基于新型性能指標的冗余度機械臂重復運動規(guī)劃之方案分析與驗證＊

張雨濃 郭東生 蔡炳煌 易稱福

(中山大學信息科學與技術學院 廣州 510006)

作為20世紀人類科學技術進步的重大成果之一,機器人在現(xiàn)實中有著重要的意義,如它們可以在危險或者惡劣的環(huán)境(如超高溫、超低溫)下工作、搬運放射性物質和重物、以及去探索一些未知的場所[1-2];它們已廣泛應用于焊接、噴漆以及裝配等實際工程中[3].冗余度機械臂是指末端執(zhí)行器在執(zhí)行給定的任務時比其所需的自由度有更多的自由度的機械臂,其能更靈活地執(zhí)行任務;如PUMA560在僅考慮其末端執(zhí)行器于笛卡爾空間的位置而不考慮其方向時,其冗余度為3.運動學正解和逆解是冗余度機器人的運動學研究過程的核心內容之一[4-10].本文探討與分析了一種基于新型性能指標的二次型優(yōu)化模型以解決關節(jié)角偏差問題.原理分析和計算機仿真結果驗證了所提出的運動規(guī)劃方案可有效地消除關節(jié)角偏差現(xiàn)象,從而達到關節(jié)重復運動的目的.

有道是，“寶貝放錯了地方就是垃圾”。依我看，“能量”一旦用錯了地方，就是“廢品”，甚至是“危險品”。我們知道，毒品中毒有“急性”與“慢性”之分，而慢性中毒更為常見。所謂慢性中毒，是指人體臟器通過吸收毒品，積少成多，慢慢累積，以致形成侵蝕和損傷，且中毒所造成的疾病狀態(tài)會一直伴隨。現(xiàn)實生活中，一些人因為不了解慢性中毒的概念和危害，麻痹大意，吸毒中毒。鐵的事實表明，毒品既毒害著身體，也毒害著家庭，更毒害著社會。而像吳業(yè)平這樣的干部，因為“能量”用錯了地方，其造成的危害，并不亞于“毒品”。

1 問題描述

末端執(zhí)行器的位置和方向向量r(t)與關節(jié)向量θ(t)的關系可以用下式表示(為了表述方便,時間參數(shù)t從此后略寫).

小夏的口吻中不再有之前對她的信賴和感激，反而透著居高臨下的憐憫：“他在水吧等你時被圍住了，卻也不敢走?！彼淅涞爻蛩谎?，“他怕你突然來了?！崩兹揪酉聲?，轉身往外跑去?！?樓，38病房?！鄙砗蟮男∠拇舐暫暗馈?/p>

霍鐵走過去，輕輕揭開遮蓋物，仔細觀察了一會兒。接著，他把江平叫到了存放蠟料的立柜前，問道：“小江哥哥，你覺得這里有什么變化？”

式中：J(θ)：=?f(θ)/?θ∈Rm×n為相關的雅可比矩陣.對于冗余度機械臂來說,m＜n,因此,式(1)和式(2)就有可能存在多個解或無窮多個解.

對于式(2)的求解,傳統(tǒng)上一般是采用偽逆的方法.然而,傳統(tǒng)的偽逆方法有時可能無法使機械臂實現(xiàn)重復運動,也即閉合的末端執(zhí)行器軌跡得不到閉合的關節(jié)軌跡.當然也能夠通過自運動(即,末端執(zhí)行器不動,控制關節(jié)從一種構型到達所期望的構型)來調節(jié)關節(jié)構型,以回到初始狀態(tài),從而達到重復運動的目的,但是這種解決方法的效率不高.最近的研究表明,為了使關節(jié)能夠重復運動,可以通過最小化關節(jié)當前位置與初始位置之間的位移量來減小乃至于消除關節(jié)角偏差現(xiàn)象.為此,本文探討如下的優(yōu)化性能指標

地方黨政領導的用地管地理念發(fā)生了較大變化，更多的地方將眼光由新增建設用地轉向存量土地挖潛，更多的企業(yè)受土地低效閑置處置政策和持有成本的倒逼，提高了主動推進土地開發(fā)利用的自覺性和緊迫性。

單爺說的書、編的書太多了，自然有高下之分，這在同行中也是爭議不斷。但他有一點很了不起，即敢于否定和改動自己的作品。很多名家把一部書說火了，就當代表作立住了，不能動了，以此為范本傳下去。而他一部書火了但說得不滿意，沒事，咱推倒重來，再編一個，仿佛沒有心理負擔。同樣的故事能夠有不同的理解，說出不同的變化，這是他無處不在的創(chuàng)新意識。

整理式(13)可得

進一步將關節(jié)角度約束和關節(jié)速度約束合并即可得到雙端約束：ξ-≤﹒θ≤ξ+,其中,ξ-和ξ+的第i個元素可分別定義如下.

3.1.1 圓形運動軌跡仿真實例 首先,讓PUMA560的末端執(zhí)行器作一個閉合的圓形軌跡,其半徑為0.1 m,觀察其關節(jié)軌跡能否閉合(即,關節(jié)角變量能否回到初始狀態(tài)).令末端執(zhí)行器的運動周期為10 s,重復運動設計參數(shù)λ(見式(6))設為4,關節(jié)變量的初始狀態(tài)為θ(0)=[0,0,0,0,0, 0]T弧度.對此進行計算機模擬仿真,結果如圖1、2所示.

圖1所示為PUMA560末端執(zhí)行器在空間中做閉合圓形軌跡運動.可以看出,關節(jié)的最終狀態(tài)和初始狀態(tài)是重合的,達到了預期的目的.值得指出的是,其最大位置誤差不大于4×10-7m.另外,圖2給出了機器手臂的關節(jié)瞬時變量θ(t)的軌跡圖.顯然,關節(jié)變量都回到了各自的初始狀態(tài).因此,二次型優(yōu)化方案(9)～(11)可認為是一個有效的重復運動優(yōu)化方案.

2 原理分析

首先,定義一個基于范數(shù)的標量對數(shù)取值的誤差函數(shù)

由于函數(shù)φ(x)=ln(x)為(0,∞)上的單調遞增函數(shù),顯然,當二范數(shù)‖θ-θ(0)‖取得最小值(即θ=θ(0),表示關節(jié)變量在關節(jié)空間中的軌跡閉合.但在工程實際中,末態(tài)變量與初始變量總是存在一定的誤差,如10-5)時,該誤差函數(shù)ε便可取得最小值.

胡馬強把手朝下按了按，頗有領導的派頭，示意何澤不說了。然后把頭轉向一旁的李站長，說老李你是林木專家，做個中間人，說個價格？！李站長模棱兩可地說，黃金有價玉無價啊，呵呵呵……

其次,基于負梯度或梯度下降的思想,可以設計得到如下表達式.

(5)當數(shù)據(jù)到達入口隧道路由器ITR后，對其實行解封裝，并將解封裝后的數(shù)據(jù)發(fā)至主機X。至此，端到端的交互過程全部完成。

式中：設常數(shù)γ=λ/2＞0.該設計思想的目的在于迫使誤差函數(shù)ε沿負梯度下降方向迅速收斂到其最小值,使得θ(t)趨近于θ(0),從而達到減少或消除關節(jié)角偏差現(xiàn)象的目的.由于為一標量,故式(12)也可改寫為

值得指出的是,式(14)只是理想情況,實際問題中還需要考慮很多的因素,如關節(jié)物理極限、障礙物躲避以及奇異點等.所以,更為合理的重復運動判據(jù)應為最小化

最后,令c=λ(θ-θ(0)),則上述判據(jù)也可表示成如下帶1/2系數(shù)的性能指標

值得指出的是,由于文章是探討在速度層上解決關節(jié)角偏差問題,故可以忽略θ項.則上述帶1/2系數(shù)的性能指標經(jīng)過化簡之后,便可得到式(3)所示的性能指標,即

最佳適應算法BF(Best Fit):在裝入貨品時裝入到最合適這個貨品的箱子里，這個箱子不是第一個可裝的箱子，而是最合適的。當沒有適合該物體的箱子時，打開一個空箱子。

3 計算機仿真

3.1 PUMA560機器手臂

PUMA560可以是功能上冗余的機器手臂,共有6個自由度.若僅考慮其末端執(zhí)行器在笛卡爾空間的位置而不考慮其取向時,其冗余度則為3.在此將對PUMA560的末端執(zhí)行器作兩個仿真實例,也即,分別做閉合圓形和直線軌跡運動.

式中：常數(shù) μ＞0是用來調節(jié)由關節(jié)速度決定的可行域.因此,帶有物理約束的機械臂的無偏差冗余度解析問題(4)～(8)最終可以描述為如下新的二次型規(guī)劃問題.

圖1 PUMA560機械臂做圓形運動的封閉軌跡

圖2 PUM A560機械臂的關節(jié)瞬態(tài)變量

3.1.2 直線運動軌跡仿真實例 為了全面驗證二次型優(yōu)化方案(9)～(11)的有效性,再次讓PUMA560末端執(zhí)行器作來回直線運動,其(直線)長度為1.125 m,觀察其關節(jié)軌跡能否重合.末端執(zhí)行器的運動周期為20 s,重復運動設計參數(shù)λ設定為4,關節(jié)變量的初始狀態(tài)為：θ(0)=[0,0,0, 0,0,0]T弧度.對PUMA560機器手臂進行計算機模擬仿真,結果如圖3、4所示.

圖3 PUMA560機械臂做直線運動的封閉軌跡

從圖3可以看出,當末端執(zhí)行器作完直線運動后,其關節(jié)的最終狀態(tài)與初始狀態(tài)是重合的,因此也達到了預期目的,且其最大位置誤差不大于3×10-6m.另外,從圖4給出的關節(jié)變量的變化也可以看出,各關節(jié)末態(tài)與初態(tài)也是重合的,即各關節(jié)變量都回到了初始狀態(tài).可見,二次型優(yōu)化方案(9)～(11)可以較好地消除關節(jié)角偏差現(xiàn)象.

PUMA560機器手臂做圓形和直線運動軌跡的計算機模擬仿真結果表明,基于新型性能指標的二次型優(yōu)化方案(9)～(11)可以達到重復運動的目的.

圖4 PUM A560機械臂的關節(jié)瞬態(tài)變量

3.2 四連桿機器手臂

令平面四連桿機器手臂的末端執(zhí)行器作直線運動軌跡(如圖5所示的運動情況),關節(jié)的初始狀態(tài)設為θ(0)=[3π/4,-π/2,-π/4,0]T弧度,觀察各關節(jié)軌跡能否重合(即,各關節(jié)角變量在周期運動后能否回到初始狀態(tài)),仿真結果如圖5、6所示.

圖5 四連桿機械臂做直線運動的封閉軌跡

圖6 四連桿機械臂的關節(jié)瞬態(tài)變量

從圖5可以看出,四連桿機器手臂的各個關節(jié)在完成直線軌跡的運動后,都回到了其初始位置(即,最終狀態(tài)與初始狀態(tài)重合);仿真結果達到預期的目的,且其最大位置誤差不大于1.4× 10-5m.從圖6也可以看出,在經(jīng)過周期運動之后,平面四連桿機器手臂的各自關節(jié)狀態(tài)都回到初始狀態(tài).因此,新方案(9)～(11)可認為是一個有效的關節(jié)重復運動冗余度解析方案.

值得指出的是,也對PA10機器手臂作了相關的模擬仿真,即,在空間上做閉合圓形和直線軌跡運動.仿真結果也驗證了新方案(9)～(11)可以使各關節(jié)均實現(xiàn)重復運動(因篇幅所限,沒有給出相關的仿真結果：運動軌跡和關節(jié)瞬時變量).

都說現(xiàn)在社會競爭激烈，甚至有人鼓吹生命的誕生就是一場競爭，不能讓孩子輸在起跑線上。女兒的競爭意識差一點，但我從來沒有覺得這是困擾我的難題，在我看來，這個年齡階段的孩子，他們的任務不是向外延展尋找自己的競爭對手，而應向內積累學會接納自己。低齡階段的兒童如果不能接納他人，其實本質上是不具備接納自己的能力。

從3種機器手臂(即,PUMA560機械臂、四連桿機械臂和PA10機械臂)的計算機模擬仿真結果可以看出,基于性能指標(9)的二次型優(yōu)化方案(9)～(11)可以較好地解決關節(jié)角偏差問題(現(xiàn)象),以實現(xiàn)機器手臂的關節(jié)重復運動,從而可以有效地應用于實際工程當中.

4 結束語

通過定義一個基于范數(shù)標量對數(shù)取值的誤差函數(shù)推導出一個新的性能指標,將冗余度機械臂(如PUMA560機械臂和四連桿機械臂)的解析問題最終轉化為統(tǒng)一的二次型優(yōu)化方案(9)～(11).通過對PUMA560機械臂、四連桿機械臂和PA10機械臂進行計算機模擬仿真,驗證結果表明該優(yōu)化方案(9)～(11)能有效地減小或消除關節(jié)角偏差現(xiàn)象,在實際工程中可能具有較大的應用價值.

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