水泥砂漿的一個熱粘彈性率型損傷本構模型*

陶俊林，李 奎

(西南科技大學土木工程與建筑學院，四川 綿陽621010)

混凝土類材料是一種重要的結構工程材料，已被廣泛應用于高層建筑、工業(yè)廠房、橋梁、大壩等工程。然而，在現(xiàn)代工程結構中，混凝土類材料除了會經(jīng)受一般的靜態(tài)載荷和動態(tài)載荷外，還可能在火災環(huán)境中遭受爆炸或沖擊荷載的作用，如火災中煤氣罐的爆炸、化學物質燃燒引起的爆炸、火工品的燃燒爆炸及上層建筑垮塌對下面建筑的沖擊等。為了更好地研究和分析在這些特殊條件下結構的響應情況，需要研究混凝土類材料在高溫和沖擊荷載同時作用下的力學特性。

對混凝土類材料的動態(tài)力學性能已經(jīng)有了比較深刻的認識，對其動態(tài)本構特性也做了相關研究。P.H.Bischoff［1］和D.L.Grote 等［2］利用SHPB 對混凝土的動態(tài)力學性能進行了實驗研究;胡時勝和王道榮等［3-5］利用損傷凍結實驗對混凝土的損傷演化規(guī)律進行了研究，并基于ZWT 本構模型提出了混凝土的動態(tài)本構方程。商霖等［6-7］利用輕氣炮動力實驗裝置分別對混凝土和鋼筋混凝土在沖擊荷載作用下的力學性能進行了實驗研究，并在理想各向同性的粘彈性本構關系基礎上引入損傷，分別建立了混凝土材料和鋼筋混凝土材料的動態(tài)本構模型。陳江瑛等［8-9］基于金屬的熱激活理論對水泥砂漿的動態(tài)損傷演化規(guī)律進行了研究，并利用ZWT 本構模型提出水泥砂漿高應變率下的本構方程。然而，這些研究都未涉及溫度對混凝土類材料力學特性的影響，高應變率下與溫度相關的混凝土本構關系也鮮見報道。水泥砂漿作為無粗骨料的混凝土，制作和加工相對容易且均勻性較好，本文中以它為研究對象。

1 高溫沖擊壓縮實驗

實驗裝置為?50SHPB，所用水泥砂漿采用42.5R 普通硅酸鹽水泥，砂為中砂，拌合水為自來水。砂漿的配合比為:w(水泥)∶ w(砂子)∶ w(水)=1∶ 2∶ 0.5。試件尺寸為?49.8 mm×35 mm。實驗時，在入射桿的前端加入波形整形器，以改善波形彌散。為了快速均勻地加熱試件，研制了高溫加熱設備微波加熱爐［10］。

實驗溫度為20、220、370、480、600 ℃，同一溫度下分別進行3 種沖擊速度的實驗。圖1 為高溫沖擊壓縮實驗時典型的波形曲線。實驗時，預先將系統(tǒng)氣壓充到預定氣壓，接著將試件加熱到預定溫度后，迅速安放到SHPB 實驗系統(tǒng)上，快速進行實驗。圖2 為不同沖擊速度下不同溫度水泥砂漿試件典型的應力應變曲線。圖中的星號表示試件在這種情況下的峰值應力(或破壞應力)點。詳細的實驗技術、過程及分析可以參看文獻［11］。

圖1 水泥砂漿試件典型的波形Fig.1 Typical wave curves of cement mortar

圖2 不同沖擊速度和溫度下水泥砂漿試件典型的應力應變曲線Fig.2 Typical stress-strain curves of cement mortar at different impact velocities and different temperatures

2 熱粘彈性率型損傷本構模型理論分析

由文獻［12］可知，粘性和損傷滯后是產(chǎn)生混凝土材料非線性特性和率敏感性的2 個重要因素，因此，將混凝土類材料看作加入損傷的粘彈性材料，其本構方程的一般形式如下［13］

式中:σd為表觀應力，即含損傷的材料應力;σi為無損傷材料的應力。

2.1 損傷演化規(guī)律

混凝土類材料的破壞以微裂紋、微空洞等損傷的產(chǎn)生和演化為前導，它們在客觀上起到某種弱化作用。為了較好地反映材料的弱化效應，采用概率密度服從Weibull 分布的函數(shù)來表征水泥砂漿的損傷演化規(guī)律［14-15］

式中:α、n、γ 分別為尺度參數(shù)、形狀參數(shù)和損傷閾值。γ 一般在0.2 ～0.4 倍峰值應變范圍內［16］，同時考慮到在準靜態(tài)實驗時，通常認為混凝土材料在0 ～0.3 倍峰值應力范圍內裂紋的擴展可以忽略。因此，本文中取γ=0.3εp，εp為水泥砂漿在相應條件下的峰值應變，則有

2.2 粘彈性率型損傷本構模型

由文獻［17-18］知，在準靜態(tài)荷載到?jīng)_擊荷載范圍內，即在應變率為10－4～103s－1范圍內，常溫下高聚物材料的非線性粘彈性本構行為可以采用ZWT 本構模型較好地描述。陳江瑛等［9］在分析水泥砂漿時，發(fā)現(xiàn)ZWT 本構模型同樣可以應用于混凝土本構特性的描述，其表達式為

式中:fe(ε)描述非線性彈性平衡響應，E0、α、β(或σm、m、k)是對應的彈性常數(shù);第1 個積分項描述低應變率下的粘彈性響應;第2 個積分項描述高應變率下的粘彈性響應，E1、E2和θ1、θ2分別是所對應的Maxwell 單元的彈性常數(shù)和松弛時間。

式(5b)中，為了防止由于fe(ε)函數(shù)的選取形式帶來的彈性應變強化和軟化現(xiàn)象，本文中的fe(ε)選取冪指數(shù)形式。對于水泥砂漿材料，由式(2)、(4)和(5)得計及損傷的粘彈性本構方程為

上式中包含9 個材料參數(shù)，各有明確的物理意義。

2.3 熱粘彈性率型損傷本構模型

以上討論是基于室溫條件進行的。圖2 表明不同溫度下水泥砂漿材料的應力應變曲線具有相似的特性，因此，2.2 節(jié)的討論可推廣到不同溫度情況。為方便進一步考察溫度效應，將相同沖擊速度不同溫度下的應力應變曲線改繪成給定應變下的σ-T 曲線，如圖3 所示。圖中給定應變是以等差值(0.005)變化的，但曲線間的距離所反映的應力差卻不是以等差值變化的。這也表明溫度對水泥砂漿材料的損傷是非線性的。因此，可以考慮式(6)中的9 個材料參數(shù)均是溫度T 的函數(shù)，即有

式中的材料參數(shù)可根據(jù)不同溫度下的實驗數(shù)據(jù)擬合求得。

3 本構模型參數(shù)擬合

由上述可知，同一溫度下模型參數(shù)的求解需要準靜態(tài)、準動態(tài)及動態(tài)條件下3 組不同應變率的實驗曲線。因此，進行動態(tài)實驗的同時，在材料萬能試驗機上進行了相同溫度下的準靜態(tài)和準動態(tài)壓縮實驗，其實驗曲線如圖4 中的實線所示(均只給出峰值應力以前數(shù)據(jù)，峰值應力以后，試件開始破壞)。

實際參數(shù)擬合時，選取準靜態(tài)、準動態(tài)壓縮實驗曲線和7 m/s 條件下沖擊壓縮實驗曲線作為動態(tài)曲線進行擬合。準靜態(tài)與準動態(tài)曲線擬合時不考慮損傷的影響，參數(shù)k 由準靜態(tài)壓縮曲線確定，發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一取k=4 即可滿足要求，σm、m 和E1、θ1由準靜態(tài)和準動態(tài)響應分別求得，擬合情況如圖4 所示。E2和θ2在擬合時，由于隨著溫度的升高，實際曲線初始段為下凹型，直接擬合時，不能得到有效的結果。因此以常溫時的參數(shù)作為參考，采用經(jīng)驗取值，使得理論曲線的前一部分盡量和0.3εp前的實驗曲線吻合。α和n 由計入損傷后材料的響應求得。實際擬合時，發(fā)現(xiàn)可以將n 取為固定值0.7。通過對不同溫度下實驗數(shù)據(jù)的擬合，得到相應溫度下水泥砂漿材料的最優(yōu)模型參數(shù)如表1 所示。

圖4 不同溫度下水泥砂漿準靜態(tài)和準動態(tài)的擬合曲線與實驗曲線Fig.4 Fitted and experimental stress-strain curves at different temperatures under quasi-static and quasi-dynamic loads

表1 不同溫度下的水泥砂漿試件的模型參數(shù)Table 1 Model parameters of cement mortar at different temperatures

根據(jù)表1 數(shù)據(jù)，可以得到該水泥砂漿材料各參數(shù)隨溫度的變化滿足以下公式

式(8)和式(7)一起構成了該水泥砂漿材料的熱粘彈性率型損傷本構模型。本構方程擬合所得理論曲線和實測應力應變曲線的比較如圖5 所示。由圖5 可知，在各種沖擊速度下，除初始上升段有一定的差異，其余部分吻合良好(應力應變曲線的初始段對水泥砂漿材料的實際應用影響較小)，因此所得模型是可行的。

圖5 水泥砂漿不同溫度條件下理論曲線與實驗曲線的對比Fig.5 Comparison of stress-strain curves of cement mortar between theory and experiment at different temperatures

4 結 論

基于ZWT 粘彈性本構模型，考慮高溫下水泥砂漿損傷演化規(guī)律都服從Weibull 分布，提出的一個水泥砂漿的熱粘彈性率型損傷本構模型可以較好地描述水泥砂漿在高溫和沖擊荷載同時作用下的動態(tài)特性。在下一步的工作中，將考慮圍壓等因素對水泥砂漿材料的動態(tài)力學行為的影響。

［1］ Bischoff P H.Compressive behavior of concrete at high strain rates［J］.Material and Structure，1991，114(24):425-450.

［2］ Grote D L，Park S W，Zhou M.Dynamic behavior of concrete at high strain rates and pressures:I.experimental characterization［J］.International Journal of Impact Engineering，2001，25(9):869-886.

［3］ 胡時勝，王道榮，劉劍飛.混凝土材料動態(tài)力學性能實驗研究［J］.工程力學，2001，18(5):115-118.HU Shi-sheng，WANG Dao-rong，LIU Jian-fei.Experimental study of dynamic mechanical behavior of concrete［J］.Engineering Mechanics，2001，18(5):115-118.

［4］ 王道榮，胡時勝.沖擊荷載下混凝土材料損傷演化規(guī)律的研究［J］.巖土力學與工程學報，2003，22(2):223-226.WANG Dao-rong，HU Shi-sheng.Study on damage evolution of concrete under impact load［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2003，22(2):223-226.

［5］ 胡時勝，王道榮.沖擊荷載下混凝土材料的動態(tài)本構關系［J］.爆炸與沖擊，2002，22(3):242-246.HU Shi-sheng，WANG Dao-rong.Dynamic constitutive relation of concrete under impact［J］.Explosion and Shock Waves，2002，22(3):242-246.

［6］ 商霖，寧建國.強沖擊荷載下混凝土動態(tài)本構關系［J］.工程力學，2005，22(2):116-119.SHANG Lin，NING Jian-guo.Dynamic constitutive relationship of concrete subjected to shock loading［J］.Engineering Mechanics，2005，22(2):116-119.

［7］ 商霖，寧建國，孫遠翔.強沖擊荷載下鋼筋混凝土動態(tài)本構關系的研究［J］.固體力學學報，2005，26(2):175-181.SHANG Lin，NING Jian-guo，SUN Yuan-xiang.The constitutive relationship of reinforced concrete subjected to shock loading［J］.Acta Mechanics Solida Sinica，2005，26(2):175-181.

［8］ 陳江瑛，黃旭升，王禮立.水泥砂漿的損傷演化［J］.中國礦業(yè)大學學報，1998(5):41-44.CHEN Jiang-ying，HUANG Xu-sheng，WANG Li-li.Study on rate depent damage evolution of cement mortar［J］.Journal of China University of Mining＆Technology，1998(5):41-44.

［9］ 陳江瑛，王禮立.水泥砂漿的率型本構方程［J］.寧波大學學報(理工版)，2000，13(2):1-5.CHEN Jiang-ying，WANG Li-li.Rate-dependent constitutive equation of cement mortar［J］.Journal of Ningbo University(Natural Science＆Engineering Edition)，2000，13(2):1-5.

［10］ 秦李波.混凝土高溫實驗技術及高溫力學性能研究［D］.綿陽:西南科技大學，2009.

［11］ 陶俊林，秦李波，李奎，等.混凝土高溫動態(tài)壓縮力學性能實驗研究［J］.爆炸沖擊，2011，31(1):101-107.TAO Jun-lin，QIN Li-bo，LI Kui，et al.Experimental investigation on dynamic compression mechanical performance of concrete at high temperature［J］.Explosion and Shock Waves，2011，31(1):101-107.

［12］ 尚仁杰.混凝土動態(tài)本構行為研究［D］.大連:大連理工大學，1994.

［13］ 李霞.損傷力學及應用［M］.北京:科學出版社，2002.

［14］ 孫飛飛，沈祖炎.混凝土單軸受拉的非局部本構模型［J］.力學季刊，2006，3(1):1-6.SUN Fei-fei，SHEN Zhu-yan.Anon-local consititutive for concrete under uniaxial tension［J］.Chinese Quarterly Mechanics，2006，3(1):1-6.

［15］ 陶俊林，秦李波.一種新的混凝土單軸壓縮損傷本構模型［J］.四川大學學報(自然科學版)，2009，46(4):1084-1088.TAO Jun-lin，QIN Li-bo.A new damage constitutive model for concrete on uniaxial compression［J］.Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)，2009，46(4):1084-1088.

［16］ 寧建國，商霖，孫遠翔.混凝土材料沖擊特性的研究［J］.力學學報，2006，38(2):199-208.NING Jian-guo，SHANG Lin，SUN Yuan-xiang.Investigation on impact behavior of concerete［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(2):199-208.

［17］ 唐志平.高應變率下環(huán)氧樹脂的力學性能研究［D］.合肥:中國科技大學，1981.

［18］ 王禮立，董新龍，孫紫建.高應變率下計及損傷演化的材料動態(tài)本構行為［J］.爆炸與沖擊，2006，26(3):193-198.WANG Li-li，DONG Xin-long，SUN Zi-jian.Dynamic constitutive behavior of materials at high strain rate taking account of damage evolution［J］.Explosion and Shock Waves，2006，26(3):193-198.