基于相關(guān)矩陣的MIMO系統(tǒng)信道容量分析

張唯希，周 杰

（南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210044）

0 引言

多輸入多輸出（MIMO）技術(shù)是一個(gè)新興的研究領(lǐng)域，被認(rèn)為是大幅提高帶寬效率的理想方法[1-2]。在輸入與輸出端，利用多天線陣列技術(shù)，可以有效地提高系統(tǒng)信道容量[3-4]。在獨(dú)立的瑞利信道下，MIMO系統(tǒng)的信道容量與天線數(shù)目呈線性關(guān)系[5]。然而，在信號(hào)傳播過(guò)程中，由于傳播信道間的相關(guān)性，對(duì)MIMO系統(tǒng)信道容量產(chǎn)生較大影響，相關(guān)性的增加導(dǎo)致系統(tǒng)容量的減小，當(dāng)相關(guān)性達(dá)到1時(shí)，MIMO系統(tǒng)將不再適用[6-7]。

為了分析相關(guān)性對(duì)MIMO系統(tǒng)容量的影響，這里利用均勻角能量分布以及相關(guān)矩陣，研究了MIMO系統(tǒng)容量，通過(guò)分析得出了一個(gè)估算信道容量的公式，用來(lái)驗(yàn)證模型的有效性。分析結(jié)果證明，在這種模型下，相關(guān)性的增加意味著信噪比的減小，環(huán)形接收天線陣列半徑和角度擴(kuò)展是決定MIMO系統(tǒng)信道容量的主要因素。

1 MIMO系統(tǒng)信道容量

如圖1所示，表示一個(gè)具有N副發(fā)射天線和接收天線的MIMO系統(tǒng)。

這里假設(shè) Nt=NR=N，N副發(fā)射天線，N副接收天線。對(duì)于一個(gè)N×N維的白高斯噪聲信道, MIMO系統(tǒng)信道容量為：

其中，N表示發(fā)射與接收天線數(shù)目，ρ表示平均信噪比，I表示單位矩陣，H表示一個(gè)歸一化信道矩陣，+表示矩陣的轉(zhuǎn)置共軛。

圖1 N副接收和發(fā)射天線的 MIMO 系統(tǒng)

這里，H中的元素hi,j滿足以下歸一化情況：

當(dāng)所有的平行信道獨(dú)立H=I，ρ/N表示每個(gè)接收分支的信噪比。

為了有效的研究相關(guān)性的影響,不考慮接收功率不相等的情況，即∶

換句話說(shuō)，N副接收天線的接收功率是相等的。由式(3)可將式(1)簡(jiǎn)化為[8]：

其中，R表示歸一化信道相關(guān)矩陣。

將式(4)中行列式下的矩陣用Z表示，得到：

其中：

這里，"*"表示復(fù)共軛，β=ρ/ N ?(1+ρ/ N)?1。因此，MIMO系統(tǒng)的信道容量可以如下表示：

從式(7)中可以看出，為了估計(jì)出相關(guān)信道下的 MIMO系統(tǒng)信道容量，必須計(jì)算出ΔN的值。

2 環(huán)形陣列MIMO系統(tǒng)相關(guān)性模型

為了方便分析，N取4，且假設(shè)接收端天線陣列采用均勻環(huán)形陣列。如圖2所示為一個(gè)MIMO通信系統(tǒng)接收端，具有四天線單元的均勻環(huán)形天線陣列，四個(gè)天線單元分別位于圓周的四個(gè)頂點(diǎn)，環(huán)形陣列的半徑為R，天線所在位置與橫軸夾角為ψi。

圖2 MIMO系統(tǒng)四單元均勻環(huán)形接收天線陣列

首先，假設(shè)角分布為在空間信道模型中常用的均勻角能量分布[9]。入射角概率密度函數(shù)如下表示：

其中，2Δ是中心到達(dá)角φ的角度范圍。均勻圓形陣列的響應(yīng)矢量V()θ[10]：

其中，R為環(huán)形天線陣列的半徑，ζ為仰角，λ表示波長(zhǎng)，此處，只考慮ζ=90?的情況。mψ表示第m天線單元的方位角。

第m和n天線單元之間的相關(guān)性可以定義為[11]：

其中，p()θ表示隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)。

將式(11)和式(12)代入式(13)得：

將整理后的方程進(jìn)行積分，得到均勻角能量分布下rm,n的實(shí)部與虛部分別為[12]：

當(dāng)Δ較小時(shí)，sin(Δz)≈Δz，cos(z)≈1。從而得到均勻角能量分布rm,n的近似方程：

3 環(huán)形陣列MIMO系統(tǒng)容量

在此模型中，R的元素ri,j表示為均勻角分布下接收天線單元間的相關(guān)性rm,n，并取值為式(13)的模：

將式(14)代入式(6)，經(jīng)過(guò)一系列行列式變換，可以得到：

式中的r表示相鄰接收天線單元間的相關(guān)性。由式(15)，當(dāng)具有高信噪比(ρ/ N ? 1)，且1?β?1時(shí)，可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的閉型遞歸公式,在這種情況下，ΔN值的大小主要取決于主對(duì)角線上的元素，因此可得：。

從而可以得到：

對(duì)于 N? 1,r＜1，可以得出：

如果N→∞，由式(17)得出：

當(dāng)r=0時(shí)，式(17)和式(18)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：

比較式(17)、式(18)和式(19)，可以看出相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)容量的影響就等同于系統(tǒng)信噪比的減小。

4 仿真結(jié)果與分析

利用一個(gè)四單元均勻環(huán)形接收天線陣列來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，由于環(huán)形陣列的對(duì)稱(chēng)性，可以得出 r1,2=r1,4，以此類(lèi)推。因此，只需要計(jì)算r1,2，r1,3。

圖 3中，利用式(13)取φ=0?以及分別取 Δ=2?,Δ=3?,Δ=10?,Δ=15?，畫(huà)出了環(huán)形天線陣列天線單元間在基于均勻角能量分布下的相關(guān)性隨R/λ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，在相同的條件下，隨著R和角度擴(kuò)展Δ值的增大，天線單元間的相關(guān)性相應(yīng)減小。

圖3 均勻分布下環(huán)形天線陣列的相關(guān)性

圖4和圖5中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0?以及 Δ=2?，Δ=10?，Δ=30?，分別取ρ=30 d B,ρ=40 d B，畫(huà)出了MIMO系統(tǒng)容量C隨R/λ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，隨著R/λ的增加，系統(tǒng)容量也相應(yīng)增加，但當(dāng)R/λ值達(dá)到某一值時(shí)，上升程度越來(lái)越不明顯，并趨向于一個(gè)定值。在相同條件下，Δ值越大，系統(tǒng)容量就越大，但隨著R/λ達(dá)到某一值時(shí)，Δ值的增加并不能直接提升信道容量的大小。

圖4 MIMO系統(tǒng)信道容量，ρ=30dB

圖5 MIMO系統(tǒng)信道容量，ρ=40dB

比較圖4和圖5，可以發(fā)現(xiàn)，在相同的條件下，信噪比越高，MIMO系統(tǒng)容量就越高。容量大小跟接收端圓形天線陣列半徑呈線性關(guān)系，半徑越大，容量越大，反之亦然。

圖6和圖7中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0?，以及 R/λ=1，R/λ=2，R/λ=5，分別取ρ=30dB,ρ=40 d B，畫(huà)出了MIMO系統(tǒng)容量C隨Δ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，隨著角度擴(kuò)展Δ值的增加，系統(tǒng)容量也隨著上升，但隨著Δ值達(dá)到某一值時(shí)，上升趨勢(shì)趨于平緩，并趨向于一個(gè)定值，此時(shí)增加Δ值，對(duì)于系統(tǒng)容量的提升作用已不再明顯。在相同條件下，R/λ值越大，系統(tǒng)信道容量就越大，但當(dāng)Δ值達(dá)到一值時(shí)，增加R/λ值并不能直接提升信道容量的大小。

比較圖6和圖7，可以發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，信噪比越高，MIMO系統(tǒng)容量越高。系統(tǒng)容量大小與角度擴(kuò)展Δ的大小呈線性關(guān)系，Δ值越大，容量越大，反之亦然。

圖6 MIMO系統(tǒng)信道容量，ρ=30dB

圖7 MIMO系統(tǒng)信道容量，ρ=40dB

5 結(jié)語(yǔ)

MIMO系統(tǒng)信道容量主要取決于矩陣信道各子信道間的相關(guān)性，當(dāng)相關(guān)性為零時(shí)，系統(tǒng)容量達(dá)到最大值。這里利用均勻角能量分布以及相關(guān)矩陣，研究了相關(guān)信道下的 MIMO系統(tǒng)容量，推導(dǎo)了系統(tǒng)容量公式。分析結(jié)果證明，信道相關(guān)性的增加意味著系統(tǒng)信噪比的減小，接收天線環(huán)形陣列半徑和角度擴(kuò)展是決定MIMO系統(tǒng)信道容量的主要因素。

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