多項式擬合柔性加減速算法的研究

李 丹

（四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，德陽 618000）

0 引言

在高速運動中，為避免啟動、停止階段發(fā)生沖擊、超程、振蕩，數(shù)控裝置對會運動速度進行加減速控制。一般采用軟件實現(xiàn)。

傳統(tǒng)的數(shù)控系統(tǒng)常用有直線加減速和指數(shù)加減速兩種。[1]這兩種加減速比較容易實現(xiàn)，但在啟動和結(jié)束中存在加速度突變，不連續(xù)，產(chǎn)生沖擊，且只能按電機最高轉(zhuǎn)速下輸出的轉(zhuǎn)矩來選取加速度，使電機特性得不到充分發(fā)揮。因而不適合高速數(shù)控系統(tǒng)。因此，目前高檔數(shù)控系統(tǒng)采用比較成熟的S型曲線加減速。S曲線加減速通過對啟動階段和高速階段的加減速衰減，來保證電動機性能的從分發(fā)揮和減少啟動沖擊。 但S曲線涉及的參數(shù)較多，對程序的實現(xiàn)來說比較復(fù)雜[2]。并且其加加速度不連續(xù)，柔性受到限制。因此有研究學(xué)者提出了三角函數(shù)加減速算法，其算法較S曲線更簡化，但三角函數(shù)算法需要引進函數(shù)計算，對實時插補來說，有插補周期長的問題，影響加工速度。

考慮任何函數(shù)都可以展開呈多項式，本文提出用多項式對三角函數(shù)進行擬合，得到另一種加減速模式。

1 建立4次多項式函數(shù)

加減速曲線的建立應(yīng)滿足速度變化波動小，加速度連續(xù)等條件，并且加速度變化開始和終止時滿足邊界條件，即在開始和結(jié)束時的速度與要求速度相同，且加速度為0。當建立了位移函數(shù)后，速度、加速度、加加速度函數(shù)可通過求導(dǎo)得到。

因此應(yīng)建立加減速段的位移函數(shù)。當速度從發(fā)v1變化到v2時，可采用4次多項式對位移函數(shù)進行擬合，這樣加加速度達到1階連續(xù)，系統(tǒng)具有更高柔性。構(gòu)造函數(shù)如下：

假設(shè)加減速段的開始時的位移為0，即

對位移函數(shù)求導(dǎo)，得到速度函數(shù)

求位移函數(shù)的兩階導(dǎo)數(shù)，可得加速度函數(shù)

求位移函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，可得加加速度函數(shù)

在(16)-(19)的方程中，tm值需要確定。按照系統(tǒng)加減能力，設(shè)為Amax系統(tǒng)的最高加速度，則有：

2 運行過程為三段的4次多項式加減速算法

我們把運行方式規(guī)劃為三個階段：加速段、勻速段、減速段。

在加速段從v1加速到vmax；然后以最大速度vmax運行一段距離；當離終點一定距離時，進入減速段，減至v2，到達程序段的終點（如圖1所示）。

圖1 多項式柔性加減速

2.1 加速段V1→Vmax

根據(jù)式(17)所建立的函數(shù)，速度曲線函數(shù)為：

用vmax代替v2，代入式(16)-(19)即可求出位移、速度、加速度、加加速度的值。

代入式(25)求出加速區(qū)長度為

2.2 減速段Vmax→V2

根據(jù)式(17)所建立的函數(shù)，速度函數(shù)為：

根據(jù)式(24)，得

用vmax代替v1，代入式(16)-(19)即可得到位移、速度、加速度、加加速度。代入式(25)求出減速區(qū)長度為

2.3 勻速段

那么運行過程將有三個階段：加速階段、勻速階段、減速階段。勻速階段的時間

則總運行時間t=tma+tc+tmd

1）從v1加速到某個速度vm，然后減速到v2，并且剛好到達終點；

2）從v1加速至v2，然后勻速運行至終點；或以v1勻速一段距離，然后減速至v2。2.3.1 第一種方式

2） 減速 ，用vm代替v1， 則位移、速度、加速度、加加速度可按(16)--(19)式計算

2.3.2 第二種方式

這種方式下，若(1)v1＞v2的減速情況，則先以v1作勻速運動，再減速至v2；(2)v1＜v2的加速情況，先從v1加速到v2，再勻速。

1）從v1運行至v2。加速運行區(qū)長度

圖2 兩種不同的多項式加減速

當v1v2較大時，兩種方式計算得到時間接近，而第二種方式簡單。但v1v2都很小時，第二種方式時間較長，甚至到不了終點，必須采用第一種方式。

當條件(29)式不成立時，即時，則運行過程只有一個階段，終點速度v2無法達到。對于減速情況，減點必須提前，否則會造成過沖。

僅運行一個階段時，加減速長度為

3 結(jié)論

針對傳統(tǒng)的直線加減速和指數(shù)加減數(shù)算法在進給過程中存在柔性沖擊的問題，提出了一種使用于高速進給的加減速算法，采用多項式擬合構(gòu)造加減速曲線，得到的位移、速度、加速度、加加速度均連續(xù)，因而系統(tǒng)運行有高度的柔性，避免了柔性沖擊。

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