由建構(gòu)與算理看戴震的《勾股割圜記》

陳建平

(美國(guó)明尼蘇達(dá)州州立大學(xué) 圣克勞德分校數(shù)學(xué)系)

清代思想家戴震(1724—1777年)是個(gè)爭(zhēng)議性非常強(qiáng)的學(xué)者。其主要的數(shù)學(xué)著作《勾股割圜記》，自出版以來(lái)備受批評(píng)①《勾股割圜記》首版于1758年，但流傳不廣。現(xiàn)通行的版本基本上是根據(jù)1777年微波榭本《算經(jīng)十書(shū)》附錄版。本文以下提到的《勾股割圜記》，如未說(shuō)明，皆指此本(《續(xù)修四庫(kù)全書(shū)》，1045冊(cè)，上海古籍出版社，2002年，第 81—123頁(yè))。。一般對(duì)此書(shū)的論述，著重于勾股術(shù)包涵的數(shù)學(xué)范圍，或批評(píng)書(shū)中文字簡(jiǎn)古，不采通用名詞之反常做法。我們知道，戴震治經(jīng)以文字入手，每字每句在其學(xué)術(shù)分析研究上都非同小可。由此考慮，戴震在其書(shū)中改了通用名詞、測(cè)圓單位的事實(shí)，應(yīng)有其原因。再者，戴書(shū)的深?yuàn)W難讀，造成了一個(gè)現(xiàn)象:大多數(shù)的戴震研究者無(wú)法評(píng)論戴震數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，因而很難得到有意義而令人滿意的解釋。

本文根據(jù)戴震《勾股割圜記》不同版本及其他有關(guān)三角學(xué)的著作、手稿，從其結(jié)構(gòu)與算理出發(fā)，對(duì)戴震的三角學(xué)做一分析評(píng)估。戴震為了全面“中化”三角學(xué)，或用古詞，或自創(chuàng)“具有古意”的新詞，且自定了新的測(cè)圓單位;而且一改以往用點(diǎn)、線、面、體的西方幾何體系為出發(fā)點(diǎn)的做法，使用了中算固有的弧背、矢、弧弦作為三角學(xué)的基礎(chǔ)與起始點(diǎn)，并用中算家熟知的勾股定理，與相似勾股形對(duì)應(yīng)邊成比例之性質(zhì)，構(gòu)造出西方三角學(xué)①戴震認(rèn)為相似勾股形對(duì)應(yīng)邊成比例之性質(zhì)，就是中算家在勾股測(cè)量中的異乘同除、小大互求。其目的在說(shuō)明此一性質(zhì)早為中算家所用，詳見(jiàn)后文。。其建構(gòu)過(guò)程自成體系，絲毫未使用非傳統(tǒng)中算的數(shù)學(xué)性質(zhì)?？紤]戴震在其他著作中對(duì)西學(xué)的觀點(diǎn)②戴震對(duì)西學(xué)的態(tài)度，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。，《勾股割圜記》中的做法很容易被解讀為，替“西學(xué)中源”作了注腳。但是，此與其他提倡西學(xué)中源學(xué)者的做法有根本上的差異。許多提倡西學(xué)中源的學(xué)者，或是宣稱(chēng)西學(xué)來(lái)自中國(guó)，但沒(méi)有提出任何可靠的證據(jù);或是指出西方著作、學(xué)說(shuō)中的某一概念或說(shuō)法，已在中國(guó)古籍中出現(xiàn)，因而得出西學(xué)傳自中國(guó)的結(jié)論。反觀在《勾股割圜記》中，戴從未提到西學(xué)中源。他用了中算的弧矢術(shù)割圓術(shù)，一磚一瓦地建造出與西方三角學(xué)相當(dāng)?shù)墓垂筛顖A術(shù)。因此，戴的《勾股割圜記》希望造成一個(gè)假象，在西方三角學(xué)之外和之前，中國(guó)就存在著一個(gè)獨(dú)立的勾股割圜系統(tǒng)。對(duì)戴而言，西方的三角學(xué)是對(duì)等于中國(guó)(在《勾股割圜記》中)的51個(gè)勾股割圓術(shù)的。由這樣一個(gè)觀點(diǎn)，我們可合理地解釋戴書(shū)中許多令人費(fèi)解的做法。

本文的另一目的是討論《勾股割圜記》中的算理。戴震宣稱(chēng)“割圜之法盡于勾股互權(quán)(相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例)”，意即所有的勾股術(shù)均可由該性質(zhì)導(dǎo)出。而在其書(shū)中勾股術(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，戴的確是用同限勾股互權(quán)的性質(zhì)導(dǎo)出勾股術(shù)③同限勾股互權(quán)的性質(zhì)，就是劉徽在《九章算術(shù)》勾股章注中所提出的勾股“相與之勢(shì)不失本率”原理，見(jiàn)文獻(xiàn)［2］，189頁(yè)。這一原理是傳統(tǒng)勾股理論中重要的性質(zhì)。但《九章算術(shù)》長(zhǎng)期失傳，戴震在初寫(xiě)《勾股割圜記》尚未見(jiàn)到《九章算術(shù)》。然而在戴震進(jìn)四庫(kù)館見(jiàn)到《九章》之后，在修改《勾股割圜記》時(shí)，既沒(méi)有指出二者的關(guān)聯(lián)，也沒(méi)有改變其表達(dá)方式。。換言之，同限勾股互權(quán)就是《勾股割圜記》書(shū)中的基本算理。戴震在《勾股割圜記》兩次批評(píng)當(dāng)時(shí)的三角學(xué)著作，皆與算理有關(guān)。因此，戴震在《勾股割圜記》中特別注意算理的解釋。在所有勾股術(shù)之前后，均有詳細(xì)說(shuō)明，除有圖式文字解釋之外，書(shū)中更明確地表列出相似勾股形的對(duì)應(yīng)邊。這是戴《勾股割圜記》與當(dāng)時(shí)其他三角學(xué)著作另一不同之處。

本文的結(jié)構(gòu)大致如下。第一節(jié)討論《勾股割圜記》不同版本及其他有關(guān)三角學(xué)的著作、手稿?！豆垂筛钹饔洝返慕?gòu)，所用的名詞，與測(cè)圓單位的演變將于第二節(jié)討論。同時(shí)，我將試圖解釋戴不使用當(dāng)代通用的名稱(chēng)及單位，而用古語(yǔ)和自創(chuàng)新詞的動(dòng)機(jī)企圖。第三節(jié)討論算理在《勾股割圜記》扮演的角色。最后，我將在第四節(jié)討論一些學(xué)者對(duì)戴書(shū)的批評(píng)，由不同的角度，對(duì)這些批評(píng)提出響應(yīng)，并提出我對(duì)戴書(shū)對(duì)清算學(xué)影響的一些看法。

1 《勾股割圜記》版本、手稿與內(nèi)容比較

戴震的算學(xué)著作，除了對(duì)《算經(jīng)十書(shū)》的?？蓖?，還有《策算》、《勾股割圜記》三冊(cè)。另外《原象》中也有《勾股割圜記》的部分內(nèi)容。戴另有未刻印的算學(xué)手稿4篇。現(xiàn)今流傳最廣的《勾股割圜記》版本，是孔繼涵(1739—1784年)于1777年，與《算經(jīng)十書(shū)》一同出的版本，通稱(chēng)為微波榭本(圖1)④一般學(xué)者討論《勾股割圜記》的內(nèi)容，如錢(qián)寶琮、藪內(nèi)清、川原秀城，均是以微波榭本內(nèi)容為主。錢(qián)寶琮與川原也有討論《勾股割圜記》的版本，見(jiàn)文獻(xiàn)［3］、［4］。。《勾股割圜記》是一部三角學(xué)的著作，包括上、中、下3冊(cè)。內(nèi)容有文、圖、術(shù)及注，總計(jì)51條勾股術(shù)，64幅圖①據(jù)《勾股割圜記》載，書(shū)中有55圖49術(shù)。見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，123頁(yè)。此數(shù)目為《五禮通考》本之?dāng)?shù)目。在微波榭本中，共有64幅有編號(hào)的圖，另有4幅附圖;見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，100、101、103、121頁(yè)。書(shū)中最后編號(hào)的術(shù)是勾股49術(shù)，上冊(cè)末另有未編號(hào)的“又術(shù)”一。但在上冊(cè)與中冊(cè)各有不同的15、16術(shù)。見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，101—102、107頁(yè)。詳見(jiàn)后文。有關(guān)《勾股割圜記》的版本，見(jiàn)下文。。在分析其內(nèi)容結(jié)構(gòu)前，我們先討論其不同版本與其他相關(guān)著作、手稿:

戴震未刻印的手稿計(jì)有《準(zhǔn)望簡(jiǎn)法》、《割圜弧矢補(bǔ)論》、《勾股割圜全義圖》及《方圜比例數(shù)表》。根據(jù)內(nèi)容判斷，應(yīng)是寫(xiě)于《勾股割圜記》首次出版(1758年)之前。《準(zhǔn)望簡(jiǎn)法》由方圓的關(guān)系出發(fā)，由矩來(lái)定義直線(方)及弧線(圓)的測(cè)量單位，并討論相似直角三角形(勾股形)及對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系與例題。在一般三角形方面，戴用圖展示如何用相似勾股形來(lái)分析無(wú)直角的一般三角形。戴強(qiáng)調(diào)“三角形盡諸形之變，勾股盡三角形之變，非勾股無(wú)以御三角形，推而至于勾股法之所至也”(［5］，133—134頁(yè))。戴震指出并舉例佐證，所有的平面三角形問(wèn)題，均可用“勾股比例”(即相似直角三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例)的性質(zhì)來(lái)解決。

戴震在《割圜弧矢補(bǔ)論》中，解釋了割圓的程序，定義了在割圓過(guò)程中所得到的弧背、弧弦、弧矢，并討論如何用弧弦、半徑與弧矢造出勾股形。之后，戴震進(jìn)一步解釋如何用勾股來(lái)解決傳統(tǒng)中算與圓、弧、矢有關(guān)的問(wèn)題，如弧矢形面積，或矢弦求徑。另外，圓內(nèi)接正十邊形、正五邊形邊長(zhǎng)均有討論。值得注意的是，在《準(zhǔn)望簡(jiǎn)法》與《割圜弧矢補(bǔ)論》中，所有相似直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，是條列四率，與當(dāng)時(shí)西法三角八線著作中的表示法并無(wú)二致，這是與《勾股割圜記》的做法完全不同的?！豆垂筛钹魅x圖》中只有7幅弧三角的分析圖，無(wú)獨(dú)立的敘述文字。前4圖在天球上，標(biāo)明球面三角形與春分、夏至、赤道、黃道的相對(duì)位置;后3圖展示如何在球面三角形上建造相似勾股形，并用勾股比例之法來(lái)解決球面三角的問(wèn)題。以上三手稿中圖的序號(hào)是連續(xù)的。手稿的部分內(nèi)容，也一字不變地在《勾股割圜記》出現(xiàn)，可推斷其內(nèi)容應(yīng)是《勾股割圜記》成書(shū)的基礎(chǔ)?！斗洁鞅壤龜?shù)表》由10個(gè)數(shù)表構(gòu)成。這些數(shù)表或列出圓徑與圓周的對(duì)應(yīng)數(shù)值，或列出同徑或同積方圓對(duì)應(yīng)數(shù)值，其目的均在簡(jiǎn)化計(jì)算。

《勾股割圜記》首版由吳思孝于1758年刻印(［7］，670頁(yè))，世稱(chēng)吳氏家刻本，今已不傳。戴于1753年避仇入京，在京結(jié)交錢(qián)大昕(1728—1804年)、紀(jì)昀(1724—1805年)等人，并為秦蕙田(1702—1764年)編《五禮通考》之觀象授時(shí)篇②戴入京時(shí)間，根據(jù)段玉裁所作之年譜，為乾隆二十年(1754年)。但現(xiàn)今學(xué)者認(rèn)為應(yīng)為1753年，見(jiàn)文獻(xiàn)［7］，665頁(yè)。。秦蕙田因此將《勾股割圜記》收入《五禮通考》197卷末作為附錄，此為《五禮通考》本［8］③有關(guān)《五禮通考》與秦蕙田，可參考文獻(xiàn)［9］。。根據(jù)孔繼涵在文獻(xiàn)［6］中的眉批，吳氏家刻本與《五禮通考》本，內(nèi)容一樣(見(jiàn)圖1)。

圖1 微波榭本

微波榭本與《五禮通考》本內(nèi)容的編排類(lèi)似。其上冊(cè)皆討論平面三角，中冊(cè)闡述球面三角中有關(guān)球面四邊形及直角三角形的理論，下冊(cè)則解釋一般球面三角形的解法。中、下冊(cè)，除少數(shù)文字，以及將測(cè)圓單位“度”改成“限”之外，兩版內(nèi)容基本一樣;微波榭本上冊(cè)則經(jīng)過(guò)大規(guī)模的增改，超出《五禮通考》本許多。其內(nèi)容還使用了劉徽注《九章算術(shù)》的內(nèi)容，這是《五禮通考》本所沒(méi)有的。因此我們可推測(cè)微波榭本的部分內(nèi)容的修改，應(yīng)在戴震到《四庫(kù)全書(shū)》館，于1774年自《永樂(lè)大典》輯錄出《九章算術(shù)》之后。《原象》第五至第八與《勾股割圜記》的部分內(nèi)容相似(詳見(jiàn)后文)。段玉裁?？洞鳀|原集》于乾隆五十八年(1793年)出版，其中的《勾股割圜記》被錢(qián)寶琮稱(chēng)為經(jīng)韻樓本(［10］，［3］)。以上是戴震有關(guān)三角學(xué)的著作手稿，列于表1。

表1 戴震有關(guān)三角學(xué)的著作手稿

為了分析《勾股割圜記》不同版本的內(nèi)容差異，我以微波榭本為主，將其內(nèi)容分為正文、正文的解釋及算例、吳思孝以當(dāng)時(shí)通用詞語(yǔ)的注和圖式、表示相似勾股形對(duì)應(yīng)邊的表、計(jì)算用的勾股術(shù)。在此所謂的正文是指，微波榭本書(shū)中，行首未空一字的文字?jǐn)⑹?。如圖2，左頁(yè)第一行為正文①圖2為微波榭本中之書(shū)頁(yè)，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，92頁(yè)。戴書(shū)末提到，“記兩千四百一十七字”。此數(shù)字是指正文中的字?jǐn)?shù)，并未包括對(duì)正文的解釋。錢(qián)寶琮在文獻(xiàn)［3］比較各版本字?jǐn)?shù)，也是以正文字?jǐn)?shù)為準(zhǔn)。。

圖2 《勾股割圜記》行文格式

其他如解釋、表、術(shù)，均于行首空一字。以?xún)?nèi)容而言，正文或定義數(shù)學(xué)名詞，或敘述性質(zhì)，或陳述事實(shí)。遇有需要進(jìn)一步的說(shuō)明，則在正文之后，有解釋性的敘述。例如圖2左頁(yè)，倒數(shù)一至五行的文字，就是對(duì)前正文及表作出解釋。而戴震借吳思孝之名①根據(jù)段玉裁的《東原年譜》，“《勾股割圜記》……注亦先生所自為，假名吳君思孝”?？梢?jiàn)，書(shū)中的注都是戴震借吳思孝之名所作。見(jiàn)文獻(xiàn)［7］，662頁(yè)。，用當(dāng)時(shí)通行之平三角、弧三角術(shù)語(yǔ)來(lái)補(bǔ)注(［3］，148—149頁(yè))。注用小字;但對(duì)書(shū)內(nèi)容的評(píng)論，則用一般字體。其用意應(yīng)是幫助讀者了解書(shū)中異于當(dāng)時(shí)通行的詞匯與表達(dá)方式。根據(jù)比較，經(jīng)韻樓本與《原象》內(nèi)容完全一致，二者皆只有正文，無(wú)解釋、注、圖、表、術(shù)。再比較經(jīng)韻樓本與微波榭本中下冊(cè)之正文，除某幾處名詞的增改，二者幾乎相同②經(jīng)比較，改變的名詞有“經(jīng)度”改為“經(jīng)限”，“緯度”改為“緯限”，“弦”改為“徑隅”，“圜周”改為“規(guī)限”，“大恒”改為“通義”，“勾弧”改為“勾限”，“股弧”改為“股限”，“弦弧”改為“隅限”，等等。。但上冊(cè)的差異較大。

一般認(rèn)為，戴震晚年作《七經(jīng)小記》，將《原象》第五、第八作為《勾股割圜記》上冊(cè)，六、七各為中下冊(cè)(［3］，150頁(yè))。經(jīng)過(guò)比對(duì)之后，我們發(fā)現(xiàn)，微波榭本與《五禮通考》本，二本上冊(cè)不同之處:前者多了制定立成(三角函數(shù)表)原則，包括相當(dāng)與現(xiàn)在的特殊角正弦余弦值，與正余弦和較公式的勾股術(shù)，并采用不同的測(cè)圓單位。為了支持他獨(dú)特而異于當(dāng)時(shí)通行的建構(gòu)，戴震在微波榭本中大量地引用郭守敬《授時(shí)歷草》、《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》劉徽注的文字，這是在之前的版本所沒(méi)有的。比較《五禮通考》本上冊(cè)正文、經(jīng)韻樓本上冊(cè)、微波榭本上冊(cè)正文的內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)韻樓本前半冊(cè)與《五禮通考》正文同，后半冊(cè)與微波榭本大致相同。這與錢(qián)寶琮所認(rèn)定各版本的成書(shū)先后順序——《五禮通考》本最先，經(jīng)韻樓本次之，微波榭本最后——是一致的。

2 新酒裝“舊”瓶——戴書(shū)的建構(gòu)

戴震對(duì)《勾股割圜記》多次的修改，正可讓我們由其中略窺戴著書(shū)的目的。下面就書(shū)中的數(shù)學(xué)建構(gòu)、測(cè)圓單位及關(guān)鍵名詞作一分析。

該書(shū)開(kāi)宗明義地將割圓法與弧背、弦、矢作為其建構(gòu)的基礎(chǔ)，并引用郭守敬在《授時(shí)歷草》中定義弧背、弦、矢的文字(［6］，81—82頁(yè))。其目的在借用郭的權(quán)威，來(lái)建立其建構(gòu)的合法性，并說(shuō)明了用弧、弦、矢來(lái)建構(gòu)相當(dāng)于西法三角八線系統(tǒng)的做法，在中國(guó)是自古，至少是在耶穌會(huì)士之前就有的。借著弦、矢在圓上形成勾股形的關(guān)系，戴又將其與勾股相連。再以《周髀算經(jīng)》中方圓關(guān)系作為指導(dǎo)方針，戴震用3-4-5直角三角形來(lái)討論勾股定理。同時(shí)，他強(qiáng)調(diào)勾、股、弦之間的關(guān)系，不在于數(shù)值3、4、5恰為整數(shù)，而在于勾平方加股平方為弦平方(［6］，84頁(yè))。

《勾股割圜記》中用作計(jì)算的程序，被稱(chēng)作勾股術(shù)。勾股第一、二、三術(shù)概括了勾股定理;勾股第四、五、六術(shù)則解釋了弧、弦、矢作為勾股形三邊的關(guān)系(［6］，85—86頁(yè))。戴震的注意力接著轉(zhuǎn)向八線與測(cè)圓單位上。首先他引用《周髀算經(jīng)》中有關(guān)矩及方圓的文字，將矩正式地引進(jìn)勾股割圜系統(tǒng)的建構(gòu)框架，然后再用矩來(lái)定義八線(［6］，88頁(yè))。既然在戴震的系統(tǒng)中，八線是用矩定義的，而其長(zhǎng)度也是用矩測(cè)量而得的，所以八線的名字也應(yīng)反映出這一事實(shí)。這應(yīng)是戴震不用耶穌會(huì)士翻譯名詞的原因之一。圖3是標(biāo)示八線各線段的名稱(chēng)(［6］，93頁(yè))，圖4為圖3的現(xiàn)代表示法，而表2是不同名稱(chēng)的對(duì)應(yīng)表。

表2 八線各線段不同名稱(chēng)對(duì)應(yīng)表

戴震測(cè)圓單位的選定，過(guò)程頗為曲折。在《準(zhǔn)望簡(jiǎn)法》中，戴使用了耶穌會(huì)士所引進(jìn)的全圓為三百六十度。但是西法或耶穌會(huì)士的字眼未曾在手稿中出現(xiàn)，戴震的解釋是，“天本無(wú)度，步算家設(shè)度，以推日月星之行。古法三百六十五度有奇，每晝夜日行一度。度者，行而過(guò)之之名。今用三百六十整，便于步算。則每晝夜日行不及一度。雖失名度之義，算器無(wú)妨用之”(［5］，129頁(yè))。在《五禮通考》本中，正文里繼續(xù)使用全圓為三百六十度。但在下冊(cè)末，吳曰中提到，“此擬《周髀》制矩，以古刻法為度法。得名度者，日左旋所度者?！逼渲行∽肿⒄f(shuō)明，“古晝夜百刻”。(［8］，806頁(yè))這似乎暗示戴震曾考慮使用全圓百度為測(cè)圓單位。這樣的推測(cè)，有圖為佐證(圖5)?！段宥Y通考》本的附圖四中的矩，就是以全圓百度為測(cè)圓弧的單位(［8］，807頁(yè))。

圖中一象限為二十五度，全圓正是一百度。以上二種測(cè)圓單位名稱(chēng)都是“度”。而“度”，戴的解釋?zhuān)恰靶卸^(guò)之之名”。對(duì)戴而言，此單位對(duì)應(yīng)于天象，與太陽(yáng)在天球上的運(yùn)動(dòng)有直接的關(guān)系。全圓三百六十度，是“三百六十五度有奇”在算法上的妥協(xié);而全圓百度的一度，正對(duì)應(yīng)了古刻法中日行一刻的距離。

在《原象》第八，戴震的測(cè)圓單位已改為全圓三百八十四限(［11］，18頁(yè))。但在微波榭本中，全圓又改為九十六限。雖然如此，全圓三百八十四限在微波榭本還留有痕跡。微波榭本的十三圖為矩(圖6)，圖中一象限為九十六限，全圓則為三百八十四限，(［6］，88頁(yè))。

戴震解釋“一限”是由《九章算術(shù)》劉徽注的割圓法取得。戴震描述了割圓法的程序。由圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，將每邊平分為二，重復(fù)使用此一割圓程序，可得到圓內(nèi)接正12、24、48、96邊形(［6］，88頁(yè))。他將對(duì)應(yīng)于圓內(nèi)接正96邊形一邊的弧定義為一限。因此，一個(gè)整圓的弧長(zhǎng)是96限①書(shū)中解釋:“劉徽注《九章算術(shù)》，于方田章附割圜之說(shuō)……是為割六弧成十二弧之一面。如是累析為二十四弧、四十八弧、九十六弧。今圓周設(shè)九十六限，準(zhǔn)諸割圜類(lèi)析之?dāng)?shù)”。見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，88頁(yè)。。但實(shí)際上，在圓內(nèi)接正96邊形上繼續(xù)施行劉徽割圓術(shù)，亦可得192及384邊形。為什么戴最終選擇全圓96限而非384限?戴書(shū)未解釋?zhuān)赡芘c當(dāng)時(shí)一日96刻有關(guān)。

另外在《勾股割圜記》中，戴震提到圓周96限，1限10分，1分75秒，為規(guī)限赤道法;圓周365度24232分①此單位有誤。以計(jì)算數(shù)值而言，全圓應(yīng)為三百六十五度二十四萬(wàn)二千三百二十分。如此才符合“滿百萬(wàn)算成一度”的換算率。，1度為百萬(wàn)分為日度黃道法，以經(jīng)歲(平歲實(shí))為準(zhǔn)(［6］，98頁(yè))。后者是傳統(tǒng)中算里，用天文數(shù)值作為歷法上計(jì)算的單位。戴還討論兩種單位的換算。其目的可能在于，將新訂的96限與傳統(tǒng)歷法中365又四分之一度弱連結(jié)，以增加新單位的說(shuō)服力。有趣的是，孔繼涵在微波榭本中的眉批，也曾談到測(cè)圓的單位，“圜周三百八十四限，限十分，分十萬(wàn)算，謂之規(guī)限割圜法也。周百度，度六十分，分十二秒，滿萬(wàn)算成一度，謂之刻度赤道法也。周三百六十五度二萬(wàn)四千二百三十二分，滿百萬(wàn)算成一度，謂之日度黃道法也，”其余的眉批與書(shū)中文字大致相同(［6］，97頁(yè))。眉批的目的似乎是要改變書(shū)中的敘述。但由數(shù)值而言，孔不僅未改正戴震日度法的錯(cuò)誤，刻度法中滿萬(wàn)算成一度的換算率，渾不可解。

事實(shí)上，原象中的384限，在王錫闡(1628—1682年)的《曉庵新法》中，就可見(jiàn)到。王定義四分之一圓周為象限，六分之一圓周為紀(jì)限，十分之一圓周為專(zhuān)限，其他又有辰限(三分象限之一)、氣限(四分紀(jì)限之一)、髀限(三分專(zhuān)限之一)。王錫闡又定義全圓三百八十四分之一為爻限，全圓三百六十分之一為平限;因此，全圓為384爻限，又為360平限。王還以歲周分圓周，稱(chēng)之為“度限”，全圓為365度少弱其一度。王同時(shí)也在書(shū)中提到這三種單位之間的換算率(［12］，459頁(yè))。戴震未曾在《勾股割圜記》中提到王錫闡，同時(shí)沒(méi)有文獻(xiàn)可直接證明，戴的單位取自王之《曉庵新法》。但戴震曾任職四庫(kù)館，編天文算法類(lèi);而《曉庵新法》也收在《四庫(kù)全書(shū)》天文算法類(lèi)的事實(shí)，可證明戴是看過(guò)王錫闡著作的。除此之外，全圓384限，無(wú)論是數(shù)值384或單位“限”，似乎都支持兩者有關(guān)的可能性。

3 戴系統(tǒng)中的算理

我們知道，如果兩個(gè)直角三角形相似，則其對(duì)應(yīng)邊成比例。這是《勾股割圜記》中最常用的數(shù)學(xué)性質(zhì)。例如，在圖4中，勾股形OAB與ODE相似(同對(duì)應(yīng)DB弧)，所以它們的對(duì)應(yīng)邊成比例。在兩組對(duì)應(yīng)邊中，知其三可求未知的第四邊，這就是西法“三率法”在三角八線中的應(yīng)用。三率法即《九章算術(shù)》之今有術(shù)，劉徽稱(chēng)之為“都術(shù)”(［2］，99頁(yè))。在戴震的系統(tǒng)中，該性質(zhì)被稱(chēng)之為“同限之勾股互權(quán)”。本節(jié)將探討戴如何在《勾股割圜記》中，用這個(gè)基本性質(zhì)導(dǎo)出幾乎所有的勾股術(shù)。

戴震的勾股第九術(shù)(［6］，90頁(yè)):

凡勾股弦小大互求，必得其三，則可以知其四。以原有之二矩定其率，今有之一矩，合而權(quán)之，異乘同除，得所求之一矩②此術(shù)在《五禮通考》本為第十一術(shù)，文字略有不同:“以原有之兩矩定其率，今有之一矩，與之相權(quán)，異乘同除，得所求之一矩，凡推步之法生于此”。見(jiàn)文獻(xiàn)［8］，776頁(yè)。這里的“矩”是直線線段之意。。

就是陳述這個(gè)性質(zhì)。在術(shù)文之后，戴更條列了12程序，涵蓋了兩相似勾股形中所有可能的對(duì)應(yīng)算式，并詳細(xì)地解釋了該性質(zhì)。如同許多明清學(xué)者一樣，他認(rèn)為“同限勾股互權(quán)”就是乘除本法中的異乘同除，因此他還用“一人出粟三鬴。計(jì)三人共出粟若干”的例子，來(lái)強(qiáng)調(diào)此觀點(diǎn)(［6］，91頁(yè))①《勾股割圜記》中三人出粟的問(wèn)題，并不見(jiàn)于《五禮通考》本，只有在微波榭本中有。“異乘同除”在《九章算術(shù)》中并未出現(xiàn)。但異乘同除是被許多明清學(xué)者認(rèn)為是來(lái)自《九章算術(shù)》或是自古就有的。元朱世杰《算學(xué)啟蒙》卷上有異乘同除門(mén)(［13］，164頁(yè))。明《永樂(lè)大典》卷16343的卷題是異乘同除，問(wèn)題為《九章算術(shù)》卷3的非衰分問(wèn)題及其他算經(jīng)的同類(lèi)問(wèn)題(［14］，229頁(yè))(以上材料，為郭書(shū)春先生提供，在此致謝)。利瑪竇與徐光啟認(rèn)為，三數(shù)算法(三率法)即《九章》中的異乘同除法(［15］，17頁(yè))。利瑪竇與李之藻(1565—1630年)也認(rèn)為異乘同除是三率法的舊名(［16］，115頁(yè))。梅文鼎《筆算》有異乘同除法，描述異乘同除為《九章》之樞要(［17］，874頁(yè))。。戴震進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，同限勾股互權(quán)是“至明淺易知，然而神而明之，極步算之巧，平圜渾圜之變不出此矣”(［6］，91頁(yè))。而在《勾股割圜記》中，戴震亦如其所言，明確地證明了幾乎所有的平面、球面三角問(wèn)題，都可以化簡(jiǎn)然后用同限之勾股互權(quán)的性質(zhì)來(lái)解決。由因可見(jiàn)，“同限勾股互權(quán)”就是戴震系統(tǒng)中分析解題的算理。

除了乘除本法外，戴震指出《授時(shí)歷草》的圖，就是用同限勾股互權(quán)的性質(zhì):“《授時(shí)歷草》有弧矢割圜圖，主于共半弧背之勾股小大互求，實(shí)足以盡割圜之理”(［6］，98頁(yè))。藉此，戴一方面建立了同限勾股互權(quán)與弧矢術(shù)、割圓術(shù)的關(guān)聯(lián)，又強(qiáng)調(diào)這個(gè)數(shù)學(xué)性質(zhì)的本土性。借著本土性及與弧矢割圓在傳統(tǒng)天文歷算的角色，戴震將西方割圓八線置于中國(guó)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中;更精確地說(shuō)，戴震是由中算的傳統(tǒng)中，營(yíng)造出一個(gè)能與西方三角學(xué)匹敵的勾股割圓術(shù)。此外，戴震使用與《周髀算經(jīng)》之矩，及《九章算術(shù)》之劉徽割圓術(shù)緊密相連的八線名詞與測(cè)圓、測(cè)弧單位的做法，都顯示了戴震寫(xiě)《勾股割圜記》的意圖:除了提高三角學(xué)為“治經(jīng)之本”的地位②如阮元在《疇人傳》所言，“步算諸書(shū)，類(lèi)皆以經(jīng)義潤(rùn)色，縝密簡(jiǎn)要”(［18］，413頁(yè))。，同時(shí)還希望造成三角學(xué)在中國(guó)自古就有的假象。

在建立了“同限勾股互權(quán)”為基本算理之后，戴震將該原理應(yīng)用在圓上各類(lèi)的勾股形，得到與現(xiàn)代所謂的倍角、半角、和差公式等價(jià)的勾股十一、十二、十三術(shù)(［6］，95—98頁(yè))。其分析皆遵照同一模式:戴震首先將有關(guān)的弧或其和差在圓上以圖表示，然后在其上建造一組同限勾股形。這些勾股形的某些邊長(zhǎng)就是所討論之弧或其和差的八線中某些線段。最后應(yīng)用勾股第九術(shù)的程序，從而得到了在計(jì)算上有大用的勾股術(shù)。戴震還利用這些術(shù)與某些特殊角的正弦、余弦值來(lái)詳細(xì)說(shuō)明了造正弦、余弦表的一般原則(［6］，95—98頁(yè))③這些特殊角包括8限(30度)，16限(60度)，4.8限(18度)，12限(45度)，以及4限(15度)。戴震對(duì)其正弦、余弦值的計(jì)算，可見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，89—90、93、95頁(yè)。對(duì)于戴震建造立成(三角函數(shù)表)的詳細(xì)討論，見(jiàn)文獻(xiàn)［19］?！豆垂筛钹饔洝分校瑢?duì)建造三角函數(shù)表原則的討論，可見(jiàn)于文獻(xiàn)［6］，97頁(yè)。。在上冊(cè)其余的部分，戴震還討論了有關(guān)一般三角形的問(wèn)題。為了遵照同限勾股互權(quán)的基本原則，他將一般三角形分為或補(bǔ)為兩個(gè)勾股形，然后找出相似的勾股形，再在這些勾股形上應(yīng)用三率法，因而得到與現(xiàn)今所謂的正弦定理、三角形全等性質(zhì)、正切定理等④正弦定理，與兩角夾一邊(ASA)、兩角及側(cè)邊(AAS)性質(zhì)是包括在勾股14術(shù)中，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，100頁(yè)。兩邊及一側(cè)角(SSA)性質(zhì)是在勾股15術(shù)中，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，101頁(yè);兩邊夾一角(SAS)性質(zhì)與正切定理是在勾股16術(shù)中，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，102頁(yè)。雖然一般而言，兩邊及一側(cè)角(SSA)性質(zhì)可能會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)不全等的三角形，一為銳角三角形，另一為鈍角三角形，但是只用該性質(zhì)的學(xué)者，可以圖形為標(biāo)準(zhǔn)，來(lái)判斷哪一個(gè)三角形應(yīng)為正確的結(jié)果。。

《勾股割圜記》中冊(cè)分析討論如何解決有關(guān)球面勾股形及球面四邊形的問(wèn)題。這部分，在［20］中曾有詳細(xì)討論。在此僅作概述。戴震分析有關(guān)球面直角三角形問(wèn)題的方法，是用“儀”(方直儀、次緯儀)作為媒介，將球面問(wèn)題轉(zhuǎn)換成平面問(wèn)題。再在平面上建構(gòu)出數(shù)組同限勾股形，然后在其邊上應(yīng)用勾股第九術(shù)，而得到計(jì)算的勾股術(shù)。這完全符合書(shū)中算理，“同限勾股互權(quán)”的原則(圖7、圖8、圖9)。

如圖7所示，方直儀對(duì)應(yīng)于一球面四邊形，次緯儀對(duì)應(yīng)于一球面勾股形(［6］，105頁(yè))。若將球面四邊形的四邊、球面勾股形的三邊置于同一平面上，再在每一弧上附加上相關(guān)的相似平面三角形(同限之勾股)，就得到了戴震的方直儀與次緯儀(圖8、圖9;［6］，106、109頁(yè))。自每一弧可得出一組相似三角形;這些邊恰為方直儀四邊或次緯儀三邊的八線。利用同限勾股互權(quán)，戴震導(dǎo)出解決有關(guān)球面四邊形或勾股形的勾股術(shù)。

在分析完此二儀之后，戴震又用五個(gè)大圓將天球分成許多不同的區(qū)域(圖10—圖13)①圖11可見(jiàn)于文獻(xiàn)［6］，111頁(yè);圖10為圖11的立體還原，是根據(jù)文獻(xiàn)［4］中第八圖改造的。圖12、圖13是在文獻(xiàn)［6］第四十、四十一圖上改造成，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，113頁(yè)。。

戴選用五個(gè)球面四邊形(圖12、圖13中橫線區(qū)域)、五個(gè)球面直角三角形(圖12、圖13中直線區(qū)域)，并以此定義了新的儀:五個(gè)對(duì)應(yīng)于球面四邊形的四邊儀，以方直儀(圖10中的EDBC)為原型;五個(gè)對(duì)應(yīng)于球面勾股形的三角儀，以次緯儀(圖10中的NBD)為原型。戴震更列表表示所有四邊儀與方直儀邊，及三角儀與次緯儀邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，由方直儀與次緯儀導(dǎo)出的勾股術(shù)，可以運(yùn)用在這些其他的儀之上。

除此之外，如圖7所示，方直儀與次緯儀、次經(jīng)儀各共一邊。故三儀的各邊均可互求。因此，戴震又將此三儀形成一個(gè)儀組原型，再將球面上的十儀分成五個(gè)儀組。每一組由一四邊儀，兩個(gè)三角儀構(gòu)成;而在同一儀組中，兩個(gè)三角儀各與四邊儀共一邊①每一三角儀出現(xiàn)在兩儀組中。。每一儀組的儀與儀組原型的儀，有一對(duì)一的對(duì)應(yīng);每一儀的邊，也對(duì)應(yīng)于一原型儀的邊。這些儀與儀組形成了一個(gè)儀的系統(tǒng)。戴震建造這樣一個(gè)系統(tǒng)的原因，在于延伸勾股術(shù)的適用性。方直儀、次緯儀、次經(jīng)儀均在天球的一隅。經(jīng)由新的儀、儀組及其與原型儀與原型儀組的對(duì)應(yīng)，則由方直儀、次緯儀及原型儀組導(dǎo)出的勾股術(shù)，就可以用于解決在天球上任何區(qū)域的問(wèn)題。

《勾股割圜記》的下冊(cè)討論了解決有關(guān)一般非直角球面三角形(戴稱(chēng)之為三觚)問(wèn)題。戴震先解釋如何將一球面三角形上的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到另一較簡(jiǎn)單的球面三角形上，及如何將非直角球面三角形化為兩個(gè)球面直角三角形②這些轉(zhuǎn)換法的名稱(chēng)在《勾股割圜記》本文中是沒(méi)有的;這些名字只出現(xiàn)在以吳思孝名作的注中。這些方法，梅文鼎也在其《弧三角舉要》討論過(guò)。其中垂弧法將一個(gè)球面三角形分成兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，119頁(yè)。次形法是根據(jù)題中的三角形，介紹另一三角形。以數(shù)學(xué)的視角，次形法包含了兩個(gè)不同的方法，此二法皆介紹另一三角形。其一，“次形”與原三角形相鄰共一邊，另兩邊與原三角形之兩邊互補(bǔ)(相加為180度);其二，新的三角形的三邊的邊長(zhǎng)為原三角形的三角的角度，其三角的角度恰為原形之邊長(zhǎng)(［6］，117—118頁(yè))。勾股44、45術(shù)介紹了邊角互求法，此法與現(xiàn)代的球面正弦定理是等價(jià)的(［6］，118—119頁(yè))。。如此一來(lái)，借由簡(jiǎn)化的過(guò)程，許多在一般球面三角形上的問(wèn)題可用中冊(cè)里所得到的勾股術(shù)來(lái)解決。但下冊(cè)的絕大部分是在討論一特殊的方法，“矢較法”。此法分析問(wèn)題的程序?yàn)?，首先將天球與其上的三角形投影在平圓上，再將兩邊用圓上的弧表示出來(lái)(圖14，［6］，121頁(yè))。

因此，球面三角形兩邊(弧)的和與差(戴震稱(chēng)之為“和弧”與“較弧”)均可用平面圓上弧的和差，以圖形表示出來(lái)。在此圓上，戴震又建造一組同限勾股形。因其中勾股形之一邊，恰為和弧較弧的矢之差，所以此法稱(chēng)為“矢較法?！贝髡鹩衷谕薰垂尚紊鲜褂猛薰垂苫?quán)性質(zhì)，進(jìn)而得到能處理一般球面三角形問(wèn)題的勾股術(shù)。這樣的建構(gòu)，又回到了《勾股割圜記》的算理。

圖14 矢較法

綜觀上述的分析，我們可清楚地看到，在《勾股割圜記》中，無(wú)論是平面或是球面上的問(wèn)題，都是根據(jù)“同限勾股互權(quán)”來(lái)分析并得到解題的勾股術(shù)。這樣的做法，實(shí)是數(shù)學(xué)上的成就。因?yàn)槠矫嫒桥c球面三角在18世紀(jì)的中國(guó)，是被分開(kāi)處理而且都極端困難數(shù)學(xué)領(lǐng)域①在戴震以前的學(xué)者是將平面三角與球面三角分開(kāi)討論的。如梅文鼎的《平三角舉要》與《球三角舉要》。三角學(xué)在當(dāng)時(shí)是被認(rèn)為非常困難的學(xué)問(wèn)。勾股居于《九章》之末，正是因?yàn)槠淅щy度之高，超過(guò)其他章。。而戴震用了一個(gè)中算家所熟知的基本性質(zhì)，經(jīng)由圖形分析，就導(dǎo)出了能解決所有被當(dāng)時(shí)學(xué)者認(rèn)為不同而極端困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。即使以現(xiàn)代的觀點(diǎn)，這都算是數(shù)學(xué)上相當(dāng)大的成就。

算理在《勾股割圜記》中的重要性，是否為同時(shí)期的學(xué)者接受?此問(wèn)題的答案，可由《五禮通考》本中秦蕙田的前言，略窺一二:“古人有勾股術(shù)有弧矢術(shù)，今為平三角弧三角。平三角即勾股之異名，弧三角即弧矢之異名……習(xí)其術(shù)不得其理，則繁碎近于藝……又以為諸術(shù)之巧，一同度勾股互權(quán)之外，更無(wú)余術(shù)”(［8］，770—771頁(yè))。秦蕙田不僅了解算理對(duì)理解算法的重要性，并一針見(jiàn)血地指出，戴書(shū)中的勾股術(shù)均來(lái)自“同限勾股互權(quán)”之算理。秦蕙田的前言正提醒了讀者算理在戴書(shū)的重要性。

戴在《勾股割圜記》兩次批評(píng)當(dāng)時(shí)的三角學(xué)著作。這兩次批評(píng)皆與算理有關(guān)。其一是批評(píng)西方三角學(xué)“多其端緒……又諱言其立法之本，出于勾股弧矢”。戴指出，西法繁瑣，而且未能清楚說(shuō)明立法之本(即算理)在于“共半弧背之勾股”。換言之，西法未能點(diǎn)明算理②戴震指出梅文鼎與薛鳳祚兼通西洋之說(shuō)，其著作中有許多西法的缺點(diǎn)(［6］，98頁(yè))。。查閱梅文鼎之《平三角舉要》、《弧三角舉要》或耶穌會(huì)士羅雅谷之《測(cè)量全義》可知，西法也是用相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例與三率法，而得到其計(jì)算之術(shù)。戴震與其有何不同?西法在圖中表明相似三角形的關(guān)系后，列出許多四率組，作為算法的基礎(chǔ)。一個(gè)四率組有四個(gè)數(shù)量，為四率:一率比二率與三率比四率等③對(duì)于西法條列成比例的四率的討論，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［20］，72—73頁(yè)。。讀者若是未看圖，或看不懂圖，則四率之由來(lái)，有如天書(shū)。戴震為改正此缺點(diǎn)，除圖式外，更用表列出同限勾股的對(duì)應(yīng)邊，如圖2左頁(yè)之表，每表(直行)為一勾股形，三表為三同限之勾股，橫列為對(duì)應(yīng)邊。勾股第九術(shù)對(duì)同限勾股的詳細(xì)解釋?zhuān)约懊鞔_地表列同限勾股之對(duì)應(yīng)邊，正是戴震表明算理的做法。

戴震書(shū)中的第二個(gè)批評(píng)，是借吳孝思之口，批評(píng)梅文鼎。梅在其《環(huán)中黍尺》里解球面非直角三角形的算法，需要用到三角形兩邊、兩弧和或兩弧差的余弦。因?yàn)楫?dāng)時(shí)的三角八線是以角(弧)相連的線段定義的(圖3)。因此，當(dāng)弧的和差是0或180度時(shí)，八線是無(wú)法定義的。對(duì)此二特例，梅文鼎指定兩數(shù)為兩弧和或兩弧差的余弦(［6］，122頁(yè))。雖然算法數(shù)值可用，但梅文鼎的解釋完全無(wú)法適用于此二特例，因此，戴震說(shuō)“此勿庵遷就之法，非算理也”(［6］，122頁(yè))。為避免同樣的窘境，戴震不用余弦，而用矢線來(lái)分析問(wèn)題。余弦矢線的關(guān)系是，兩線之和為半徑。因此，光是使用矢，并不能解決問(wèn)題。為此，戴震在下冊(cè)中，除了對(duì)超過(guò)一象限之弧定義了矢線(一弧對(duì)二矢)，更特別地指定二矢之一，為矢較法里所用之矢(［6］，116—117頁(yè));為解決兩弧差為零之特例無(wú)法用算理解釋的困境，戴震又為之另作新圖，再次用同限勾股互權(quán)的概念，完全地解決了問(wèn)題(［6］，121頁(yè))。戴除了成功地避免了算法不合算理的窘境，也再次強(qiáng)化了算理的重要性。這兩次批評(píng)都是以算理為批評(píng)的標(biāo)準(zhǔn)。因此可見(jiàn)，戴震在《勾股割圜記》中對(duì)算理的重視程度。

4 重新評(píng)估戴震的工作

在對(duì)《勾股割圓記》作全面性的重新審視之前，我們先看看前人對(duì)此書(shū)作的批評(píng)。前人對(duì)《勾股割圜記》的批評(píng)，大多數(shù)是根據(jù)下列三個(gè)觀察:(1)戴震的數(shù)學(xué)缺乏原創(chuàng)性的結(jié)果;(2)由于用了與眾不同的單位、名詞，以及其簡(jiǎn)略而仿古風(fēng)格，讓其書(shū)變得深?yuàn)W難懂;(3)戴震未承認(rèn)三角學(xué)是由西方傳進(jìn)中國(guó)的。這些批評(píng)，不無(wú)道理，因此值得我們?cè)诖擞懻摗?/p>

《勾股割圜記》常被后來(lái)的學(xué)者與梅文鼎的三角學(xué)著作相比，正如在談到戴震對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，批評(píng)者常用梅文鼎來(lái)衡量戴震。例如在一封給焦循(1763—1820年)的信中，凌廷堪(1755?—1809年)提到，《勾股割圜記》上、中、下冊(cè)的內(nèi)容，均被梅文鼎不同的三角學(xué)著作所涵蓋(［21］，268頁(yè))。川原秀城與錢(qián)寶琮基本上是同意這種說(shuō)法的(［4］，268頁(yè))①凌廷堪在［21］指出，《勾股割圜記》上冊(cè)的內(nèi)容即是梅文鼎的《平三角舉要》，中冊(cè)即《塹堵測(cè)量》，而下冊(cè)則是環(huán)中黍尺。川原秀城更說(shuō)下冊(cè)的部分內(nèi)容，也可在《弧三角舉要》中見(jiàn)到［4］。。錢(qián)寶琮、藪內(nèi)清與川原秀城都在他們各自的文章中，用現(xiàn)代三角恒等式來(lái)談戴震的勾股術(shù)所包含的內(nèi)容。川原秀城甚至列出，戴震的每一個(gè)勾股術(shù)與其等價(jià)的現(xiàn)代三角恒等式做個(gè)對(duì)應(yīng)(［3］，147—148頁(yè);［22］，29—30頁(yè);［4］，6—7、9—13頁(yè))。藪內(nèi)清觀察到，戴震的分析總是回到一個(gè)簡(jiǎn)單而基本的概念——相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，因此，他認(rèn)為《勾股割圜記》在數(shù)學(xué)的成就上是“退步”的(［22］，30頁(yè))。

幾乎所有研究戴震學(xué)的人都認(rèn)為，《勾股割圜記》是非常難懂的。原因有二:第一，三角學(xué)在當(dāng)時(shí)是被認(rèn)為非常困難的學(xué)科;第二，戴震不使用通用的詞、單位，并以簡(jiǎn)略而古奧的體例來(lái)寫(xiě)《勾股割圜記》，讓一個(gè)原本就困難的算學(xué)科目，難上加難。另外，凌廷堪質(zhì)疑戴震把其書(shū)中的詞當(dāng)成古語(yǔ)，而將當(dāng)時(shí)所通用者當(dāng)作是新詞的做法。但凌廷堪批評(píng)戴震最激烈的地方是戴震在中冊(cè)里對(duì)“經(jīng)”與“緯”的使用。在次緯儀、次經(jīng)儀中，經(jīng)緯的命名與當(dāng)時(shí)所通用的完全相反(［21］，268頁(yè))。焦循也在《釋弧》序中提到，“戴書(shū)務(wù)為簡(jiǎn)奧，變異舊名，恒不易了”(［23］，377頁(yè))。在清末數(shù)學(xué)家李善蘭的《則古昔齋算學(xué)》序中，戴震又被與梅文鼎相比:“我朝自律算名者，勿庵之外，首推東原，勿庵之書(shū)唯恐人不解，東原之書(shū)唯恐人解”(［24］，470頁(yè))①這篇序是劉世仲寫(xiě)的。。錢(qián)寶琮不僅同意凌廷堪對(duì)戴震的批評(píng)，他更加上他的意見(jiàn):“《勾股割圜記》之難讀，恐非殘碑?dāng)嗪?jiǎn)所可比似矣”(［3］，147—148頁(yè))。因?yàn)楹髞?lái)，更無(wú)一個(gè)學(xué)者使用戴震所創(chuàng)的新詞，李儼作出以下的結(jié)論:戴震使用新詞的做法，影響至微(［25］，199頁(yè))。

在以算理與系統(tǒng)建構(gòu)分析《勾股割圜記》之后，戴震著書(shū)的意圖變得明顯。因此我認(rèn)為應(yīng)該由此角度來(lái)重新評(píng)估《勾股割圜記》。戴震著書(shū)的意圖主要是，要建立一個(gè)既能與西法割圓八線相匹敵，又具有文化傳承的勾股割圓系統(tǒng)。為達(dá)此目的，戴震必須使用中算里的性質(zhì)、名詞與單位。如找不到適合的傳統(tǒng)名詞與單位，戴就定義新的名詞與單位，但將它們與古算經(jīng)中的算法或名詞相連。在這些名詞單位的基礎(chǔ)上，戴震完全地用中算已有的性質(zhì)，建造出一個(gè)完整的獨(dú)立于西法之外的系統(tǒng)。在這個(gè)建造中國(guó)系統(tǒng)的層面上，戴震是成功的。

《勾股割圜記》另一個(gè)次要的意圖，經(jīng)由用西法八線為中國(guó)勾股割圓系統(tǒng)作注的手段，與經(jīng)文注文的主從關(guān)系，從而達(dá)到勾股割圜為古、西法八線為新的假象。對(duì)于這一不符事實(shí)的目的，戴震使用了投機(jī)取巧的做法。為戴震刻書(shū)的吳思孝，在其序描述書(shū)中的文辭、風(fēng)格為:“讀其文辭，殆非秦漢已后書(shū)……立法稱(chēng)名一用古義……欲踵古人傳記之后，體固不得不爾也”(［6］，81頁(yè))②這種對(duì)戴震文詞夸張地描述，應(yīng)是意圖提升《勾股割圜記》的地位。序的作者(署名吳思孝)提到他為《勾股割圜記》做注的事實(shí)。如再考慮段玉裁所言，戴書(shū)中的注是戴震假吳思孝之名而做(見(jiàn)注8)。這兩項(xiàng)材料不由讓人懷疑，《勾股割圜記》的序也有可能是戴借吳之名而做。。這不僅為書(shū)中異詞古體做辯護(hù)，也暗示其書(shū)中內(nèi)容可媲美經(jīng)書(shū)。在書(shū)中，戴又借吳之名，用平三角弧三角之術(shù)語(yǔ)來(lái)解釋書(shū)中內(nèi)容，并稱(chēng)《勾股割圜記》為古，西法為今。這些明顯違背事實(shí)的說(shuō)法，聰明的戴震，只能借他人名字為之。由此再看《勾股割圜記》的異常做法，我們不難發(fā)現(xiàn)，戴震不用通用語(yǔ)、文字簡(jiǎn)古，這是要達(dá)成其目的的必要手段。更進(jìn)一步地說(shuō)，戴既然認(rèn)為勾股割圜術(shù)為古，割圓八線為今，那他就沒(méi)有理由承認(rèn)《勾股割圜記》中的系統(tǒng)是西方傳入的。雖然說(shuō)這個(gè)企圖，可作為“西學(xué)中源”的支持，因而提高了西法三角八線在中國(guó)學(xué)者間的接受程度③西學(xué)中源之說(shuō)，許多學(xué)者已有研究。一般性的討論，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［26］，489—499頁(yè)。，但西學(xué)中源說(shuō)早在戴震之前就被梅文鼎及康熙皇帝作為提倡西學(xué)的理由，戴書(shū)對(duì)這個(gè)說(shuō)法的流傳，到底有多少貢獻(xiàn)，根本無(wú)法得知。另外，從教育與普及學(xué)說(shuō)的角度來(lái)說(shuō)，撇棄通用的語(yǔ)言，自創(chuàng)新詞或采用古詞，以及使用仿古的文風(fēng)，的確降低了《勾股割圜記》的普及性與可讀性，影響了讀者的學(xué)習(xí)和理解。但反過(guò)來(lái)說(shuō)，這也說(shuō)明了，戴書(shū)原設(shè)的讀者群應(yīng)不是一般的秀才學(xué)子，而是學(xué)術(shù)有成的精英學(xué)者。而就說(shuō)服精英學(xué)者而言，就算戴震沒(méi)有徹底失敗，但從眾多的批評(píng)來(lái)看，有相當(dāng)多的學(xué)者并未接受這一假象。

自明清到現(xiàn)代，中算逐步西化，并最終融入世界統(tǒng)一的現(xiàn)代數(shù)學(xué)④有關(guān)中算西化的歷程，可參考文獻(xiàn)［27］。。如以這個(gè)角度來(lái)考慮戴震的《勾股割圜記》，其對(duì)中算西化是有著負(fù)面的影響。一個(gè)獨(dú)立于西法之外，且能與之匹敵的傳統(tǒng)系統(tǒng)，很容易造成中算能“自給自足”，且無(wú)需與外人交流的假象。缺乏與外界的互動(dòng)與交流，學(xué)術(shù)進(jìn)步的腳步便緩慢了。戴震的工作，造出了一個(gè)傳統(tǒng)勾股割圓系統(tǒng)，其企圖是可敬的;但以中算西化與融入世界數(shù)學(xué)體系的趨勢(shì)而言，戴的做法可算是與之背道而馳。

戴書(shū)對(duì)中算發(fā)展的影響是不易定位的。如上述李善蘭書(shū)序中提到，“我朝自律算名者，勿庵之外，首推東原”，此將戴震與清朝第一歷算大家梅文鼎并列。這是對(duì)戴震在天文歷算成就的正面評(píng)價(jià)，但似乎不能當(dāng)作是對(duì)《勾股割圜記》的肯定。但如果因?yàn)闊o(wú)后人沿用戴的名詞術(shù)語(yǔ)，而做出其“影響甚微”的結(jié)論，似乎又太過(guò)。對(duì)《勾股割圜記》的影響，有兩條線索可供參考。1777年，《勾股割圜記》連同《策算》，由孔繼涵附于《算經(jīng)十書(shū)》一起出版。這是散佚的算經(jīng)，經(jīng)過(guò)戴震的發(fā)現(xiàn)與?？保状位謴?fù)舊名合集出版①關(guān)于《算經(jīng)十書(shū)》的淵源，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］，1—2頁(yè)。。之后，每次《算經(jīng)十書(shū)》重印，均是依照微波榭本《算經(jīng)十書(shū)》的做法，連同《勾股割圜記》與《策算》一齊重?、谠谥锌圃鹤匀豢茖W(xué)史研究所圖書(shū)館中，所藏的七部清版線裝《算經(jīng)十書(shū)》，每一部都附有《勾股割圜記》與《策算》。其中三部是原版的微波榭刻《算經(jīng)十書(shū)》;兩部未標(biāo)出版者，沒(méi)有新序，只有在《勾股割圜記》序后，有“咸豐己未三月十八夜后學(xué)南昌梅啟照讀隨注”等字，一部為上海鴻寶齋石印，未標(biāo)重刊年次，另一部有“光緒歲次庚寅重刻于與滬上”，但無(wú)出版者名。。許多不同的刊本，正說(shuō)明了《算經(jīng)十書(shū)》的普及性。而《勾股割圜記》也隨著《算經(jīng)十書(shū)》得到了廣大的讀者群。雖然戴書(shū)的影響力難以定位，但影響深遠(yuǎn)的必要條件“普及性”，戴書(shū)肯定是有的。

另外一條有關(guān)戴書(shū)影響力的材料是，清中葉的安清翹(1756—1829年)的著作《矩線原本》［28］。其中，安清翹定圓周為一百度。這與《五禮通考》本末的單位是一致的。除此之外，安清翹的三角著作也是自弧背、弧弦、矢開(kāi)始。更甚者是，其定義弧弦矢的文字，幾乎與《勾股割圜記》同(［28］，309頁(yè)，［6］，81頁(yè))。在測(cè)量篇下卷，安也對(duì)大于一象限的弧，定義矢并使用矢較法，這與戴書(shū)下冊(cè)的做法是一模一樣(［28］，324頁(yè))。因戴震這種定義矢的做法，在18、19世紀(jì)的算書(shū)里是絕無(wú)僅有③在討論矢較法時(shí)，安清翹也如戴震，是對(duì)每一弧(對(duì)應(yīng)二矢，一大一小)，選取其對(duì)應(yīng)二矢之一，作為其矢。，我們幾乎可以肯定安清翹《矩線原本》的做法，是來(lái)自《勾股割圜記》。有趣地是，安清翹是清代少數(shù)反對(duì)“西學(xué)中源”說(shuō)的學(xué)者④安清翹對(duì)西學(xué)中源的看法，可參見(jiàn)［29］。。戴震的數(shù)學(xué)，既可作為“西學(xué)中源”說(shuō)的“佐證”，又影響了反對(duì)“西學(xué)中源”學(xué)者的學(xué)術(shù)。這其中的奧妙，就需要更進(jìn)一步的研究，才能合理地解釋。但我們可說(shuō)，《勾股割圜記》在清代的影響，是很可能超過(guò)前輩學(xué)者所認(rèn)定的“影響甚微”。

由以上分析可知，戴震著《勾股割圜記》，其目的在于建立一個(gè)獨(dú)立于西法之外，又能與之匹敵的中法系統(tǒng)。為達(dá)其目的，戴必須避免使用當(dāng)時(shí)通用的耶穌會(huì)士翻譯的名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)。在古語(yǔ)、自創(chuàng)的名詞單位、固有的中算性質(zhì)上，戴成功地營(yíng)造出一個(gè)具有文化傳承的勾股割圜系統(tǒng)。戴更強(qiáng)調(diào)了其算法的共通算理，不過(guò)是“同限勾股互權(quán)”而已，從而避免了西法繁瑣無(wú)序的缺失。但不幸的是，戴震使用的古語(yǔ)新詞，固然是戴成功的因素之一，但也阻礙了讀者對(duì)其學(xué)說(shuō)的理解，因而成為眾人攻擊的目標(biāo)。經(jīng)由分析，我們對(duì)戴震的企圖與成就給予肯定，但我們也不回避戴書(shū)對(duì)中算西化的負(fù)面影響。由史料中挖掘出的證據(jù)，我們看到，戴震數(shù)學(xué)對(duì)后世的影響，應(yīng)是超過(guò)前輩學(xué)者所作出的結(jié)論。要能更確切地描述戴震數(shù)學(xué)的影響，更多的研究是必要的。

致 謝文本承郭書(shū)春教授、方一兵博士、胡明輝博士，及審稿人提出寶貴建議與材料，謹(jǐn)致謝忱。

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13 朱世杰．算學(xué)啟蒙［A］．續(xù)修四庫(kù)全書(shū)［Z］．第1043冊(cè)．上海:古籍出版社，2002．149—228．

14 永樂(lè)大典之一萬(wàn)六千三百四十三 筭法二卷［A］．續(xù)修四庫(kù)全書(shū)［Z］．第1043冊(cè)．上海:古籍出版社，2002．229—255．

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22 藪內(nèi)清．戴震の暦算學(xué)［A］．藪內(nèi)清，吉田光邦．明清時(shí)代の科學(xué)技術(shù)史［C］．京都:人文科學(xué)研究所，1970．27—34．

23 (清)焦循．里學(xué)堂算記·釋?。跘］．續(xù)修四庫(kù)全書(shū)［Z］．第1045冊(cè)．上海:古籍出版社，2002．377—413．

24 (清)李善蘭．則古昔齋算學(xué)［A］．續(xù)修四庫(kù)全書(shū)［Z］．第1047冊(cè)．上海:古籍出版社，2002．496—666．

25 李儼．三角術(shù)和三角函數(shù)表的東來(lái)［A］．郭書(shū)春．李儼錢(qián)寶琮科學(xué)史全集［C］．第7冊(cè)．遼寧:遼寧教育出版社，1998．192—253．

26 席澤宗．中國(guó)科學(xué)技術(shù)史·科學(xué)思想卷［M］．北京:科學(xué)出版社，2001．

27 田淼．中國(guó)數(shù)學(xué)的西化歷程［M］．濟(jì)南:山東教育出版社，2005．

28 (清)安清翹．矩線原本［A］．四庫(kù)未收書(shū)輯刊［C］．第9輯．第12冊(cè)．北京:北京出版社，2000．293—336．

29 韓琦．明清之際“禮失求野”論之源與流［J］．自然科學(xué)史研究，2007，26(3):303—311．