移動(dòng)無線信道數(shù)理模型分析

王茹

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，湖北 十堰 442002）

移動(dòng)無線信道數(shù)理模型分析

王茹

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，湖北 十堰 442002）

分析了空間電磁波信號傳輸?shù)臄?shù)學(xué)和物理模型，介紹了移動(dòng)通信中經(jīng)常提到的多普勒頻移、相干帶寬和相干時(shí)間的概念，給出了實(shí)際移動(dòng)通信系統(tǒng)中抗衰落分集技術(shù)應(yīng)用實(shí)例。

移動(dòng)通信；無線信道；數(shù)理模型

自蜂窩移動(dòng)通信問世以來，移動(dòng)通信技術(shù)已經(jīng)給社會(huì)帶來了巨大的信息化革命。分析和研究移動(dòng)通信要先從研究移動(dòng)信道開始。信道是指通信系統(tǒng)中從發(fā)送端到接收端信號所經(jīng)歷的路徑。與其它固定信道相比移動(dòng)無線信道是一種比較復(fù)雜的信道，其信道特性會(huì)隨著傳播環(huán)境的變化而變化。移動(dòng)無線信道經(jīng)常利用信道場強(qiáng)隨時(shí)間和頻率的變化特征來描述，其變化特征主要分為大尺度衰落和小尺度衰落2種［1-4］。

大尺度衰落描述了長距離 （幾百米甚至更長）內(nèi)接收信號強(qiáng)度的緩慢變化，這些變化是由發(fā)射天線和接收天線之間傳播路徑中的山脈或湖泊以及大的建筑物等影響造成的。一般來說，大尺度衰落與發(fā)送天線和接收天線之間的距離成反比，且不同的地區(qū)（城市、郊區(qū)和鄉(xiāng)村）有不同的衰減因子。大尺度衰落可以用收發(fā)天線之間的距離及大的建筑物及山脈的陰影函數(shù)來表征。這種衰落主要發(fā)生在移動(dòng)臺和基站之間的移動(dòng)距離和小區(qū)大小可以相比擬的情況下。大尺度衰落主要是用來描述收發(fā)天線間有較大距離變化時(shí)接收信號平均功率的變化規(guī)律。大尺度衰落可以通過天線分集和功率控制得到補(bǔ)償，因此了解大尺度衰落對于移動(dòng)通信中的傳輸技術(shù)和接收設(shè)備的選擇有很大的意義。

小尺度衰落主要是由于收發(fā)天線之間的多徑效應(yīng)及多普勒頻移作用的結(jié)果，其主要發(fā)生在收發(fā)天線之間有與載波波長相當(dāng)?shù)妮^小位置移動(dòng)的情況下。小尺度衰落是由于同一傳輸信號沿2個(gè)或多個(gè)路徑傳播，以微小的時(shí)間差到達(dá)接收天線，不同路徑到達(dá)信號相互干涉的結(jié)果，這些信號稱為多徑波。接收天線將它們合成一個(gè)幅度和相位都急劇變化的信號，其變化程度取決于多徑波的強(qiáng)度、相對傳播時(shí)間，以及傳輸信號的帶寬。小尺度衰落主要用來描述無線電波在經(jīng)過很短距離所產(chǎn)生的振幅、頻率、相位、及多徑時(shí)延的快速變化。對小尺度衰落的研究有利于提高通信系統(tǒng)的可靠性和有效性。小尺度衰落的3個(gè)效應(yīng)表現(xiàn)為多普勒頻移、相干帶寬和相干時(shí)間。這也正是本文分析和研究的重點(diǎn)。

1 收發(fā)天線固定自由空間傳播模型

從自由空間電磁波傳輸?shù)慕嵌确治鍪瞻l(fā)天線固定的傳播模型。由電磁場理論可知，自由空間中傳播的電磁波是橫波，其中電場E、磁場B和傳播方向k三者互相垂直，且滿足右手定則［5］，如圖1所示。另外，電場和磁場的強(qiáng)度都是隨時(shí)間變化的；電磁場可以脫離場源而存在和傳播，具有獨(dú)立存在的物質(zhì)性。電場E和磁場B具有相同相位，兩者變化同步、不可分割，它們的大小滿足關(guān)系式：

其中c為常數(shù)。

由式（1）可知，只要得到電場或磁場中的任何一個(gè)就可以求出另外一個(gè)。下面主要分析電場的變化規(guī)律，同理可知磁場具有與電場相同的變化規(guī)律。

對于在自由空間傳播的正弦信號s=cos2πft，可用式（2）表示在時(shí)刻t遠(yuǎn)處電場的場強(qiáng)大小[5]：

式中：（r,θ,φ）—需要測量電場的空間點(diǎn)m；r—點(diǎn)m與發(fā)射天線之間的距離；（θ,φ）—點(diǎn)m與發(fā)射天線之間的水平和垂直角度；αs（θ，φ，f）—發(fā)射天線在頻率f方向（θ,φ）上的輻射模式，一般也將天線損耗比例因子考慮在內(nèi)；c—常量大小與光束（3×108m/s）相等。

由式（2）可知，場強(qiáng)的相位是隨著fr/c而變化的，很顯然這是由于傳播延時(shí)所引起的。容易看出，隨著傳播距離r的增加，電場強(qiáng)度以r-1速度衰減；則其單位面積上的能量以r-2衰減?？梢詫⒆杂煽臻g的電磁波傳播看作是一個(gè)以發(fā)射天線為球心向外輻射的過程，這樣隨著傳播距離r的增加球的表面積以r2增加，在傳輸總能量一定的情況下，單位球面接收到的能量以r2衰減。由于實(shí)際傳播環(huán)境中收發(fā)之間存在有障礙物，因此實(shí)際的能量衰減要更快，業(yè)內(nèi)的實(shí)際測量結(jié)果是接收能量隨著傳播距離的增加近似服從指數(shù)衰減規(guī)律。當(dāng)發(fā)射天線給定時(shí)，其輻射模式是已知的，因此主要考慮其它因素引起的場強(qiáng)變化。如果當(dāng)接收電線固定在空間點(diǎn)m時(shí)，可得到接收電場的表達(dá)式：

式中：α（θ,φ,f）—發(fā)送和接收天線在頻率及f給定方向（θ,φ）上的模式的乘積。由于式（3）是在自由空間傳播的情況下得出的，當(dāng)將接收天線置于點(diǎn)m時(shí)會(huì)對周圍的電場產(chǎn)生一定影響，一般將其一并考慮在接收天線模式范圍之內(nèi)。

假設(shè)接收點(diǎn)m給定時(shí)，給出定義：

由式（3）～（4）可得，

其中，Re(·)是取復(fù)數(shù)的實(shí)部操作。顯然，發(fā)射和接收之間滿足線性關(guān)系。通常稱H（f）為線性時(shí)不變信道的系統(tǒng)函數(shù)，稱其傅里葉反變換為信道沖擊響應(yīng)。

2 接收天線移動(dòng)自由空間傳播模型

圖2所示的是發(fā)射天線固定、接收天線以速度v遠(yuǎn)離發(fā)射天線的場景。

在時(shí)刻t接收天線的位置可表示為代入式（3）可得

式（6）中，f（t-r0/c-vt/c）可改寫為［f（1-v/c）t-fr0/c）］。由此可以看出，在發(fā)射端產(chǎn)生的是頻率為f的正弦波，但是在接收端收到的是頻率為f（1-v/c）的正弦波。這正是由于收發(fā)端的相對移動(dòng)產(chǎn)生多普勒頻移-fv/c的結(jié)果。

當(dāng)接收天線移動(dòng)到一個(gè)特定位置m（t）時(shí)，接收信號可以表示為

由式（7）可知，這時(shí)的信道不滿足線性時(shí)不變的特性。當(dāng)忽略式（7）中分母的變化時(shí)可以用多普勒頻移的變化來表述系統(tǒng)信道特征。顯然，當(dāng)收發(fā)端相對移動(dòng)速度v一定時(shí)，多普勒頻移的大小取決于載波頻率f。以上討論都是基于相對移動(dòng)展開的，所以當(dāng)接收端固定發(fā)送端移動(dòng)時(shí)結(jié)論依然成立。

3 收發(fā)天線固定全反射傳播模型

電磁波在實(shí)際的傳播過程中當(dāng)遇到比其波長大得多的障礙物時(shí)，會(huì)發(fā)生反射現(xiàn)象［6］。考慮如圖3所示的場景，電磁波從發(fā)送端有2條路徑傳送到達(dá)接收端，首先是直接經(jīng)過一段距離r后到達(dá)接收端，還有一條是經(jīng)過距離d后到達(dá)障礙物然后經(jīng)過反射再到達(dá)接收端。

在接收端，可以將收到的信號看做是經(jīng)過2條不同路徑到達(dá)信號的疊加；則直接到達(dá)路徑的傳輸距離為r，經(jīng)過反射后到達(dá)路徑的傳輸距離為（2d-r）。假設(shè)電磁波遇到的障礙物足夠大，即電磁波在其表面發(fā)生全反射，則從障礙物返回的電磁波除了方向改變外其他沒有任何變化。由式（3）可得接收電場的表達(dá)式：

由式（8）可知接收信號是2個(gè)頻率為f的信號的疊加，且2個(gè)信號的相位差為

當(dāng)2個(gè)信號的相位差為2π的整數(shù)倍時(shí)，疊加信號為2個(gè)信號相加，接收信號增強(qiáng)；相位差為π的奇數(shù)倍時(shí)，疊加信號為2個(gè)信號相減，接收信號減弱。由式（9）可知當(dāng)傳播距離（d-r）變化c/（4f）時(shí)，相位差Δθ變化π，相應(yīng)的接收信號強(qiáng)度在一個(gè)波峰和波谷之間變化。由電磁場理論知，當(dāng)正弦波以頻率f傳播時(shí)，傳輸波長λ為c/f，相應(yīng)的可以給出相干距離的定義:

由以上分析可知，當(dāng)傳播距離的變化相對于Δxc很小時(shí)，在特定時(shí)間內(nèi)可以將接收信號強(qiáng)度變化忽略。

另外，由式（9）可得，當(dāng)（d-r）固定時(shí)，2個(gè)接收信號的相位差還取決于信號傳輸頻率f；當(dāng)f變化c/（4（d-r））時(shí)，相位差Δθ變化π，同樣接收信號強(qiáng)度在一個(gè)波峰和波谷之間變化。電磁波經(jīng)由不同路徑到達(dá)接收端經(jīng)過不同路徑時(shí)，需要的傳輸時(shí)間也不同，定義其到達(dá)時(shí)間差為信道的延時(shí)擴(kuò)展。

綜上所述，當(dāng)頻率f的變化相對于1/Td較小時(shí)，由f的變化造成的接收信號強(qiáng)度變化可以忽略不計(jì)，這也正是在移動(dòng)通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)所講的相干帶寬。

相干帶寬反映了移動(dòng)無線信道對信號包絡(luò)的頻率選擇性衰減，根據(jù)信號帶寬與多徑信道相干帶寬的關(guān)系，可以將信道分為平坦衰落和頻率選擇性衰落［7］。當(dāng)信號帶寬小于多徑信道相干帶寬時(shí)，由多徑時(shí)延引起的衰落為平坦衰落，發(fā)射信號經(jīng)過該信道到達(dá)接收端后其信號頻譜可以得到保持。相反，當(dāng)信號帶寬大于多徑信道相干帶寬時(shí)，這時(shí)的信道為頻率選擇性衰落信道。從頻域上觀察，不同頻率的信號成分經(jīng)過該信道后會(huì)產(chǎn)生不同的衰落；從時(shí)域上分析，信道的多徑時(shí)延擴(kuò)展大于信號的符號周期，這時(shí)出現(xiàn)符號間干擾。這也正是進(jìn)行通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的一個(gè)關(guān)鍵問題。

4 接收天線移動(dòng)全反射傳播模型

圖3所示的是存在一條直接傳播路徑和一條全反射傳播路徑時(shí)，當(dāng)接收天線沿著發(fā)射天線到障礙物路徑，以速度v遠(yuǎn)離發(fā)射天線的場景。

設(shè)在時(shí)刻0時(shí)接收天線在空間的位置為r0，那么在時(shí)刻t天線的位置r為（r0+vt），接收端收到的信號為

式（12）中，等式右邊第1項(xiàng)為直經(jīng)傳播路徑到達(dá)接收端的信號，該信號的頻率為f（1-v/c），相對于發(fā)射信號產(chǎn)生了一個(gè)多普勒頻移：

同理，等式右邊第2項(xiàng)為經(jīng)過全反射到達(dá)接收端頻率為f(1+v/c)的信號，相對于發(fā)射信號產(chǎn)生的多普勒頻移為

通信中定義經(jīng)過不同路徑到達(dá)接收端的不同信號的多普勒頻移差的最大值為多普勒頻譜擴(kuò)展，即

式中：Dm，Dn—第m，n條傳播路徑的多普勒頻移，m≠n。得出多普勒頻譜擴(kuò)展為

在實(shí)際的移動(dòng)通信系統(tǒng)中，單一頻率的發(fā)送信號在經(jīng)過時(shí)變多徑信道后，由于多普勒頻移的作用，在接收端會(huì)收到具有一定帶寬的信號，這有時(shí)候又可以稱為信道的頻率彌散性［8］。類似的，可以利用相干時(shí)間來表征信道的變化快慢。相干時(shí)間定義為信道多普勒擴(kuò)展的倒數(shù)，即

當(dāng)接收天線距離反射障礙物的距離相對于距離發(fā)射天線的距離很近，且可以忽略時(shí)，由式（12）可知，等式右端2項(xiàng)的分母近似相等，在物理意義上說明直接到達(dá)信號和經(jīng)過反射路徑到達(dá)信號的強(qiáng)度基本相等；用

代替式（12）中第2項(xiàng)的分母，則

由式（15）可知，接收信號是2個(gè)正弦信號的乘積；一個(gè)信號的頻率為在實(shí)際通信系統(tǒng)中載波的頻率，大小一般在0.8～2.4 GHz；另一個(gè)信號的頻率為

大小一般在20～100 Hz。當(dāng)在發(fā)端發(fā)射一個(gè)強(qiáng)度不變、頻率為f的恒定正弦信號時(shí)，則在收端會(huì)接收到一個(gè)如圖4所示的信號。頻率為f包絡(luò)時(shí)變的信號，且該包絡(luò)的周期一般為ms數(shù)量級，這個(gè)周期也正是前面提到的相干時(shí)間的概念。

5 應(yīng)用實(shí)例分析

相干時(shí)間和相干帶寬的概念對于移動(dòng)通信系統(tǒng)中分集技術(shù)的設(shè)計(jì)和選用具有重要的理論指導(dǎo)意義。分集技術(shù)是抗衰落最有效措施之一，它是利用接收信號在結(jié)構(gòu)上和統(tǒng)計(jì)上的不同特點(diǎn)來加以區(qū)分，并按一定原則進(jìn)行合并處理實(shí)現(xiàn)抗衰落。

頻率分集是利用位于不同頻段的信號經(jīng)衰落信道后在統(tǒng)計(jì)上的不相關(guān)特性，即不同頻段衰落統(tǒng)計(jì)特性上的差異，實(shí)現(xiàn)抗衰落的功能。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)可以將待發(fā)送的信息分別調(diào)制在頻率不相關(guān)的載波上發(fā)射。所謂頻率不相關(guān)的載波，是指不同載波之間的頻率間隔Δf大于前面提到的相干帶寬，即

例如，第二代移動(dòng)通信中的IS-95與GSM采用的是800～900 MHz頻段，典型的信道時(shí)延擴(kuò)展時(shí)5ms左右，這時(shí)要想實(shí)現(xiàn)頻率分集則要求載波間隔Δf應(yīng)滿足條件：

時(shí)間分集是利用時(shí)間上衰落統(tǒng)計(jì)特性上的差異來實(shí)現(xiàn)抗時(shí)間選擇性衰落的功能，當(dāng)取樣點(diǎn)的時(shí)間間隔足夠大時(shí)，則樣點(diǎn)之間的衰落是統(tǒng)計(jì)上互不相關(guān)的。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以將待發(fā)送的信息每隔一定的時(shí)間間隔重復(fù)發(fā)送一次，只要這一時(shí)間間隔Δt大于前面提到的相干時(shí)間，即

例如，在WCDMA系統(tǒng)中當(dāng)收發(fā)端的相對移動(dòng)速度達(dá)300km/h時(shí)，最大多普勒頻移為550Hz，這時(shí)要實(shí)現(xiàn)時(shí)間分集則要求相同信息的重復(fù)發(fā)送時(shí)間間隔Δt應(yīng)滿足條件：

6 小結(jié)

從空間電磁波信號傳輸?shù)臄?shù)學(xué)、物理模型角度出發(fā)，對空間移動(dòng)無線信道的特征進(jìn)行了分析。引出了移動(dòng)通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常提到的多普勒頻移、相干帶寬和相干時(shí)間的概念，這也正是用來劃分移動(dòng)信道依據(jù)。根據(jù)信號帶寬與多徑信道相干帶寬的關(guān)系，可以將信道劃分為平坦衰落信道和頻率選擇性衰落信道；根據(jù)信號的符號周期和相干時(shí)間的關(guān)系，可以將時(shí)變信道劃分為快衰落信道和慢衰落信道。

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Analysis of Mathematic and Physical Model for Mobile Wireless Channel

Wang Ru
（Department of Sciences,Hubei Automotive Industries Institute,Shiyan 442002,China）

The mathematic and physical model of the electromagnetic wave signal transmission was analyzed.The Doppler frequency shift,coherence bandwidth and coherence time in the mobile communication were presented.An application example of anti-fading diversity technology in the mobile communication system was given.

mobile communication;wireless channel;mathematic and physical model

O29：TN929.5

A

1008-5483（2011）01-0068-05

2011-02-16

王 茹(1979-)，女，河南駐馬店人，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。