混雜邊界軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁固有頻率數(shù)值解

胡超榮，丁 虎，陳立群，

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444，2.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200072)

混雜邊界軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁固有頻率數(shù)值解

胡超榮1，丁 虎2，陳立群1，2

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444，2.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200072)

運(yùn)用微分求積方法求解兩端帶有扭轉(zhuǎn)彈簧且彈簧系數(shù)均可任意變化的非對(duì)稱下的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率。以權(quán)系數(shù)修改法處理軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的混雜邊界。研究系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨軸向速度、剛度系數(shù)以及彈簧彈性系數(shù)變化的情況，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與半解析半數(shù)值的研究結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與半解析半數(shù)值結(jié)果基本吻合。

軸向運(yùn)動(dòng)梁;Timoshenko模型;固有頻率;微分求積法

軍事、航空航天以及機(jī)械電子工程等研究、制造及生產(chǎn)領(lǐng)域的多種工程元件都可簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體模型，比如空中纜車(chē)索道、傳輸帶、升降機(jī)纜繩等。由于振動(dòng)因素可能導(dǎo)致這些運(yùn)輸傳送裝置的效率降低或者造成噪聲危害等。因此，軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體廣受研究者關(guān)注［1－10］。

Euler梁模型是軸向運(yùn)動(dòng)體系的一種有效的簡(jiǎn)化經(jīng)典模型。?z［1］、馮志華［2］、陳樹(shù)輝［2］、張偉［4］，Ding等［7］分別利用Euler模型研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁固有頻率、內(nèi)共振以及靜平衡等問(wèn)題。隨著研究的深入，近幾年，考慮了更多因素的Timoshenko模型逐漸受到眾多研究者的關(guān)注。Chen等［8］給出了簡(jiǎn)支邊界的Timoshenko梁模型固有頻率的復(fù)模態(tài)分析方法及半解析半數(shù)值求法。Ghayesh和Balar［9］通過(guò)半解析半數(shù)值方法研究了固定邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁模型的橫向振動(dòng)固有頻率。李等［10］通過(guò)半解析半數(shù)值方法求解了兩端非對(duì)稱混雜邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率。以上分析可見(jiàn)，Timoshenko梁模型的固有頻率求法主要局限于復(fù)模態(tài)分析結(jié)合半解析半數(shù)值的求法。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于，在計(jì)算固有頻率的同時(shí)還可以計(jì)算模態(tài)函數(shù)，但是計(jì)算過(guò)程中的特征函數(shù)過(guò)于復(fù)雜。目前，還沒(méi)有得到其他方法的驗(yàn)證。

Chen等［7］運(yùn)用微分求積方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁模型的非線性參數(shù)振動(dòng)，證明微分求積法可用于分析常見(jiàn)邊界的軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體的橫向振動(dòng)。兩端非對(duì)稱混雜邊界是更一般化的邊界，一定條件下可以退化為各種常見(jiàn)邊界條件，其中包括兩端簡(jiǎn)支、兩端固定，以及一端簡(jiǎn)支一端固定等［10］。本文將引入微分求積方法研究軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)，該方法能夠根據(jù)常規(guī)的矩陣運(yùn)算，快捷精確的計(jì)算系統(tǒng)前幾階固有頻率。通過(guò)該方法處理更一般的混雜邊界，仿真固有頻率隨系統(tǒng)參數(shù)的變化，并與半解析半數(shù)值結(jié)果［10］比較，驗(yàn)證系統(tǒng)參數(shù)對(duì)Timoshenko梁模型固有頻率的影響。

1 微分求積法及應(yīng)用

研究在平面內(nèi)作橫向振動(dòng)的Timoshenko模型軸向運(yùn)動(dòng)梁，考慮截面積為A、繞橫截面中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、密度為ρ、初始張力為P的梁以一致的速度沿軸向運(yùn)動(dòng)，其速度為常數(shù)γ，梁彈性模量為E，剪切模量為G。只考慮梁的橫向和徑向變形，在徑向空間坐標(biāo)x處，t時(shí)刻橫向位移為v(x，t)，假設(shè)其長(zhǎng)度為l，建立軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向自由振動(dòng)的無(wú)量綱式控制方程［8，10］，利用微分求積法解此運(yùn)動(dòng)方程：

式中逗號(hào)后的x和t分別表示對(duì)x和t的偏微分，相應(yīng)的無(wú)量綱化變量和參數(shù)為［8］：

其中，c為速度，k為形狀系數(shù)，k1和k2為剪切模量，k3為轉(zhuǎn)角，kf為彎曲剛度。取梁兩端帶有扭轉(zhuǎn)彈簧鉸支的無(wú)量綱化約束邊界條件［10］

其中kt1和kt2為兩端邊界處的扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度。

對(duì)函數(shù)v(x，t)的空間坐標(biāo)x進(jìn)行離散，網(wǎng)格點(diǎn)的分布形式采用非均勻格式［11］：

式中A(r)ij是權(quán)系數(shù)，r為導(dǎo)數(shù)階數(shù)，f(xj)是函數(shù)f(x)在網(wǎng)點(diǎn)xj處的值，N表示網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)，有：

由上述計(jì)算公式，將(6)代入控制方程(1)和邊界條件(3)，則得到(1)和(3)在相應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)的微分求積近似離散方程：

上式中v上面的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

文獻(xiàn)［7］研究了微分求積法在軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體的應(yīng)用中的精度問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明，取11個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)足夠精確。本文在數(shù)值計(jì)算中也選取11個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，即N=11。

本文采用修正權(quán)系數(shù)方法來(lái)處理非對(duì)稱混雜邊界條件(10)。根據(jù)式(10)，在生成(14)式中各系數(shù)矩陣時(shí)，就將邊界條件引入到各權(quán)系數(shù)矩陣中［11］。修正后的第二階權(quán)系數(shù)矩陣為：

其中：

其中 i，j=3，4，…，N －3，N －2。這些都是 N 階矩陣，而{φ)是N階列向量。

2 數(shù)值結(jié)果

Timoshenko梁物理參數(shù)［8］分別為 P=107N，A=9 ×10－3m2，E=169 ×109Pa，k=5/6，l=0.3 m，G=66×109Pa;相應(yīng)無(wú)量化參數(shù)為 k1=5.90 ×10－5，k2=0.009，k3=0.004 2;圖1給出了當(dāng)c=2，剛度系數(shù)為=0.64時(shí)，利用微分求積法計(jì)算得到的當(dāng)扭轉(zhuǎn)彈簧取不同彈性系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的前三階固有頻率隨軸向速度變化的數(shù)值結(jié)果，其中系統(tǒng)參數(shù)如圖中所示。觀察圖1，能夠清楚看出，軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的前兩階固有頻率隨兩端邊界處彈簧彈性系數(shù)的增大而增大。與以往Timoshenko梁橫向振動(dòng)特性的研究結(jié)果相符。

圖2給出了當(dāng)梁剛度系數(shù)取不同值的時(shí)候，系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨速度變化的情況。由圖2可以看出，在軸向運(yùn)動(dòng)速度不大于臨界速度時(shí)，系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨梁的剛度增加而增大，隨軸向速度的增大而減小。

圖1 隨軸向速度變化的固有頻率Fig.1 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness

圖3給出了當(dāng)c=2，剛度系數(shù)為k2f=0.64時(shí)，保持kt2不變，即kt2=2時(shí)，系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨彈性系數(shù)kt1變化的情況，其中實(shí)線表示第一階固有頻率，虛線表示第二階固有頻率。由圖3可看出，系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨邊界處扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù)增大而增加，尤其是在彈簧系數(shù)較小的時(shí)候表現(xiàn)的較為明顯。如果保持kt1不變，以研究kt2的影響，可得出相同的結(jié)論。

3 與半解析半數(shù)值結(jié)果比較

文獻(xiàn)［10］通過(guò)假設(shè)(1)式的解為復(fù)模態(tài)形式，通過(guò)邊界條件建立線性方程組，和模態(tài)函數(shù)有非零解的充要條件，建立系統(tǒng)的特征方程，這個(gè)過(guò)程稱為解析過(guò)程;以數(shù)值方法求解特征方程，稱為數(shù)值過(guò)程。這一求解陀螺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)頻率的方法就稱之為半解析半數(shù)值的方法。

圖4給出了本文結(jié)果與文獻(xiàn)［10］中的半解析半數(shù)值結(jié)果的比較，其中彈簧系數(shù)取不同的值，梁的剛度系數(shù)k2

f=0.64，圖中實(shí)線為數(shù)值計(jì)算結(jié)果，點(diǎn)線為半解析半數(shù)值結(jié)果。由圖可知在簡(jiǎn)支邊界即kt1=0，kt2=0以及彈簧系數(shù)相等即kt1=2，kt2=2時(shí)，數(shù)值結(jié)果與半解析半數(shù)值結(jié)果吻合的很好;當(dāng)兩端彈簧系數(shù)分別取kt1=2，kt2=4時(shí)，數(shù)值結(jié)果與半解析半數(shù)值結(jié)果在速度較小時(shí)吻合很好，但隨著速度的增大，兩種方法得到的系統(tǒng)第二階固有頻率會(huì)有微小的差異。

圖2 隨剛度系數(shù)和軸向速度變化的固有頻率Fig.2 Natural frequencies changing with axial speed and the stiffness of the beam

圖3 第1和2階固有頻率隨著kt1的變化情況Fig.3 The natural frequencies changing with constraint stiffness

圖4 數(shù)值結(jié)果與半解析半數(shù)值結(jié)果的比較情況Fig.4 The comparison for the numerical results and the semi－analytical and semi－numerical

4 結(jié)論

本文將微分求積方法引入更一般的邊界條件，即兩端鉸支彈簧系數(shù)均可任意變化的非對(duì)稱混雜邊界的處理，并求解了這種邊界下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率。數(shù)值結(jié)果表明，兩端彈簧系數(shù)的增大以及軸向速度的減小，都會(huì)引起系統(tǒng)固有頻率的增大，在彈簧系數(shù)不大時(shí)尤為明顯。通過(guò)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果和半解析半數(shù)值的比較，發(fā)現(xiàn)本文的數(shù)值結(jié)果很好的驗(yàn)證了半解析半數(shù)值的結(jié)論。也說(shuō)明了微分求積法可以處理這種復(fù)雜邊界條件。

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Natural frequency numerial solution to an axially moving timoshenko beam with hybrid boundary

HU Chao－rong1，DING Hu2，CHEN Li－qun1，2

(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200444，China;2.Department of Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

The differential quadrature method was developed to solve natural frequencies of an axially moving asymmetric hybrid supported Timoshenko beams with randomly varying spring coefficients at both sides.The weighted coefficient matrices were modified for dealing with the hybrid boundary.The axially moving speed，the stiffness of the beam and the spring coefficients were numerically investigated for clarifying their influences on the first two natural frequencies，and the results were compared with the semi－analytical and semi－numerical solutions.It was shown that both of them are basically consistent.

axially moving beam;transverse vibration;natural frequency;differential quadrature method

O32

A

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10902064);國(guó)家杰出青年科學(xué)基金(10725209);上海高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專(zhuān)項(xiàng)基金(B37－0101－08－003);上海市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人計(jì)劃(09XD1401700);上海大學(xué)創(chuàng)新基金項(xiàng)目(08－22);上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(S30106);長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃基金課題(IRT0844)資助

2010－04－12 修改稿收到日期：2010－05－24

胡超榮 女，碩士生，1983年10月生

丁 虎 男，副研究員，1978年3月生