離散變量結構形狀優(yōu)化設計的混合遺傳算法＊

朱朝艷 張延年 郭鵬飛 王學志

(遼寧工業(yè)大學土木建筑學院1) 錦州 121001) (沈陽建筑大學土木工程學院2) 沈陽 110168)

0 引 言

結構形狀優(yōu)化設計需求解兩類變量即截面尺寸變量,與描述結構幾何外形的形狀設計變量,不僅設計變量的數(shù)目增多,而且截面變量與形狀變量對目標函數(shù)和約束函數(shù)而言具有不同的非線性性質,兩者的量綱、量級通常也不同,兩類變量的耦合可能導致收斂上的困難.對于離散變量結構問題,由于截面面積只能取離散值,因此問題就成為一個非線性混合離散變量優(yōu)化問題,求解起來更為困難.傳統(tǒng)的形狀優(yōu)化設計一般采用分層優(yōu)化方法[1-3],雖然使用有效且易于操作,但由于分層優(yōu)化導致變量空間上的分割,可能帶來的后果是解空間可行域的縮小,這樣有可能丟失真正的最優(yōu)解.近年來,將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設計方法越來越引起人們的關注,并成為研究熱點,但迄今為止,成果不多,離散變量問題這方面的成果更少,在國內(nèi)對此有突出貢獻的是孫煥純和石連栓[4-5].本文用擬滿應力遺傳算法來解決離散變量結構的形狀優(yōu)化問題,取得了較為滿意的結果.

1 離散變量結構形狀優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型

離散變量結構形狀優(yōu)化設計問題的設計變量為桿件的截面積和節(jié)點坐標,目標函數(shù)一般為結構的總體重量,約束條件為應力約束、節(jié)點的位移約束、穩(wěn)定約束和動態(tài)約束等.

以桿系結構受應力和位移約束的形狀優(yōu)化問題為例,數(shù)學模型可表達為

求A,X

2 擬滿應力遺傳算法

標準遺傳算法在結構優(yōu)化設計中存在計算量大、收斂進程慢以及容易陷入局部最優(yōu)解等問題,而擬滿應力方法迭代次數(shù)少,容易收斂,具有很強的局部尋優(yōu)能力.本文將擬滿應力算法與遺傳算法相結合,在遺傳算法中嵌入擬滿應力算子,與標準遺傳算子共同構成一種混合遺傳算法——擬滿應力遺傳算法.同時還采用最優(yōu)個體保留、最差個體替換和控制種群個體差異等改進措施[6].這種混合遺傳算法結合了兩種算法的優(yōu)點,它克服了擬滿應力法解決問題的局限性,又比標準遺傳算法更加快速有效.

擬滿應力遺傳算法的步驟如下.

1)進化代數(shù)計數(shù)器初始化：k=0.

2)隨機產(chǎn)生初始種群P(k).

3)評價種群P(k)的適應度.

4)選擇群體中2個個體以概率Pc進行交叉操作：P′(k),←Crossover[P(k)].

5)對子代群體中每個個體以概率Pm進行變異操作：P″(k),←Mutation[P′(k)].

6)對子代群體中每個個體以概率Ph進行擬滿應力操作：P?(k),←Full-stress[P″(k)].7)評價群體P?(k)的適應度.

8)個體選擇、復制操作：P(k+1)←Rrproduction[P(k)∪P?(k)].

9)將該代中最優(yōu)個體與該代前最優(yōu)個體比較,并用比較后的最優(yōu)個體替換該代中最差個體,直接進入下一代進化.

10)進化終止條件判斷：若不滿足進化終止條件,則：k←k+1,轉到第3)步,繼續(xù)進化過程;若滿足進化終止條件,則輸出最優(yōu)個體.

3 基于擬滿應力遺傳算法的形狀優(yōu)化設計方法

3.1 兩類變量的耦合方法

將形狀變量和截面變量分開考慮可降低求解的難度但并不能保證得到全局最優(yōu)解,只有將兩類變量綜合考慮才是解決問題的有效辦法.但是將兩類變量統(tǒng)一考慮,可能由于兩者的量綱和優(yōu)化過程中量級的不同而導致算法收斂上的困難,甚至發(fā)散.為了解決兩類變量間的耦合問題,本文采用的方法是將形狀變量和截面變量編碼表示在同一個染色體中,這樣兩類變量在遺傳算法中被統(tǒng)一表示成位串形式.由于遺傳算法的操作對象是變量編碼后的位串,并且對問題的要求僅僅是能求出非負的適應度值,遺傳算法就可以以適應度值為依據(jù)指導搜索,從而找到全局最優(yōu)解.

3.2 兩類變量統(tǒng)一表示的編碼和解碼方法

用一定長度的二進制染色體代表一個設計變量,多個染色體首尾連接構成設計變量空間.這種編碼方法,容易處理設計變量為離散/連續(xù)混合的結構形狀優(yōu)化問題.

設形狀變量個數(shù)為n1,每個變量的二進制子串長度為m1,截面變量個數(shù)為n2,每個變量的二進制子串長度為m2,則形狀變量位串總長度為n1?m1,截面變量位串總長度為n2?m2,再將表示形狀變量的n1個m1位的子串和表示截面變量的n2個m2位的子串首尾相連,即形成一個染色體,它可以表示一個個體.編碼方法如圖1所示,圖中“＊”為通配符,代表1或0.

解碼時,將表示一個個體的二進制染色體串按照形狀變量和截面變量的位串總長度分成兩個部分,然后再將表示形狀變量的位串分成n1段,每一段表示n1個形狀變量中的一個變量;將表示截面變量的位串分成n2段,每一段表示n2個截面變量中的一個變量.然后根據(jù)二進制位串與十進制數(shù)的對應關系可得出十進制數(shù),并對應地映射到變量的離散值或連續(xù)值.

圖1 編碼方法示意圖

3.3 優(yōu)化策略

本文主要解決離散變量的結構優(yōu)化問題,因此比較適合用二進制編碼表示.但形狀變量可以是連續(xù)變量,也可以是離散變量.當形狀變量是離散變量時,優(yōu)化問題依然為離散變量問題,而當形狀變量是連續(xù)變量時,則優(yōu)化問題為混合離散變量問題.此時二進制編碼的長度直接影響連續(xù)變量的求解精度,若想提高解的精度必須采用較長的編碼,這必然會影響求解的效率.若將形狀變量用實數(shù)碼表示,而截面變量用二進制碼表示,則在解碼和交叉、變異等操作上處理起來又過于繁瑣,基于此,本文對兩類變量仍采用二進制編碼.為了解決搜索效率問題,對形狀變量采用二級編碼方法對應二級搜索,首先采用一個較短的編碼在整個搜索空間進行粗粒度搜索,由于遺傳算法有很好的全局搜索性,可以很快搜索到最優(yōu)點附近,然后再在最優(yōu)點的附近區(qū)間重新編碼,繼續(xù)進行細致搜索.采用這種二級處理方法,由于在整個搜索過程中形狀變量的子串都不長,可以顯著地減小搜索空間,因而可以在很大程度上加快搜索進程.

4 優(yōu)化算例

例1 37桿桁架簡支橋

該例題選自文獻[7].桁架簡支橋結構受均布載荷作用.初始設計見圖2,截面積均為8 cm2.假設結構下弦節(jié)點固定不動,節(jié)點載荷P=10 kN.上弦節(jié)點可沿垂直方向移動.節(jié)點10的垂直位移受到約束,要求小于l cm(跨度的1/1 000).結構對稱性保持不變,最小截面積為0.5 cm2.材料彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,全部桿件的許用應力均為240 MPa.

圖2 桁架橋結構

原題為連續(xù)變量優(yōu)化問題,要求最小截面積為0.5 cm2,本文從標準型鋼表中選取29個數(shù)值,各桿截面積離散集為S={0.503,0.636, 0.785,0.950,1.131,1.327,1.539,1.767,2.011, 2.270,2.545,2.835,3.142,3.464,3.801,4.155, 4.524,4.909,5.309,5.726,6.158,6.605,7.069, 7.548,8.042,8.553,9.079,9.621,10.18}cm2.

考慮結構對稱性要求,將截面設計變量分成19組,將坐標設計變量分成5組,分組情況表1所列.標準遺傳算法、擬滿應力遺傳算法的優(yōu)化結果見表2所列,約束條件均滿足要求.

表1 桁架橋變量連接情況

表2 桁架橋優(yōu)化結果 m

從表2可以看出,本文采用的方法與標準遺傳算法相比,重量下降了4.15%;和文獻[7]優(yōu)化后的結果相比,重量減輕了4.47%.再與文獻[7]的初始設計比較,文獻[7]的初始設計結構重量為256.73,即25 159.54 N,擬滿應力遺傳算法形狀優(yōu)化后重量為475.01 N,重量較文獻[7]的初始設計降低了81.12%,可見用本文采用的基于擬滿應力遺傳算法的將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設計的效果是十分明顯的.

5 結束語

本文將擬滿應力遺傳算法應用于離散變量結構形狀優(yōu)化問題.將形狀設計變量和截面設計變量綜合考慮,同時采用二級搜索策略減少整個搜索過程中形狀變量的搜索空間,進而加快搜索進程.通過算例表明,本文的優(yōu)化策略和優(yōu)化算法是可行和有效的.

[1]隋允康,由 衷.具有兩類變量的空間桁架分層優(yōu)化方法[J].計算結構力學及其應用,1990,7(4)：82-92.

[2]Salajegheh E,Vanderplaats G N.Optimum design of trusses with sizing and shape variables[J].Struct. Opt.,1993(6)：79-85.

[3]隋允康,高 峰,龍連春.基于層次分解方法的桁架結構形狀優(yōu)化[J].計算力學學報,2006,23(l)：46-51.

[4]石連拴,孫煥純,柴 山.兩類變量綜合處理的結構形狀優(yōu)化設計方法[J].計算力學學報,1999,16(4)：416-420.

[5]石連拴,孫煥純.離散變量結構形狀優(yōu)化設計的綜合算法[J].力學學報,1999,31(6)：731-737.

[6]朱朝艷,劉 斌,郭鵬飛.離散變量桁架結構拓撲優(yōu)化的混合遺傳算法[J].機械強度,2004,26(6)：656-661.

[7]王 棟,張衛(wèi)紅,姜節(jié)勝.桁架結構形狀與尺寸組合優(yōu)化[J].應用力學學報,2002,19(3)：72-76.