基于信息量等值的火工品可靠性評估小樣本方法

董海平，趙霞，蔡瑞嬌

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

0 引言

隨著武器裝備和航空航天器技術(shù)的發(fā)展，對與之配套的火工品可靠性(本文指發(fā)火可靠性)要求越來越高，大部分火工品的可靠度指標(biāo)已達(dá)到了0.999，有的甚至達(dá)到了0.999 5.若采用經(jīng)典方法［1］評估其可靠性，因所需樣本量大，工程中常常難以實(shí)施。為了解決火工品高可靠性的評估問題，田玉斌［2］提出了計(jì)量與計(jì)數(shù)法相結(jié)合的Bayes 可靠性評定方法，在很大程度上減少了樣本量;馮蘊(yùn)雯等［3］、張士峰等［4］對小子樣Bayes 可靠性評定方法進(jìn)行了改進(jìn)，使樣本量進(jìn)一步減少［3-4］。劉炳章等［5］、劉杰等［6］提出基于熵強(qiáng)化系數(shù)，選擇熵強(qiáng)化系數(shù)等于功能裕度系數(shù)的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，能使試驗(yàn)熵最大，試驗(yàn)所需樣本量最小，即“最大熵試驗(yàn)法”，初步解決了航天火工品高可靠性的評估問題;榮吉利等［7］利用裕度思想提出了一種加嚴(yán)條件下的火工機(jī)構(gòu)的可靠性評估方法。這些方法對火工品高可靠性小樣本評估起到了很好的推動作用。

可靠性試驗(yàn)的目的是獲取產(chǎn)品的可靠性信息，以此對產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評估［8］，因此，可靠性評估技術(shù)的關(guān)鍵是獲取足夠多的可靠性信息量。信息論中，信息量是隨機(jī)變量不確定性的度量。在火工品可靠性試驗(yàn)中，其試驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的，外界施加的能量越高，發(fā)火可靠度越高，其試驗(yàn)結(jié)果不確定性就越小，從試驗(yàn)成功中獲得的可靠性信息量就越少。按經(jīng)典方法評估時(shí)，一般直接在技術(shù)指標(biāo)規(guī)定的工作刺激量處進(jìn)行試驗(yàn)，由于在工作刺激量處的發(fā)火可靠度高，因此在該處進(jìn)行的每發(fā)產(chǎn)品試驗(yàn)成功獲得的可靠性信息量就少，為獲得足夠的可靠性信息量需要樣本量就大;反之，如果能在低刺激量處進(jìn)行試驗(yàn)，每發(fā)產(chǎn)品試驗(yàn)成功獲得的可靠性信息量就多，為獲得同樣的可靠性信息量需要樣本量就可以小一些。本文根據(jù)在低刺激量下試驗(yàn)比在高刺激量下試驗(yàn)成功能獲得更多可靠性信息量的原理，降低試驗(yàn)刺激量，使在低刺激量處少量樣本的試驗(yàn)獲得的可靠性信息量與根據(jù)GJB 376—1987 評估時(shí)在工作刺激量處進(jìn)行大量試驗(yàn)獲得的可靠性信息量等值，實(shí)現(xiàn)小樣本方法與采用GJB376—1987 方法評估結(jié)果等效。

1 火工品可靠性試驗(yàn)信息量等值評估原理

信息論中，一個(gè)隨機(jī)事件所含有的信息量稱為自信息量，定義［9］為

式中:P 為隨機(jī)事件發(fā)生的概率;I 代表兩種含義:當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生以前，表示事件的不確定性;當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生以后，表示該事件所含有(或所提供)的信息量。

信息量采用的單位取決于對數(shù)所選取的底，如果采用以e 為底的自然對數(shù)，則所得的信息量單位為奈特(nat，nature unit 的縮寫)，即I=-lnP.

火工品可靠性試驗(yàn)屬一次性作用產(chǎn)品的成敗型試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功獲得的可靠性信息量可以采用類似的方式來度量，即可定義為

式中:R 為可靠度，即火工品試驗(yàn)的發(fā)火概率;TI 表示每發(fā)產(chǎn)品發(fā)火后所提供的可靠性信息量。

火工品的可靠性指標(biāo)一般表示為:對于工作刺激量xH，在置信水平γ 的情況下，可靠度不低于R.如果采用GJB376—1987 評估，在無失效的情況下，要試驗(yàn)nxH發(fā)產(chǎn)品，其中nxH由(3)式計(jì)算。

若火工品感度服從正態(tài)分布，則xH處的可靠度為其中μ、σ 為未知的感度分布參數(shù)。按照上述火工品可靠性信息量的定義，在xH處單發(fā)產(chǎn)品試驗(yàn)成功獲得的信息量為TIH=-lnRxH.按照信息量可加性原理，nxH發(fā)產(chǎn)品試驗(yàn)全部成功獲得的總信息量為nxHTIH=nxH(-lnRxH).

選擇某一低刺激量xL進(jìn)行試驗(yàn)，使xL＜xH，xL處的可靠度為其中μ、σ 為未知的感度分布參數(shù)。在xL處單發(fā)產(chǎn)品試驗(yàn)成功獲得的信息量為TIL=-lnRxL，若在xL處試驗(yàn)nxL發(fā)產(chǎn)品，則nxL發(fā)產(chǎn)品全部試驗(yàn)成功獲得的總信息量為nxLTIL=nxL(-lnRxL).

關(guān)于火工品的可靠性評估，一般認(rèn)為按GJB376—1987 評估試驗(yàn)中包含了足夠的可靠性信息量，評估結(jié)果可信。因此，令在低刺激量xL處試驗(yàn)nxL發(fā)產(chǎn)品獲得的可靠性信息量與按GJB376—1987 在工作刺激量xH處試驗(yàn)nxH發(fā)產(chǎn)品獲得的信息量相等，即

(4)式稱為火工品可靠性信息量等值方程。

由于刺激量xL＜xH，則相應(yīng)的可靠度RxL＜RxH，即(-lnRxL)＞(-lnRxH)，根據(jù)等值方程(4)式易得到nxL＜nxH，即降低了樣本量。如果xL越小，則所需的nxL也會越少。實(shí)際工程中，為了兼顧生產(chǎn)方和使用方的實(shí)際情況，可根據(jù)產(chǎn)品的批量和工程實(shí)際共同協(xié)商確定允許試驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù)量nxL，然后根據(jù)感度試驗(yàn)估計(jì)出感度分布參數(shù)，再利用信息量等值方程和感度分布模型確定出低刺激量xL，最后在xL處進(jìn)行少量試驗(yàn)，根據(jù)該試驗(yàn)結(jié)果作出可靠性判定。

本方法就是根據(jù)在高刺激量處試驗(yàn)，其獲得的信息量值小，而選擇低刺激量進(jìn)行試驗(yàn)，使單個(gè)產(chǎn)品試驗(yàn)獲得的可靠性信息量增加，從而達(dá)到了降低樣本量的目的。

2 小樣本評估程序

2.1 計(jì)算按GJB376—1987 評估所需的樣本量nxH

由置信水平γ，可靠度R，按(3)式計(jì)算nxH.

2.2 升降法試驗(yàn)

按GJB/Z377A—1994［10］的規(guī)定進(jìn)行3 組升降法試驗(yàn)，每組樣本量為50，然后根據(jù)極大似然估計(jì)原理求出產(chǎn)品感度分布參數(shù)μ、σ 的估計(jì)。

2.3 刻度參數(shù)糾偏

由GJB/Z377A—1994 規(guī)定的升降法試驗(yàn)方案得到的試驗(yàn)結(jié)果確定感度分布參數(shù)時(shí)，μ 的估計(jì)是無偏的，而σ 的估計(jì)是有偏的［11］。這勢必影響可靠度估計(jì)的準(zhǔn)確性，因此糾偏成為本方法的關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)［12］對升降法試驗(yàn)σ 估計(jì)的糾偏問題進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬研究，得出了σ 估計(jì)的糾偏系數(shù)，本方法采用該文獻(xiàn)提出的糾偏系數(shù)對σ 估計(jì)進(jìn)行糾偏，得到經(jīng)過糾偏處理后的3 組升降法參數(shù)估計(jì)值的平均值為

2.4 低刺激量xL 的確定

本文以正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布為例。

2.4.1 正態(tài)分布

nxL可由生產(chǎn)方和使用方根據(jù)產(chǎn)品設(shè)計(jì)、工藝、性能、管理等信息確定，也可采用本方法根據(jù)研究結(jié)果推薦的樣本量，見表1.

表1 試驗(yàn)信息量等值評估方法在低刺激量處的試驗(yàn)樣本量推薦表Tab.1 Test number for assessment method based on test information measure equivalence

將nxH、和nxL代入可靠性試驗(yàn)信息量等值方程(4)式，求得xL處的可靠度估計(jì)值，然后按(6)式計(jì)算

2.4.2 對數(shù)正態(tài)分布

2.5 結(jié)果判定

在刺激量xL處，取確定的試驗(yàn)樣本量nxL進(jìn)行試驗(yàn)，若全發(fā)火，則可判定產(chǎn)品滿足可靠性指標(biāo)。

3 大、小樣本對比驗(yàn)證試驗(yàn)

某撞擊火帽可靠性指標(biāo)為:γ=0.90，R=0.999.發(fā)火上限為落高10 cm，落錘388 ±1 g.

3.1 大樣本法評估

由于步進(jìn)法試驗(yàn)數(shù)量較大，且其參數(shù)估計(jì)穩(wěn)定，因此在實(shí)際工程中常把步進(jìn)法稱為大樣本方法。大樣本方法是根據(jù)步進(jìn)法試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)，然后求出滿足可靠性指標(biāo)的刺激量上限，若其上限小于該產(chǎn)品的工作刺激量，則可判定產(chǎn)品達(dá)到可靠性指標(biāo)。

對本產(chǎn)品進(jìn)行了2 800 發(fā)的步進(jìn)法試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2所示。

表2 步進(jìn)法試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Test data of run-own method

通過χ2檢驗(yàn)得到該撞擊火帽感度服從對數(shù)正態(tài)分布，采用極大似然原理估計(jì)出其感度分布參數(shù)(對數(shù)均值為1.57，對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.16)，并計(jì)算得與可靠性指標(biāo)對應(yīng)的刺激量置信上限為^x0.999U=8.02 cm.

由于發(fā)火上限落高為10 cm，則可判斷該產(chǎn)品達(dá)到了可靠性指標(biāo)。

3.2 采用本小樣本方法評估

由可靠性指標(biāo)γ=0.90，R=0.999，按(3)式計(jì)算可得，nxH=2 303 發(fā)。

進(jìn)行3 組升降法試驗(yàn)，受測量精度的限制，升降法試驗(yàn)中刺激量選正態(tài)分布等步長進(jìn)行，原始數(shù)據(jù)列于表3中。

根據(jù)步進(jìn)法試驗(yàn)結(jié)果，該產(chǎn)品感度服從對數(shù)正態(tài)分布，因此先將各刺激量(落高)利用y=lnx 轉(zhuǎn)換為對數(shù)值，然后利用極大似然估計(jì)原理求出參數(shù)估計(jì)值，見表4所示。

利用文獻(xiàn)［12］中的正態(tài)分布糾偏系數(shù)表對標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行糾偏，糾偏后的3 組升降法參數(shù)估計(jì)值的平均值(對數(shù)值)為

表3 3 組升降法試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.3 Three groups of test data up-and-down method

表4 3 組升降法參數(shù)估計(jì)結(jié)果(對數(shù)值)Tab.4 Parameter estimation values (logarithm)of three groups of up-and-down test data

由產(chǎn)品可靠性指標(biāo)和表1可確定樣本量nxL為22 發(fā)。xH=10 cm，對xH取對數(shù)yH=lnxH=ln10=2.303.把=1.585，=0.164，lnxH，代入(5)式可求得xH處的可靠度估計(jì)=0.999 994.然后把nxH=2 303 發(fā)，nxL=22 發(fā)，=0.999 994 代 入(4)式，求得xL處的可靠度估計(jì)值=0.999 372.再按(6)式求得xL的對數(shù)值yL=2.11，再根據(jù)(7)式，可求得低刺激量xL=8.2 cm.

在8.2 cm 處試驗(yàn)產(chǎn)品22 發(fā)，全部發(fā)火。判定該產(chǎn)品發(fā)火可靠性達(dá)到了置信度γ=0.90，可靠度R=0.999 的指標(biāo)。

評估結(jié)果與大樣本方法一致，驗(yàn)證了本小樣本方法的可行性。采用本小樣本方法進(jìn)行評估時(shí)，3 組升降法試驗(yàn)共用了150 發(fā)產(chǎn)品，低刺激量處試驗(yàn)用了22 發(fā)，總共用了172 發(fā)產(chǎn)品，實(shí)現(xiàn)了對可靠度指標(biāo)為0.999 的評估，所需樣本量約為采用GJB376—1987 或步進(jìn)法進(jìn)行評估時(shí)的1/10，大幅度降低了樣本量。

4 結(jié)論

本文利用在低刺激量處進(jìn)行試驗(yàn)比在高刺激量處進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)塬@得更多可靠性信息量的原理，選擇低刺激量處進(jìn)行試驗(yàn)，使較少樣本試驗(yàn)獲得的總可靠性信息量與根據(jù)GJB376—1987 在工作刺激量處進(jìn)行的大量試驗(yàn)所獲得的可靠性信息量相等，以此為基礎(chǔ)，建立了火工品可靠性評估小樣本方法，大幅度降低了樣本量。該方法可解決高可靠性指標(biāo)的火工品可靠性評定中所需樣本量大，試驗(yàn)周期長，耗費(fèi)高的難題。用本方法已在國內(nèi)20 多個(gè)型號火工品與大樣本步進(jìn)法進(jìn)行了對比試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明本方法正確、可行，可以在火工品高可靠性評估中推廣使用。

References)

［1］ GJB376—1987 火工品可靠性評估方法［S］.北京:國防科技工業(yè)委員會，1987.GJB376—1987 Assessment method of reliability of initiating devices［S］.Beijing:Commission of Science Technology and Industry for National Defense，1987.(in Chinese)

［2］ 田玉斌.敏感性產(chǎn)品的可靠性評估方法研究［D］.北京:北京理工大學(xué)，2000.TIAN Yu-bin.Studies on reliability estimation for sensitivity products［D］.Beijing:Beijing Institute of Technology，2000.(in Chinese)

［3］ 馮蘊(yùn)雯，馮元生.極小子樣高可靠性成敗型產(chǎn)品的貝葉斯評估方法研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，1999，18(2):198-200.FENG Yun-wen，F(xiàn)ENG Yuan-sheng.Study of Bayes’s estimation for product test of extreme small-sample high-reliability safe-or-failure pattern［J］.Mechanicak Science and Technology，1999，18(2):198-200.(in Chinese)

［4］ 張士峰，樊樹江，張金槐.成敗型產(chǎn)品可靠性的Bayes 評估［J］.兵工學(xué)報(bào)，2001，22(2):238-240.ZHANG Shi-feng，F(xiàn)AN Shu-jiang，ZHANG Jin-huai.Bayesian assessment for product reliability using pass-fail data［J］.Acta Armamentarii，2001，22(2):238-240.(in Chinese)

［5］ 劉炳章，丁同才.小子樣驗(yàn)證高可靠性的可靠性評估方法及其應(yīng)用［J］.質(zhì)量與可靠性，2004，(1):19-22.LIU Bing-zhang.DING Tong-cai.Assessment method of high reliability with small samples and its application［J］.Quality and Reliability，2004，(1):19-22.(in Chinese)

［6］ 劉杰，王普，劉炳章.最大熵試驗(yàn)法及其應(yīng)用［J］.自動化學(xué)報(bào)，2007，33(11):1226-1228.LIU Jie，WANG Pu，LIU Bing-zhang.Test method with the maximum entropy and its application［J］.Acta Automatica Sinica，2007，33(11):1226-1228.(in Chinese)

［7］ 榮吉利，白美，劉志全.加嚴(yán)條件下火工機(jī)構(gòu)可靠性評估方法［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，24(2):118-120.RONG Ji-li，BAI Mei，LIU Zhi-quan.Reliability assessment of pyrotechnical devices under rigorous conditions［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2004，24(2):118-120.(in Chinese)

［8］ 徐維新，秦英孝.可靠性工程［M］.北京:電子工業(yè)出版社，1988.XU Wei-xin，QIN Ying-xiao.Reliability engineering［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，1988.(in Chinese)

［9］ 傅祖蕓.信息論—基礎(chǔ)理論與應(yīng)用［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2001.FU Zu-yun.Informatics-basic theory and application［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2001.(in Chinese)

［10］ GJB/Z377A—1994 感度試驗(yàn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法［S］.北京:國防科技工業(yè)委員會，1995.GJB/Z377A—1994 Sensitivity tests，statistical methods for［S］.Beijing:Commission of Science Technology and Industry for National Defense，1995.(in Chinese)

［11］ 劉寶光.敏感度數(shù)據(jù)分析與可靠性評定［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1995.LIU Bao-guang.Sensitivity data analysis and reliability assessment［M］.Beijing:National Defense Industry Press，1995.(in Chinese)

［12］ 董海平，溫玉全，蔡瑞嬌.升降法試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的偏差研究［C］∥中國航空學(xué)會可靠性工程專業(yè)委員會第十屆學(xué)術(shù)年會論文集.北京:國防工業(yè)出版社，2006.DONG Hai-ping，WEN Yu-quan，CAI Rui-jiao.Study on error of estimator of standard deviation in up-down method test［C］∥Paper Collections of the 10th Annual Seminar of Reliability Committee of Aviation Association of China.Beijing:National Defense Industry Press，2006.(in Chinese)