單電子輻射躍遷選擇定則的討論

牛振風(fēng)

(河北北方學(xué)院理學(xué)院,河北張家口075000)

1 引 言

在量子力學(xué)和原子物理兩門課程的教學(xué)中都會遇到電子輻射躍遷選擇定則,本文分別采用量子和半經(jīng)典兩種方法,對電子軌道和自旋無耦合情況下的輻射躍遷選擇定則加以討論,使我們對兩門課中的電子輻射躍遷選擇定則從形式和本質(zhì)上有更加深入統(tǒng)一的理解.

2 量子方法討論選擇定則

原子對光的發(fā)射和吸收是原子體系與光相互作用所產(chǎn)生的現(xiàn)象.原子在光波的作用下,單位時間內(nèi)由Φk態(tài)躍遷到Φm態(tài)的幾率為:

由此可知,要實(shí)現(xiàn)Φk態(tài)到Φm態(tài)的躍遷,必須滿足矩陣元由此可得出原子躍遷選擇定則.不為零,即其三個直角坐標(biāo)系分量 z ,x和y不同時為零時,原子的躍遷幾率方不為零.mkmkmk

設(shè)原子中的電子在中心力場中運(yùn)動,不考慮軌道和自旋相互作用情況下,電子的波函數(shù)可表示

躍遷選擇定則為

即 xn′l′m′lm′s,nlm lms, yn′l′m′lm′s,nlm lms, zn′l′m′lm′s,nlm lms不同時為零.

利用球諧函數(shù)的一個遞推公式:

及球諧函數(shù)的正交歸一化表示式可知, 若使矩陣元 zn′l′m′lm′s,nlmlms≠0, 必須滿足:

利用球諧函數(shù)的另一個遞推公式:

及球諧函數(shù)的正交歸一化表示式可知, 若使矩陣元 xn′l′m′lm′s,nlmlms≠0,yn′l′m′lm′s,nlmlms≠0, 必須滿足:

則為

3 半經(jīng)典方法討論選擇定則

3.1 角動量的矢量合成

3.2 電子變動組態(tài)定則

原子中的輻射屬電磁相互作用過程,所以輻射前后體系的宇稱守恒.對單個電子,其宇稱決定于它的軌道量子數(shù)l,當(dāng)l為奇數(shù)時,宇稱為寄;當(dāng)l為偶數(shù)時,宇稱為偶.用符號 I標(biāo)記宇稱,則在中心場中運(yùn)動的單個電子的宇稱:I= (-1)l,而原子的宇稱為原子內(nèi)所有單電子的宇稱之積,所以含有個 N電子的原子宇稱為

設(shè)輻射前后原子的宇稱分別為 IN、IN′,因輻射出的光子的宇稱為 I=-1,則由宇稱守恒定律得 IN=IN′·I=-IN′, 即:

它等價于

這就是關(guān)于電子組態(tài)變動的定則.

3.3 躍遷選擇定則

設(shè)電子的軌道和自旋無耦合情況下,在輻射前后的角動量和自旋角動量分別為輻射出的光子的角動量為,其中i=1.在電偶極輻射中角動量守恒

根據(jù)角動量的合成公式 (13),可得

由于i=1,則有:

當(dāng) l2≥1時,l1=l2+1,l2,l2-1,即

當(dāng)l2＜1時,由于軌道角動量量子數(shù)是大于或等于零的整數(shù),所以 l2=0.由 (18)式得 l1=1,所以有

根據(jù)電子組態(tài)變動的定則公式 (15),舍去 (19)式中的Δl=0,可得選擇定則:

在電偶極輻射前后不但角動量守恒,而且角動量沿場方向分量也守恒:

即

對于光子i=1,mi=0,±1代入上式,得

在電偶極輻射中,由于電偶極算符與自旋無關(guān),所以它恒不改變電子的自旋狀態(tài),應(yīng)用自旋角動量的矢量模型,可以認(rèn)為輻射前后原子的自旋角動量相同,即:

輻射前后電子的自旋角動量沿場方向分量也守恒:

故有

所以

因此,電子的躍遷選擇定則為

4 結(jié) 論

本文用量子和半經(jīng)典兩種方法對單電子輻射躍遷選擇定則進(jìn)行推導(dǎo),由公式 (11)和 (29)可知得到的選擇定則在形式和內(nèi)容上完全一致.從整個推導(dǎo)過程可看出,量子方法比較嚴(yán)密、完善,而半經(jīng)典方法則簡單易懂.從結(jié)論中我們知道并非任何兩能級之間的躍遷都是可能的,只有遵從選擇定則的能級之間才能實(shí)現(xiàn)躍遷.

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