基于MATLAB的三自由度并聯(lián)機(jī)床的靜力特性分析

李興山，蔡光起

（1. 沈陽(yáng)理工大學(xué) 機(jī)械學(xué)院， 沈陽(yáng) 110168； 2. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽(yáng) 110004）

0 引言

并聯(lián)機(jī)床與傳統(tǒng)的機(jī)床相比，剛度大，精度高及高加速等特點(diǎn)，已經(jīng)成為數(shù)控機(jī)床的發(fā)展趨勢(shì)。隨著并聯(lián)機(jī)床應(yīng)用的領(lǐng)域不斷擴(kuò)展，很多的作業(yè)任務(wù)完全可以用少自由度的機(jī)構(gòu)完成。少自由度機(jī)構(gòu)是指3-5個(gè)自由度機(jī)構(gòu)，與六自由度的機(jī)構(gòu)相比，結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，驅(qū)動(dòng)更加靈活，性能價(jià)格比更高。其中三平移自由度以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作空間大、應(yīng)用范圍廣等技術(shù)優(yōu)勢(shì)，成為并聯(lián)機(jī)床發(fā)展的主要趨勢(shì)[1~4]。

靜力學(xué)特性是并聯(lián)機(jī)床重要性能指標(biāo)，也是聯(lián)機(jī)床的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。通過(guò)靜力分析，可以獲得運(yùn)動(dòng)平傳遞關(guān)系，對(duì)機(jī)床的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及任務(wù)規(guī)劃具有重要的意義。本文通過(guò)對(duì)東北大學(xué)三自由度并聯(lián)機(jī)床靜力學(xué)的研究，采用虛功原理，建立了靜力學(xué)模型，分析在不同的外載荷的情況下，各驅(qū)動(dòng)桿的應(yīng)力的變化規(guī)律。為機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定奠定了基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)

并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖1所示,該機(jī)構(gòu)由固定平臺(tái)、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、三桿平行機(jī)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)桿及水平滑塊等組成。該結(jié)構(gòu)具有三個(gè)運(yùn)動(dòng)分支，兩驅(qū)動(dòng)桿各自通過(guò)虎克鉸分別與固定平臺(tái)及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連,即每個(gè)驅(qū)動(dòng)桿分支由兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(T)和一個(gè)移動(dòng)副(P)組成。絲杠由電機(jī)驅(qū)動(dòng)并帶動(dòng)滑塊水平移動(dòng)。三桿平行機(jī)構(gòu)兩端分別通過(guò)虎克鉸與滑塊及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連，即由一個(gè)移動(dòng)副(P)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(T)組成。因此，該機(jī)構(gòu)可稱2TPT-PTT并聯(lián)機(jī)床。由于三桿平行機(jī)構(gòu)的存在，限制了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)固定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此該機(jī)構(gòu)具有三個(gè)平移自由度。

圖1 并聯(lián)機(jī)床三維實(shí)體模型

2 靜力模型的建立

并聯(lián)機(jī)床靜力學(xué)主要是研究各構(gòu)件和末端執(zhí)行器上受到各種廣義外力作用時(shí)的靜平衡問(wèn)題，在任何姿態(tài)下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)都處于靜平衡狀態(tài)，是衡量并聯(lián)機(jī)床性能的重要指標(biāo)，它是并聯(lián)機(jī)床剛度設(shè)計(jì)的前提和基礎(chǔ)。并聯(lián)機(jī)床與外界環(huán)境相互作用時(shí)，在接觸的地方要產(chǎn)生力和力矩，統(tǒng)稱為末端廣義力向量。而關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩組成的矢量稱為關(guān)節(jié)力向量。由于該機(jī)構(gòu)具有三個(gè)平動(dòng)自由度，所以在廣義力向量和關(guān)節(jié)力向量中，力矩部分為零。

圖2的機(jī)構(gòu)受力簡(jiǎn)圖中，上平臺(tái)為固定平臺(tái)，下平臺(tái)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，由于平行機(jī)構(gòu)在空間保持相對(duì)平動(dòng)?？蓪?duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的研究簡(jiǎn)化為對(duì)AA'EF的研究，其中AF平行BB'，AF平行CC', OE平行l(wèi)3，將坐標(biāo)系固定在O點(diǎn)（A'F的中點(diǎn)）。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的A點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為A(x,y,z)，棱錐其它各點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(c/2 0, 0)，F(xiàn) (c/2, 0 , 0)，E (0 , cl3/2,0)，由距離公式可得如下方程

圖2 并聯(lián)機(jī)床的受力簡(jiǎn)圖

其中，c為上下平臺(tái)的邊長(zhǎng)差，b為上平臺(tái)的邊長(zhǎng)，L為平行機(jī)構(gòu)的等效桿長(zhǎng)。l1, l2為兩伸縮桿的桿長(zhǎng)，l3為滑塊的行程。

并聯(lián)機(jī)床中雅可比矩陣是一個(gè)傳遞矩陣，對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不同的位置有不同的雅可比矩陣。由于它不是時(shí)間的函數(shù)，是用來(lái)反映活動(dòng)平臺(tái)的位姿與固定平臺(tái)的位姿之間的一種空間映射關(guān)系。由式(1)可知，雅克比矩陣J為：

假設(shè)其各關(guān)節(jié)所受的驅(qū)動(dòng)力為F1，即F1=[F1F2F3]T，末端執(zhí)行器的廣義力為F，即F1=[F1F2F3]T。由虛功原理： 關(guān)節(jié)空間虛位移產(chǎn)生的虛功等于操作空間虛位移產(chǎn)生的虛功[5,6]。所以，其靜力學(xué)方程為：

其中：δl為各關(guān)節(jié)產(chǎn)生的虛位移，δl=[δl1δl2δl3]T，δp為末端執(zhí)行器產(chǎn)生的虛位移，δp=[δpxδpyδpz]T。

由式(3)可得該機(jī)構(gòu)靜力學(xué)正解為：

其中，F(xiàn)1、F2為作用于伸縮桿國(guó)l1和l2上的驅(qū)動(dòng)力，F(xiàn)3為作用于滑塊上的驅(qū)動(dòng)力。Fx、Fy、Fz為動(dòng)平臺(tái)的執(zhí)行力。JT為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣，它表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線形關(guān)系。由于機(jī)構(gòu)|J|≠0，故不存在奇異位形。

3 靜力分析

為了反映并聯(lián)機(jī)床末端執(zhí)行器受到作用力時(shí)，各驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力在整個(gè)工作空間的任意截面上的分布情況，對(duì)其進(jìn)行三維仿真。假設(shè)末端執(zhí)行器受到的力分別為：Fp=[1000,1000,1000]T，在z=0.7m的平面內(nèi)，各驅(qū)動(dòng)力的三維仿真如圖3-圖5所示。

圖3 伸縮桿1驅(qū)動(dòng)力

圖4 伸縮桿2驅(qū)動(dòng)力

圖5 滑塊驅(qū)動(dòng)力

當(dāng)Fp=[1000,1000,1000]T時(shí)，沿著X方向，伸縮桿1的驅(qū)動(dòng)力單獨(dú)遞增；伸縮桿2的驅(qū)動(dòng)力先是逐漸增大、后又逐漸減?。换瑝K的變化趨勢(shì)與伸縮桿2相同。沿著Y方向，滑塊的驅(qū)動(dòng)力變化是單調(diào)遞增，由于機(jī)構(gòu)關(guān)于Y軸的對(duì)稱性，兩伸縮桿的變化趨勢(shì)都是先增大后減小，但變化的方向相反。沿著Z方向，伸縮桿及滑塊都是逐漸增大。從圖中還可以看出，末端輸出力是驅(qū)動(dòng)力的0.5-3倍，具有良好的可操作性，在整個(gè)工作空間的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)力變化比較均勻，在其邊緣有一些突變，在工作中應(yīng)避開邊緣位置。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一種三自由度并聯(lián)機(jī)床的實(shí)體模型，在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用虛功原理，建立了該機(jī)構(gòu)的靜力平衡方程，得到了靜力傳遞矩陣。并在MATLAB下對(duì)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力進(jìn)來(lái)了分析。研究結(jié)果表明：機(jī)構(gòu)上對(duì)稱布置的兩伸縮桿其驅(qū)動(dòng)力具有一定對(duì)稱性和相似性，其中伸縮桿的驅(qū)動(dòng)力要大于滑塊的驅(qū)動(dòng)力，在整個(gè)工作空間內(nèi)，其受力比較均勻，具有良好的可操作性。

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