第二積分中值定理“中間點”的漸近性再分析

伍建華，孫霞林，熊德之

(武漢工程大學理學院智能機器人湖北省重點實驗室，湖北武漢 430073)

第二積分中值定理“中間點”的漸近性再分析

伍建華，孫霞林，熊德之

(武漢工程大學理學院智能機器人湖北省重點實驗室，湖北武漢 430073)

對于第二積分中值定理中的“中間點”的漸進性問題，將區(qū)間的端點推廣到區(qū)間中的任意點，給出并證明了更一般的結論，改進和推廣了現(xiàn)有的相關結論。

第二積分中值定理;中間點;漸近性

微積分中值定理，近年來有大量的文獻對其進行探討［1-8］，第二積分中值定理“中間點”問題，文獻［1-2］給出了精彩的結論。但由于討論都囿于左端點a，筆者將給出更一般的結果，將文獻［1-2］的結果推廣到區(qū)間的任意點，文獻［1-2］的有關定理可以看成這個定理的一般推論。為敘述方便，將第二積分中值定理引述如下:

設g(x)在區(qū)間［a，b］上可積，則:

(ⅰ)若f(x)在區(qū)間［a，b］單減非負，存在ξ∈［a，b］使:

(ⅲ)若f(x)在區(qū)間［a，b］上單調時，存在ξ∈［a，b］使:

1 漸近性定理證明

引理1 設g(x)在［a，b］上可積，η是區(qū)間［a，b］中某一點，即a≤η≤b，且存在實數(shù)A，α ＞-1，使得:

證明:當x＞η時，由文獻［1］可知式(5)中第1個式子成立。當 x＜η時，由條件式(4)可知:? ε＞0，?δ＞0，當x∈(η-δ，η)，有:(A-ε)(η -x)α＜ g(x)＜ (A+ ε)(η -x)α，類似文獻［1］的證明，對式(5)從x到η的積分，可證式(5)中第2個式子也成立。

對于區(qū)間［a，b］中某一點η，即a≤η≤b，為了敘述的方便，在以下的證明中，a→ η，b→ η表示a→ η-，b→ η+。

引理2 設函數(shù)f(x)，g(x)在［a，b］上可積，η是區(qū)間［a，b］中某一點，即a≤η≤b，且存在實數(shù)A，B，P，α ≥-1，β≥-1，α + β ＞ -1，，使得:

引理3 設函數(shù)f(x)，g(x)在［a，b］上可積，η是區(qū)間［a，b］中某一點，即a≤η≤b，且存在實數(shù)A，B，P，Q，α ＞ -1，β ＞ -1，α + β ＞ -1，使得:

證明:1)當a＜η＜ξ≤b時，由積分第二中值定理式(1)及定理條件和引理1有:

如果考慮趨向左端點的漸近性，則有下面的定理。

定理2 如果:

1)f(x)在區(qū)間［a，b］上單降非負，g(x)在區(qū)間［a，b］上是可積;

2 推 論

2) 在定理2的式(9)中，就是文獻［1］的推論1，當α =0時，就是文獻［2］的定理1。

文中的結論不僅推廣了目前論述第二積分中值定理漸近性文獻中的大部分結果，也給出了目前很少論及的趨向右端點的漸近性結論。

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WU Jian-hua.The second integral mean-value theorem ξ asymptotic behavior of the general proof［J］.Studies in College Mathematics，2006，9(4):30-31.

Further Analysis on Asymptotic Behavior of Interior Point in Second Mean Value Theorem for Integration

WU Jian-hua，SUN Xia-lin，XIONG De-zhi
(School of Science，Wuhan Institute of Technology，Hubei Province Key Laboratory of Intelligent Robot，Wuhan 430205，Hubei，China)

As for asymptotic behavior of interior point in Second Mean Value Theorem for Integration，this article expands end points to any points in the interval，and draws a more generalized conclusion to improve and promote present related conclusions.

second mean value theorem for integration;interior point;asymptotic behavior

O172.2

A

1674-0696(2011)03-0514-05

2011-02-23;

2011-03-25

"十一五"國家課題(FIB070335-B2-04)

伍建華(1955-)，男，湖北黃石人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學教學，算法分析方面的研究。E-mail:jhuawu@126.com。