葉片泵葉片相關(guān)幾何要素的分析與計(jì)算*

楊 瑩，黃宇欣，鄒科杰，王 桃

（西華大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，四川 成都610039）

扭曲葉片和圓柱形葉片是離心泵及混流泵等葉片泵的基本葉片形式。這兩類葉片都具有形態(tài)復(fù)雜的二維或三維的表面，葉片的各種厚度和角度關(guān)系多樣[1-3]。在葉片設(shè)計(jì)繪形的過(guò)程中，有時(shí)必須對(duì)葉片各種線性尺寸及角量進(jìn)行換算，包括計(jì)算流面上的葉片安放角在某些特定平面上的投影角度，確定葉片表面與蓋板表面的夾角[4-5]。盡管在一些相關(guān)的文獻(xiàn)中，公布了某些應(yīng)用型的計(jì)算公式[6-8]，但并未給出公式的導(dǎo)出過(guò)程，甚至對(duì)公式中的幾何項(xiàng)說(shuō)明也不夠充分。在不理解公式來(lái)源的條件下，難以對(duì)公式產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)和印象，也難以準(zhǔn)確自如地應(yīng)用它們。為彌補(bǔ)過(guò)去文獻(xiàn)中的這一不足，課題組以數(shù)學(xué)分析為依據(jù)，較詳盡地闡明了上述兩種重要公式各項(xiàng)的幾何意義及它們的相關(guān)關(guān)系，層次分明地導(dǎo)出公式的最終形式，由此幫助讀者對(duì)公式反映的幾何關(guān)系有更深刻的認(rèn)識(shí)。

1 公式ctgγ=ctgλcosβ的推證

該公式用于計(jì)算葉片表面與流面（蓋板表面）之間的夾角。

如圖1所示，AD為葉片M與流面N的交線，軸面AEF與AD交于點(diǎn)A。由于軸面AEF與任一流面都正交，也一定與流面N正交，從而可在流面N內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG與軸面垂直，故AG是圓周方向。因此，∠GAD是流面N內(nèi)圓周方向AG和葉片M與流面N的交線AD的夾角，即點(diǎn)A處葉片安放角β。

圖1 葉片表面與流面夾角關(guān)系Fig.1 Relationship between blade surface and the flow surface

葉片M與流面N相交，得到交線AD。

流面N與軸面AEF相交，得到交線AF。

葉片M與軸面AEF相交，得到交線AE。

以上三條交線交于點(diǎn)A。

在AD上任意一點(diǎn)D作一平面垂直于AD，且交AD于D，交AE于E，交AF于F，可見DEF共面（垂直于AD的平面），線段EF位于三角形DEF所在平面內(nèi)。

下面證明EF與流面N垂直：AD垂直于平面DEF，當(dāng)然也垂直于平面內(nèi)的線段EF，線段EF在三角形DEF所在平面上，也在軸面上，AG垂直于軸面，當(dāng)然也垂直于軸面中的EF。這樣，EF垂直于流面N中的AG和AD，AG和AD是相交線段，故EF垂直于流面N。所以在平面DEF中，∠DFE=π/2，ctgλ=AF/EF，∠λ定義為在軸面內(nèi)看到的軸面與流面交線AF和軸面與葉片表面交線AE（軸面截線）的夾角。AD垂直于平面DEF，自然垂直于平面中的DF，cosβ=cos(π/2-α)=sinα=DF/AF。

在直角三角形DEF中，ctgγ=DF/EF，從而有結(jié)果：

∠γ定義為葉片表面與流面（蓋板表面）的夾角。

分析式（1）可以得出：1）如果β=90°，即葉片表面與軸面重合，則cosβ=0，于是ctgγ=0，γ=90°，這時(shí)，不論軸面上λ等于多少，葉片都與流面（蓋板表面）垂直。2）如果λ=90°，雖然β≠90°，圖中γ也一定為0，即只要軸面上λ=90°，葉片都與流面（蓋板表面）垂直。3）如果β≠90°（一般都不相等），軸面上λ≠90°，葉片與流面（蓋板表面）一定不垂直。

2 公式tanβ平=tanβcosδ的推證

該公式用于計(jì)算流面上一個(gè)葉片安放角β與它在和葉輪軸心線垂直的一個(gè)平面上的投影角β平的關(guān)系。

如圖2所示，葉輪軸心線垂直于N面，既然N面與葉輪軸心線垂直，它與流面M的交線是一個(gè)圓周AD，故∠EAD是流面M內(nèi)葉片表面AEF與流面M的交線AE和圓周方向AD夾角，即葉片安放角β。

圖2 葉片安放角與其在軸垂面的投影的關(guān)系Fig.2 Relationship between blade angle and its projection on a plane

圓周AD與任意一個(gè)軸面都正交，也與軸面DEF正交，故∠ADE=90°，tanβ=ED/AD。

軸面DEF包含了葉輪軸心線，在軸面內(nèi)作EF’平行于軸心線，交N面于F’。由于葉輪軸心線與N面垂直，EF’也必然與N面垂直，且與N面內(nèi)AF’、AD都垂直，于是三角形AF’E和軸面內(nèi)三角形DF’E都是直角三角形，∠EF’A=90°，∠EF’D=90°。EF’、AF’都不在葉片內(nèi)，AF’是葉片AEF和流面M的交線AE在軸垂面N上的投影，∠F’AD是葉片安放角β在N面的投影，即角β平，且有tanβ平=DF’/AD，cosδ=DF’/ED。

由圖2可知，∠δ是在軸面內(nèi)看到的，是軸面DEF與軸垂面N的交線和軸面DEF與流面M的交線的夾角。從而得到：

在文獻(xiàn)[4]中，通過(guò)不同的推導(dǎo)途徑，作者導(dǎo)出了tanβ平=tanβsinλ。這里角λ的含義已在上節(jié)作了說(shuō)明，由于λ與δ互余，從而sinλ=cosδ，因而兩個(gè)β平的表達(dá)式實(shí)質(zhì)是一樣的。

在本課題涉及的一些經(jīng)典文獻(xiàn)中，往往將圖2中F、F’兩點(diǎn)重合繪制為一點(diǎn)，AF和AF’重合繪制為一條線段。應(yīng)當(dāng)指出，這種簡(jiǎn)化并不恰當(dāng)，因?yàn)槿~片表面與N面一般不垂直。

3 結(jié)束語(yǔ)

在葉片泵葉輪的設(shè)計(jì)中，要經(jīng)常性地?fù)Q算葉片的局部相關(guān)線性尺寸及角度。葉片表面與前后蓋板的夾角以及流面上葉片安放角在與葉輪軸心線垂直的平面上的投影角度，是兩個(gè)重要的幾何量，它們的相關(guān)關(guān)系復(fù)雜，計(jì)算有一定的難度。盡管過(guò)去的一些文獻(xiàn)公布了應(yīng)用型的計(jì)算公式，但并未給出公式的導(dǎo)出過(guò)程和應(yīng)用條件，導(dǎo)致設(shè)計(jì)人員難以對(duì)兩個(gè)公式產(chǎn)生深刻的印象，妨礙他們從根本上理性認(rèn)識(shí)公式的幾何內(nèi)涵。為克服這一不足，課題組通過(guò)詳盡的數(shù)學(xué)分析，給出了兩個(gè)公式系統(tǒng)的推證過(guò)程，為葉輪設(shè)計(jì)人員提供了有意義的參考。