量按一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。采用該方法時(shí)，應(yīng)力均值的求解較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差的確定卻很復(fù)雜，此時(shí)可采用蒙特卡洛方法［4－5］進(jìn)行計(jì)算。

在確定了強(qiáng)度和應(yīng)力后，即可采用應(yīng)力－強(qiáng)度干涉方法求出金屬結(jié)構(gòu)件的可靠性。

1.4 典型應(yīng)力和強(qiáng)度分布的計(jì)算模型

在多數(shù)情況下強(qiáng)度和應(yīng)力服從正態(tài)分布，下面給出應(yīng)力和強(qiáng)度為正態(tài)分布下的可靠度計(jì)算公式:

式中:μT和μS分別為強(qiáng)度和應(yīng)力的均值;σT和σS分別為強(qiáng)度和應(yīng)力的方差。

則可靠度為

一般情況下，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的均值μT大于施加在結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力的均值μS，即μT－μS＞0。在這種情況下，可靠度均大于0.5，而可靠度具體數(shù)值還和σT及σS有關(guān)，σT和σS越大，則可靠度越小，反之可靠度越大。

當(dāng)μT－μS=0，可靠度等于0.5，其數(shù)值與σT和σS無關(guān);當(dāng)μT－μS＜0，可靠度小于0.5。

對(duì)于可靠度小于及等于0.5的結(jié)構(gòu)，在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)絕對(duì)避免。若應(yīng)力和強(qiáng)度不是相互獨(dú)立，則令:

2 應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型的改進(jìn)

2.1 傳統(tǒng)計(jì)算方法存在的不足

上節(jié)給出了采用應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析的一般方法，但該方法在實(shí)際運(yùn)用中存在一定的局限性［6］。

1）在大多數(shù)工程問題中，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和應(yīng)力的分布參數(shù)是未知的，需要抽取一定數(shù)量的樣本進(jìn)行試驗(yàn)，通過統(tǒng)計(jì)的方法獲取強(qiáng)度和應(yīng)力的均值、方差等特性參數(shù)，然后再利用式（6）和式（7）對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行計(jì)算，得到可靠度是在某一確定置信度下的一個(gè)置信區(qū)間;

2）在大多數(shù)場(chǎng)合下，應(yīng)力是無法直接得到的，而是需要用一個(gè)非線性的表達(dá)式進(jìn)行描述，此時(shí)可靠性因子β也相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成一個(gè)非線性的表達(dá)式，而不能用式（6）直接求得。

針對(duì)以上2點(diǎn)不足，需要尋求一種改進(jìn)的結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算方法，使之能更加普遍地適應(yīng)于一般結(jié)構(gòu)的可靠度計(jì)算。

2.2 改進(jìn)計(jì)算模型的建立

定義式（1）中的Z=T－S為結(jié)構(gòu)可靠性分析的狀態(tài)函數(shù)，即當(dāng)Z＞0時(shí)，結(jié)構(gòu)是可靠的。在一般情況下，狀態(tài)函數(shù)Z是多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，即Z= g（X1，X2，…，Xn），設(shè)X1，X2，…，Xn服從正態(tài)分布，但分布參數(shù)為未知的隨機(jī)變量。

將Z展開成泰勒級(jí)數(shù)，忽略高次項(xiàng)，可得:

式中，μi和σi分別為Xi的均值和方差?？傻每煽慷认禂?shù)β的點(diǎn)估計(jì)值為［7］:

將式（13）在各隨機(jī)變量均值和方差的真值處展開成泰勒級(jí)數(shù)，仍僅取級(jí)數(shù)的線性項(xiàng)，忽略高次項(xiàng)，則有

式中，各隨機(jī)變量Xi的均值和方差需用樣本估計(jì)值進(jìn)行近似計(jì)算。

設(shè)β^服從正態(tài)分布，對(duì)于給定的置信水平H，可靠度系數(shù)β的雙側(cè)置信區(qū)間為:

3 結(jié)語

本文對(duì)傳統(tǒng)的強(qiáng)度－應(yīng)力干涉模型進(jìn)行了探討，研究了作為隨機(jī)變量的應(yīng)力和強(qiáng)度的確定方法，并針對(duì)傳統(tǒng)的計(jì)算方法存在的不足，提出了一種改進(jìn)計(jì)算模型，通過試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)應(yīng)力和強(qiáng)度在一定置信度下的取值，采用泰勒級(jí)數(shù)展開求解非線性極限狀態(tài)的可靠性系數(shù)，采用改進(jìn)的方法可求解結(jié)構(gòu)在確定置信度下的可靠性置信區(qū)間。

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