不確定系統(tǒng)響應上下界分析的改進仿射算法

謝永強，陳建軍，朱增青

(西安電子科技大學機電工程學院 西安 710071)

不確定系統(tǒng)響應上下界分析的改進仿射算法

謝永強，陳建軍，朱增青

(西安電子科技大學機電工程學院 西安 710071)

針對仿射運算時新符號噪聲的引入必然造成誤差放大的不足，在函數(shù)上下界計算中引入了矩陣形式的上下界的仿射計算公式，提出了一種計算上下界的改進仿射算法。該算法在仿射變量進行乘法運算時不會引入新的噪聲，相對與傳統(tǒng)的仿射算法能得到更緊湊的界限；并通過實例計算演示了該公式的計算過程及計算方法的有效性。將有界不確定性變量的仿射型及改進的仿射運算引入不確定系統(tǒng)響應上下界的計算。仿真結(jié)果表明，相對于區(qū)間算法及傳統(tǒng)的仿射算法，該算法得到解的界限更為緊湊。

仿射型; 區(qū)間算法; 改進的仿射算法; 不確定系統(tǒng)

對不確定系統(tǒng)響應的上下界求取常采用區(qū)間算法和仿射算法。當已知信息較少，如只能獲得變量的上下界時，可以采用區(qū)間算法。由于區(qū)間運算(interval arithmetic, IA)規(guī)則的不合理性[1-2]，導致了區(qū)間運算結(jié)果極易擴張和溢出。當函數(shù)嵌套較深或為強非線性函數(shù)時，誤差爆炸(error explosion)的強度越大，導致計算所得的變量界限毫無意義。完全忽略變量之間的相關(guān)性，以及對數(shù)、開方等運算的圓整誤差(round off error)和倒數(shù)運算的溢出誤差(over shoot error)是誤差爆炸的直接原因[3]。

仿射型及仿射運算(affine arithmetic，AA)[3]是處理不確定性問題的新方法，已應用在電路響應界分析[4-5]、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[6]、人工智能系統(tǒng)分析[7]及計算機圖形學[2,8]中。AA將確定性變量的仿射型用噪聲的線性組合表示，若多個仿射型擁有同一噪聲符號，則二者具有相關(guān)性[1]；且擁有相同噪聲符號的數(shù)目越多，仿射型之間的相關(guān)性越大[3]。該性質(zhì)使AA能表示變量之間的相關(guān)性，加之運算規(guī)則具有優(yōu)化性質(zhì)，使其運算精度遠高于區(qū)間運算，能被應用于眾多的領(lǐng)域中。然而，由于仿射運算優(yōu)化逼近的存在，使AA不可避免地會存在誤差，例如兩個仿射型的乘積運算中新噪聲的引入，就是對乘積中噪聲二次項的近似逼近?；谖墨I[9]的證明，結(jié)合仿射型的特性，本文提出了多項式矩陣形式的上下界的改進仿射計算公式，該公式不需要導數(shù)信息，在仿射變量進行乘法運算時不會引入新的噪聲，能夠求得更精確的上下界。本文用該公式分析了多變量作用下的不確定系統(tǒng)，求出了不確定系統(tǒng)的響應上下界，與區(qū)間算法和傳統(tǒng)的仿射算法相比，該算法得出的結(jié)果更緊湊，更接近系統(tǒng)響應的真實值。

1 不確定性量的仿射型和仿射算法

1.1 仿射型與區(qū)間變量

設(shè)由于自身或環(huán)境原因有t種噪聲共同影響不確定性量的真值，則其仿射型?x表示為t個噪聲符號的一次多項式[1]：

1.2 仿射運算規(guī)則

圖1 倒數(shù)運算的仿射擬合

2 二元區(qū)間多項式上下界公式和改進的仿射算法

盡管AA比區(qū)間運算有更高的精度，但由于在非線性仿射運算中采用了近似逼近，使非線性AA的誤差會隨著非線性程度的增高而加劇。為了進一步減小這些非線性運算帶來的誤差，本文提出了多項式矩陣形式的上下界的改進仿射計算算法(modified affine arithmetic，MAA)。

2.1 二元區(qū)間多項式的上下界公式

針對仿射運算中的乘法運算公式帶來的誤差，文獻[9]給出矩陣形式二元區(qū)間多項式上下界公式，能更精確地計算出區(qū)間多項式的上下界。設(shè)二元區(qū)間多項式為:

2.2 改進的仿射算法

除了AA的乘法運算，其他的非線性運算也會在仿射運算過程中引入新的誤差。對非線性運算的仿射算法常采用切比雪夫近似，文獻[1]提出了AA中非線性運算的切比雪夫算法。

圖2 區(qū)間減小仿射誤差減小

由定理1及定理2可知，如果在進行倒數(shù)仿射擬合時能縮小近似區(qū)間的范圍，就可以減小仿射近似時帶來的誤差。

3 系統(tǒng)響應界分析的改進仿射算法

針對不確定系統(tǒng)響應界的分析，常采用區(qū)間算法來處理[10-13]。文獻[11]將區(qū)間分析理論應用于不確定參數(shù)的控制問題，通過獨立模態(tài)控制得到閉環(huán)系統(tǒng)，并提出了估計響應上下界的計算方法。文獻[10]在已知滯回環(huán)本身不確定因子的區(qū)間中點和半徑的前提下，推導得到不確定響應的區(qū)間分布。當只能得到不確定參數(shù)的上下界時，用區(qū)間方法可以得到系統(tǒng)的響應界限。當影響系統(tǒng)的噪聲有多個，且對系統(tǒng)參數(shù)的影響為深度嵌套的隱函數(shù)時，直接利用區(qū)間方法將系統(tǒng)參數(shù)的上下界代入，所求得的響應區(qū)間往往遠大于真實值。為了減小系統(tǒng)響應界的計算誤差，可以在界計算中利用本文的改進仿射算法，對不確定系統(tǒng)的響應界進行分析。

3.1 確定性系統(tǒng)的響應

確定性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般形式為：

高階系統(tǒng)的響應由一階和二階系統(tǒng)的時間響應函數(shù)組成。

3.2 不確定性系統(tǒng)的響應上下界的改進仿射分析

當系統(tǒng)中有不確定變量且變量可表示為仿射形式時，控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可用下式描述為：

對上式響應的上下界進行分析時，可以參考確定系統(tǒng)響應的求法，并在計算不確定變量時引入改進的仿射算法，其步驟如下：

1)利用符號運算工具，將系統(tǒng)響應函數(shù)的分母部分進行因式分解，得到不確定系統(tǒng)極點的仿射形式，則系統(tǒng)的響應函數(shù)為：

該運算為含仿射變量的仿射運算，為了得到更精確的解，可利用本文改進的仿射算法進行計算。由于在計算各系數(shù)時只用到了仿射算法的乘法運算和倒數(shù)運算的仿射擬合，由定理1和定理2可證明改進的仿射運算得到的各系數(shù)的解區(qū)間更為緊湊。

當系統(tǒng)中有二階環(huán)節(jié)時，響應中一般有正弦量，響應的上下界難以確定，但響應包絡(luò)線的上下界仍然可由下式確定為：

以上算式中變量的上下界可利用改進的仿射變量上下界公式進行計算，可以得到比傳統(tǒng)的仿射算法和區(qū)間算法更為緊湊的上下界區(qū)間。

4 算 例

圖3 含不確定參數(shù)的系統(tǒng)

可得系統(tǒng)響應上下界曲線，并顯示了隨機取121個不確定變量對(e1,e2)后系統(tǒng)的響應曲線，如圖4所示。

圖4 不確定系統(tǒng)響應及上下界

圖5所示為在6～10 s時系統(tǒng)的響應。從圖4和圖5中可以看出，當參數(shù)對(e1,e2)變化時，系統(tǒng)的響應也隨之變化，但其變化范圍總是落在求得的響應界曲線的范圍內(nèi)。

圖5 系統(tǒng)在6～10 s時的響應圖

例2 二階RLC電路如圖6所示，工作環(huán)境溫度為20±20 ℃。在20 ℃時測量知電阻R=5 ?，溫度系數(shù)為0.004；電感L=1 H，溫度系數(shù)為0.000 14；電容C=1 F，溫度系數(shù)為?0.000 12。求系統(tǒng)在該溫度范圍內(nèi)工作時的階躍響應界限。

圖6 二階RLC電路

圖7 3種方法得到的響應界限

圖7所示為用3種方法得到的系統(tǒng)響應界限圖，并顯示了隨機取125個不同溫度時系統(tǒng)的實際響應曲線。由圖中可以看出，用本文改進的仿射算法得到的系統(tǒng)響應界限最為緊湊，傳統(tǒng)的仿射算法次之，用區(qū)間算法得到的響應界限最寬，與系統(tǒng)的真實響應界限相差較大。

5 結(jié) 論

本文針對仿射運算的誤差原因進行了分析，提出了一種函數(shù)上下界計算的改進仿射算法，將有界不確定性變量的仿射型及改進的仿射運算引入到不確定系統(tǒng)響應上下界的計算中，并對該算法的精確性進行了證明。最后通過實例計算演示了該公式的計算過程及計算方法的有效性。仿真結(jié)果表明，相對于區(qū)間算法及傳統(tǒng)的仿射算法，該算法得到的解的界限更為緊湊。該算法的提出有助于對系統(tǒng)響應界做更精確的分析。

[1]STOLFI J, HENRIQUE L F. Self-validated numerical methods and applications[M]. [S.l.]: Monograph for 21st Brazilian Mathematics Colloquium, 1999.

[2]SHOU H, MARTIN R, VOICULESCU I, et al. Affine arithmetic in matrix form for polynomial evaluation and algebraic curve drawing[J]. Progress in Natural Science,2002, 12(1): 77-80.

[3]HENRIQUE DE FIGUEIREDO L, STOLFI J. Affine arithmetic: concepts and applications[J]. Numerical Algorithms, 2004, 37: 147-158.

[4]GRIMM C, HEUPKE W, WALDSCHMIDT K. Analysis of mixed-signal systems with affine arithmetic[J]. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 2005, 24(1): 118-123.

[5]FEMIA N, SPAGNUOLO G. True worst-case circuit tolerance analysis using genetic algorithms and affine arithmetic[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems,2000, 47(9): 1285-1296.

[6]謝永強，陳建軍. 不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿射不等式分析[J].高技術(shù)通訊，2008, (4): 867-871.

XIE Yong-qiang, CHEN Jian-jun. Stability analysis of uncertain system using affine inequality[J]. Chinese High Technology Letters, 2008, (4): 867-871.

[7]GOLDENSTEIN K S, VOGLER C, METAXAS D.Statistical cue integration in DAG deformable models[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2003, 25(7): 801-813.

[8]MARTIN R, SHOU Hua-hao, VOICULESCU I, et al.Comparison of interval methods for plotting algebraic curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19:553-587.

[9]SHOU Hua-hao, LIN Hong-wei, MARTIN R, et al.Modified affine arithmetic is more accurate than centered interval arithmetic or affine arithmetic[M]. Berlin: [s.n.],2003: 355-365.

[10]邱志平，顧笑冬，李登峰. 單自由度不確定滯回系統(tǒng)振動響應的區(qū)間分析方法[J]. 動力學與控制學報, 2007,5(2): 173-177.

QIU Zhi-ping, GU Xiao-dong, LI Deng-feng. Viberation analysis on uncertain single-degree-of-freedom hysteretic system using interval analysis method[J]. Journal of Dynamics and Control, 2007, 5(2): 173-177.

[11]陳塑寰，裴春艷. 不確定二階振動控制系統(tǒng)動力響應的區(qū)間方法[J], 吉林大學學報(工學版), 2008, 38(1): 94-98.

CHEN Su-huan, PEI Chun-yan. Dynamic response of second-order uncertain vibration control systems with interval method[J]. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition), 2008, 38(1): 94-98.

[12]邱志平，馬麗紅，王曉軍. 不確定非線性結(jié)構(gòu)動力響應的區(qū)間分析方法[J]. 力學學報, 2006, 38(5): 645-651.

QIU Zhi-ping, MA Li-hong, WANG Xiao-jun. Interval analysis for dynamic response of nonlinear structures with uncertainties[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006, 38(5): 645-651.

[13]林立廣, 陳建軍, 馬娟. 基于區(qū)間因子法的不確定性桁架結(jié)構(gòu)動力響應分析[J]. 應用力學學報, 2008, 25(4):612-617.

LIN Li-guang, CHEN Jian-jun, MA Juan. Dynamic response analysis for uncertainty truss structures with interval factor method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(4): 612-617.

編 輯 黃 莘

Uncertain System Response Bounds Analysis with Modified Affine Arithmetic

XIE Yong-qiang, CHEN Jian-jun, and ZHU Zeng-qing

(School of Electromechanical Engineering, Xidian University Xi′an 710071)

The introduction of new noise symbols causes error amplification in affine arithmetic inevitably.To avoid this disadvantage, this paper presents a modified affine arithmetic in matrix form for bounds computation of functions. The modified affine arithmetic does not introduce new noises during multiplication operation of affine variables, and it can obtain compacter bounds compared with conventional affine arithmetic. The formulas computing processes and the validity of proposed method are demonstrated by an example. The affine form of bounded uncertain variables and modified affine arithmetic are used to calculate response bounds of uncertain system. The simulations show that, the proposed approach can obtain closer response bounds than interval arithmetic and conventional affine arithmetic.

affine form; interval arithmetic; modified affine arithmetic; uncertain system

TP202; O242

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2011.03.033

2009- 09- 23;

2011- 04- 27

國家863計劃(2006AA04Z402)

謝永強(1976- )，男，博士生，主要從事不確定系統(tǒng)分析與控制方面的研究.