結(jié)合梯度信息的主動(dòng)輪廓模型圖像分割算法

張景輝，李 波，黨長(zhǎng)青

ZHANG Jing-hui，LI Bo，DANG Chang-qing

（唐山學(xué)院，唐山 063020）

0 引言

圖像分割在計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖像處理等應(yīng)用中起著重要的作用?；趫D像全局信息的主動(dòng)輪廓模型Mumford-Shah模型[1]被提出以后日益成為圖像分割領(lǐng)域中一種有效而強(qiáng)大的研究工具。Chan和Vese在Mumford-Shah模型和水平集方法[2]的基礎(chǔ)上提出了一種圖像分割模型—C-V模型[3]。該模型提出以后人們對(duì)其進(jìn)行了深入的研究[4~6]。C-V模型具有很多優(yōu)點(diǎn)，例如,可以得到全局最優(yōu)解；能有效分割離散狀的目標(biāo)；分割結(jié)果對(duì)活動(dòng)輪廓曲線的初始位置不敏感，等等。雖然C-V模型具有很多優(yōu)點(diǎn)，但也有如下的缺點(diǎn)：1）由于δε（x）函數(shù)對(duì)遠(yuǎn)離活動(dòng)輪廓曲線的目標(biāo)邊緣的抑制，使得C-V模型的分割速度非常慢。2）由于C-V模型僅利用一條閉合活動(dòng)輪廓曲線分割圖像，因此該模型只適用于分割具有一個(gè)目標(biāo)的圖像或者具有多個(gè)相同灰度級(jí)目標(biāo)的圖像，對(duì)于含有多灰度級(jí)目標(biāo)的圖像只能有效分割出強(qiáng)目標(biāo)而弱目標(biāo)則不能被正確地分割。針對(duì)C-V模型的上述缺點(diǎn)很多學(xué)者提出了改進(jìn)方法。例如，李俊等[7]提出了用常數(shù)1替換δε（x）的改進(jìn)方法。該改進(jìn)方法雖然加速了C-V模型的分割速度，但也同時(shí)加速了活動(dòng)輪廓曲線滑過(guò)弱目標(biāo)區(qū)域的速度，從而加劇了過(guò)迭代和漏分割現(xiàn)象的產(chǎn)生。Song Gao等[8]提出了采用多個(gè)活動(dòng)輪廓曲線分割圖像的方法，該方法雖然能實(shí)現(xiàn)多灰度級(jí)目標(biāo)的分割，但交替的進(jìn)化多個(gè)活動(dòng)曲線的計(jì)算量非常大并且計(jì)算結(jié)果也不穩(wěn)定。

基于以上原因本文提出了把梯度信息引入C-V模型偏微分方程的圖像分割算法。根據(jù)C-V模型完成圖像分割時(shí)，目標(biāo)區(qū)域像素點(diǎn)與背景區(qū)域像素點(diǎn)的水平集函數(shù)值的特征提出了一個(gè)基于梯度信息的加速因子。該加速因子可以有效地加速目標(biāo)邊界處像素點(diǎn)水平集函數(shù)值的進(jìn)化速度，從而加速C-V模型的分割速度。根據(jù)水平集方法的基本原理和弱目標(biāo)的梯度特征提出了一個(gè)弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)，該控制項(xiàng)可以快速穩(wěn)定地鎖定弱目標(biāo)邊界像素點(diǎn)的水平集函數(shù)值，使弱目標(biāo)可以被快 速地，正確地分割。由于弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)可以使弱目標(biāo)被有效分割，因此結(jié)合梯度信息的C-V模型只使用一條活動(dòng)輪廓曲線就可以正確分割含有多灰度級(jí)目標(biāo)的圖像。

1 C-V模型分析

1.1 C-V模型

假設(shè)圖像中每個(gè)同質(zhì)區(qū)域的灰度是常數(shù)，設(shè)定義域?yàn)?的圖像u0（x,y）被閉合活動(dòng)輪廓曲線C劃分為目標(biāo)ui（C的內(nèi)部inside（C））和背景uo（C的外部outside（C））兩個(gè)區(qū)域，閉合活動(dòng)輪廓曲線C內(nèi)外像素的平均灰度值分別為c1，c2?？紤]如下擬合能量函數(shù)：

Length（C）是閉合活動(dòng)輪廓曲線C的長(zhǎng)度，Area（inside）（C）是閉合活動(dòng)輪廓曲線C的內(nèi)部區(qū)域面積，μ≥0，ν≥0，λ1＞0，λ2＞0是各個(gè)能量項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)。只有 位于兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域的邊界時(shí)式（1）才能達(dá)到最小值。因此通過(guò)最小化式（1）就可以獲得最終的圖像分割結(jié)果。利用由初始閉合活動(dòng)輪廓曲線得到的水平集函數(shù)φ（x,y），Chan和Vese把式（1）改寫(xiě)為：

與式（1）相比，式（2）中的積分區(qū)間擴(kuò)展到了圖像的整個(gè)定義域。當(dāng)式（2）表示的能量函數(shù)達(dá)到最小值時(shí)，就完成了圖像的最終分割。

在最小化式（2）所示的能量函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)極小值的情況[9,10]。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Chan和Vese分別用規(guī)則化的Heaviside函數(shù)和規(guī)則化的Dirac函數(shù)代替Heaviside函數(shù)和Dirac函數(shù)。利用歐拉—拉格朗日法求解式（2）可得到以水平集函數(shù) 表示的如下偏微分方程：ε是大于零的參數(shù)，c1，c2由式（3）得到。通過(guò)迭代求解式（4）即可得到模型的解。

1.2 對(duì)C-V模型的分析

C-V模型之所以能有效地分割出帶空洞的目標(biāo)，是因?yàn)椴捎昧艘?guī)則化的Dirac函數(shù)：

該函數(shù)保證在圖像定義域范圍內(nèi)，所有點(diǎn)的函數(shù)值都是趨于零的正值，從而能檢測(cè)出空洞區(qū)域中的異質(zhì)區(qū)域邊界。然而從式（5）可以看出當(dāng)變量增加到某一數(shù)值時(shí)函數(shù)值δε（x）接近于零，并且不再有明顯變化。因此該函數(shù)嚴(yán)重抑制了對(duì)遠(yuǎn)離閉合活動(dòng)輪廓曲線的目標(biāo)邊緣的檢測(cè)速度，致使C-V模型的分割速度非常緩慢。

由于C-V模型僅利用一條閉合活動(dòng)輪廓曲線，因此該模型只適用于分割具有均質(zhì)目標(biāo)和背景的圖像而對(duì)于分割含有多灰度級(jí)目標(biāo)的圖像則不能分割出與背景灰度級(jí)差別不大的弱目標(biāo)。弱目標(biāo)不能被分割可分為過(guò)迭代和漏分割兩種情況。所謂過(guò)迭代就是在合適的迭代次數(shù)下可以把弱目標(biāo)區(qū)域很好地分割出來(lái)，如果繼續(xù)迭代的話，弱目標(biāo)又被看作為背景。漏分割就是弱目標(biāo)一直被看作背景無(wú)法被分割。

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)在迭代求解方程（4）的過(guò)程中，水平集函數(shù)φ不收斂，使得很難設(shè)定一個(gè)迭代停止的標(biāo)準(zhǔn)（本文的仿真實(shí)驗(yàn)在生成符號(hào)距離函數(shù)時(shí)，在初始閉合活動(dòng)輪廓曲線內(nèi)部的像素點(diǎn)取正號(hào)，外部的取負(fù)號(hào)）。我們只能交互式的調(diào)整預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)，當(dāng)弱目標(biāo)在初始活動(dòng)輪廓曲線內(nèi)部時(shí)容易產(chǎn)生過(guò)迭代，如圖1所示。初始時(shí)弱目標(biāo)在初始閉合活動(dòng)輪廓曲線內(nèi)部，則其 φ值為正數(shù)，圖1（a）。在迭代的過(guò)程中可以檢測(cè)到其區(qū)域的邊緣，圖1（b）。由于弱目標(biāo)的灰度值與背景差別不大，c2的值接近弱目標(biāo)區(qū)域像素點(diǎn)的灰度值，所以式（4）中的（u0（x,y）-c2）2要遠(yuǎn)小于（u0（x,y）-c1）2，因此式（4）中的右邊會(huì)小于零，再經(jīng)過(guò)幾次迭代弱目標(biāo)區(qū)域的 值就變成負(fù)值。初始閉合曲線就會(huì)滑過(guò)弱目標(biāo)區(qū)域，從而該目標(biāo)區(qū)域就被看成是背景區(qū)域了，圖1（c）。弱目標(biāo)在初始閉合活動(dòng)輪廓曲線外部時(shí)則容易產(chǎn)生漏分割的現(xiàn)象，如圖2所示。初始時(shí)弱目標(biāo)的水平集函數(shù)值為負(fù)值，圖2（a）。由于弱目標(biāo)與背景的灰度值差別不大，在求解（4）的過(guò)程中其水平集函數(shù)值的符號(hào)沒(méi)有發(fā)生改變，活動(dòng)輪廓曲線不能演化到該區(qū)域的邊界，如圖2（b）所示。弱目標(biāo)最終也不能被分割出來(lái)，如圖2（c）所示。

圖1 過(guò)迭代現(xiàn)象

圖2 漏分割現(xiàn)象

2 結(jié)合梯度信息的C-V模型及數(shù)值實(shí)現(xiàn)

2.1 結(jié)合梯度信息的C-V模型

圖3 原圖像和最終分割結(jié)果的水平集函數(shù)

根據(jù)C-V模型和水平集方法的基本原理可知，圖像中的目標(biāo)被正確分割時(shí)，目標(biāo)區(qū)域像素點(diǎn)與背景區(qū)域像素點(diǎn)的水平集函數(shù)值的符號(hào)一定相反，如圖3所示。（圖3中第一行是初始活動(dòng)輪廓曲線在不同位置的原圖像；第二行是對(duì)應(yīng)的最終分割結(jié)果的水平集函數(shù)。）另外，由于C-V模型所討論的圖像是近似分段常數(shù)函數(shù)，因此目標(biāo)區(qū)域和背景區(qū)域的輪廓點(diǎn)與同質(zhì)區(qū)域中其他像素點(diǎn)相比具有較大的梯度幅值。所以根據(jù)上述特征，我們引入梯度信息以加速目標(biāo)和背景輪廓點(diǎn)水平集函數(shù)值的改變。當(dāng)目標(biāo)輪廓點(diǎn)與背景輪廓點(diǎn)的水平集函數(shù)值符號(hào)相反時(shí)也就可以完成對(duì)圖像的分割。根據(jù)以上分析在方程（4）中加入基于梯度信息的加速因子：

其中u0（x,y）為圖像函數(shù)，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯函數(shù)，‘*’表示卷積操作，是圖像經(jīng)過(guò)高斯函數(shù)卷積后的梯度，使用高斯函數(shù)卷積圖像是為了平滑圖像中的噪聲，降低分割結(jié)果對(duì)噪聲的敏感性，c是大于零的常數(shù)。

對(duì)加速因子做進(jìn)一步分析：

由于圖像中每個(gè)同質(zhì)區(qū)域的灰度值是常數(shù)，在同質(zhì)區(qū)域內(nèi)部的像素點(diǎn)的梯度值為零，加速因子的值為1；目標(biāo)和背景輪廓點(diǎn)的梯度幅值較大，這些像素點(diǎn)的加速因子可取得較大的值。由于同一幅圖像在不同的環(huán)境下要求分割出的目標(biāo)的細(xì)節(jié)不一樣。c就是用來(lái)控制被分割的目標(biāo)的細(xì)節(jié)程度。如果只分割主要目標(biāo)，c的值可取的大一些（0.5-1）。如果要分割出細(xì)節(jié)目標(biāo)，c應(yīng)取比較小的值（0.1-0.5）。

為了解決C-V模型容易產(chǎn)生過(guò)迭代和漏分割的缺點(diǎn)本文考慮引入基于梯度信息的弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)。由水平集方法的基本原理可知，具有零水平集函數(shù)值的像素點(diǎn)兩側(cè)的像素點(diǎn)具有符號(hào)相異的水平集函數(shù)值。另外，弱目標(biāo)輪廓點(diǎn)具有較小梯度幅值。根據(jù)水平集方法的基本原理和弱目標(biāo)所具有的梯度特征，弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)應(yīng)滿足如下條件：

1）只對(duì)與背景灰度值差別不大的弱目標(biāo)區(qū)域起作用。

2）能快速地使弱目標(biāo)區(qū)域輪廓點(diǎn)兩側(cè)的像素點(diǎn)具有符號(hào)相異的水平集函數(shù)值并且水平集函數(shù)值不隨著迭代的進(jìn)行發(fā)生變化。這樣活動(dòng)輪廓曲線就可以快速地演化到弱目標(biāo)區(qū)域輪廓點(diǎn)，并且隨著迭代的進(jìn)行活動(dòng)輪廓曲線位置不會(huì)發(fā)生改變。

基于以上考慮，本文定義如下弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)：

其中u0（x,y）為圖像函數(shù)Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯函數(shù)，‘*’表示卷積操作，是圖像經(jīng)過(guò)高斯函數(shù)卷積后的梯度，是拉普拉斯算子作用于高斯函數(shù)卷積后的圖像的結(jié)果，L1和 L2都是大于零的常數(shù)且

對(duì)弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)的進(jìn)一步分析：

1）由于弱目標(biāo)與背景的灰度值差別不大，弱目標(biāo)區(qū)域輪廓點(diǎn)的梯度幅值就會(huì)很小，因此通過(guò)調(diào)整式（7）中L1和 L2的值就可以鎖定弱目標(biāo)區(qū)域的輪廓點(diǎn)。為了更精確的鎖定這類(lèi)輪廓點(diǎn)，可以根據(jù)梯度直方圖來(lái)調(diào)整L1和 L2的值。

2）在圖像的邊界處，二階導(dǎo)數(shù)有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，即目標(biāo)邊界兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反。利用該性質(zhì)和sign（x）函數(shù)就可以使弱目標(biāo)輪廓點(diǎn)兩側(cè)的水平集函數(shù)值保持符號(hào)相異。

把式（7）和式（8）引入式（4）中就得到如下的結(jié)合梯度信息的C-V模型偏微分方程：

由上式可以看出加速因子有效加速圖像中強(qiáng)目標(biāo)的分割，弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)可以快速穩(wěn)定的分割出弱目標(biāo)。因此結(jié)合梯度信息的C-V模型，加速圖像分割的同時(shí)也會(huì)提高C-V模型的分割精度。

2.2 結(jié)合梯度信息的C-V模型的數(shù)值解法

對(duì)圖像u0（x,y）進(jìn)行離散化，設(shè)h為離散網(wǎng)絡(luò)的步長(zhǎng)，（xi,yi）=（ih,jh）,1≤i,j≥M為格點(diǎn)坐標(biāo)，M為圖像離散后最大坐標(biāo)，?t為時(shí)間步長(zhǎng)，φni,j=φ（n?t,xi,yi）是φ（t,x,y）的近似，這里有n≥0，

φ0=φ。0

根據(jù)邊緣的特征可知邊緣點(diǎn)亮的一側(cè)拉普拉斯算子的值為正，暗的一側(cè)為負(fù)。由式（9）可知無(wú)論弱目標(biāo)在初始閉合曲線的外部還是內(nèi)部，緊挨弱目標(biāo)邊緣點(diǎn)兩側(cè)的像素點(diǎn)的水平集函數(shù)值大小相等符號(hào)相反，并且隨著迭代的進(jìn)行水平集函數(shù)值不發(fā)生改變。雖然根據(jù)式（9）求得的水平集函數(shù)不再保持為符號(hào)距離函數(shù)了，但這并不會(huì)影響分割結(jié)果的穩(wěn)定性。這是因?yàn)樵贑-V模型中水平集函數(shù)即使不是符號(hào)距離函數(shù)也可以得到滿意的分割結(jié)果[3]。

對(duì)于其他像素點(diǎn)的偏微分方程采用有限差分法求解方程，

根據(jù)（10）將偏微分方程解的形式用離散化表示為：

式中的c1，c2可由式（3）得到。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性，我們對(duì)一幅合成圖像和一幅自然圖像進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，這兩幅圖像的尺寸都是 。圖4所示為結(jié)合梯度信息的C-V模型和C-V模型對(duì)合成圖像的分割結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中參數(shù)：

圖4（a）是原圖像，弱目標(biāo)在初始活動(dòng)曲線的內(nèi)部；圖4（b）是C-V模型的迭代30次的分割結(jié)果，耗時(shí)0.6267s，已經(jīng)發(fā)生了弱目標(biāo)邊界泄漏；圖4（c）是改進(jìn)的C-V模型迭代2次的分割結(jié)果，耗時(shí)0.0503s；圖4（d）是結(jié)合梯度信息的C-V模型迭代100次的分割結(jié)果，沒(méi)有發(fā)生弱目標(biāo)邊界泄漏；圖4（e）是圖4（d）對(duì)應(yīng)的水平集函數(shù)，從圖4（e）看出弱目標(biāo)邊界像素點(diǎn)的水平集函數(shù)值被穩(wěn)定地鎖定了。

圖5所示為結(jié)合梯度信息的C-V模型和C-V模型對(duì)含有多灰度級(jí)目標(biāo)的自然圖像分割結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中選擇的參數(shù)為：

圖5（a）是原圖像，弱目標(biāo)在初始活動(dòng)曲線的外部（圖像的底部所包含的目標(biāo)為弱目標(biāo)）；圖5（b）是結(jié)合梯度信息的C-V模型迭代18次的分割結(jié)果，耗時(shí)0.59s，弱目標(biāo)已被有效地分割出來(lái)；圖5（c）是C-V模型迭代500次的分割結(jié)果，耗時(shí)9.23，圖像下半部分的弱目標(biāo)沒(méi)有被分割出來(lái)耗時(shí)9.23s；圖5（d）是C-V模型迭代1000次的分割結(jié)果，耗時(shí)18.30s，弱目標(biāo)仍然沒(méi)有被分割出來(lái)。

圖5 含有多個(gè)灰度級(jí)目標(biāo)的自然圖像分割結(jié)果

從圖4和圖5中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出結(jié)合梯度信息的C-V模型不僅有效地解決了過(guò)迭代和漏分割問(wèn)題，而且圖像完成分割的迭代次數(shù)相對(duì)于C-V模型有很大的降低，圖像的分割速度有顯著的提高。

4 結(jié)論

梯度信息是圖像所具有的基本特征之一，本文在對(duì)C-V模型容易產(chǎn)生過(guò)迭代，漏分割和分割速度慢的原因詳細(xì)分析基礎(chǔ)上，提出了把基于梯度信息的加速因子和弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)引入到C-V模型偏微分方程中的圖像分割算法。弱目標(biāo)區(qū)域控制項(xiàng)可以快速穩(wěn)定的鎖定弱目標(biāo)邊界，從而可以有效地解決過(guò)迭代和漏分割問(wèn)題，也就是說(shuō)僅利用一條活動(dòng)輪廓曲線就可以有效地分割含有多灰度級(jí)目標(biāo)的圖像?；谔荻刃畔⒌募铀僖蜃涌梢灾靥岣邎D像的分割速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了所給算法的有效性。

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