高考最值(定值)問題巧解

●陳發(fā)志 毛偉民 (杭州市第十一中學(xué) 浙江杭州 310013)

高考最值(定值)問題巧解

●陳發(fā)志 毛偉民 (杭州市第十一中學(xué) 浙江杭州 310013)

近幾年來，隨著新課改高考的深入實(shí)施和不斷推進(jìn)，以能力立意命題的指導(dǎo)思想日益凸顯．由于最值(定值)問題的綜合性強(qiáng)、解決方法靈活多樣，能很好地考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力、思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，因此一直是各省、市高考命題的熱點(diǎn)．在考查內(nèi)容上，最值(定值)問題涉及的知識(shí)點(diǎn)非常廣泛，涵蓋了函數(shù)、線性規(guī)劃、三角函數(shù)、向量、立體幾何、解析幾何等;在解法上，有代數(shù)式的變形變換、基本不等式、換元法、構(gòu)造法等解決方法;在數(shù)學(xué)思想上，考查學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合等基本思想．筆者對(duì)最值(定值)問題的考試要求、命題走勢(shì)及典型例題進(jìn)行分析，例舉了幾種常見的最值(定值)題的解題策略，供讀者參考．

1 考試要求

最值(定值)問題屬于能力考查的范疇，在很多章節(jié)都有所涉及．因此，新課改高考注重在各部分模塊的聯(lián)結(jié)處和在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題．

《考試說明》對(duì)最值(定值)問題的考查滲透在以下的知識(shí)模塊中，體現(xiàn)了將知識(shí)、能力、素質(zhì)融合在一起的考查目標(biāo):

(1)新課改教材在“函數(shù)的性質(zhì)”這一章節(jié)中增設(shè)了最大值和最小值的定義，對(duì)學(xué)生的思維要求也從“直觀理解”提高到“抽象概括”．課程標(biāo)準(zhǔn)一方面嚴(yán)格限定了判斷最值的方法;另一方面加強(qiáng)了單調(diào)性在求最值問題上的應(yīng)用，尤其突出了函數(shù)最值問題作為所有最值問題的本源地位．

(2)在解析幾何中，要求學(xué)生能利用直線、圓、圓錐曲線的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題，這些問題最后都回歸到最值問題的求解上．

(3)在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生能借助圖像理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最大和最小值等)，即要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的思想方法．

(4)要求學(xué)生會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題，能從實(shí)際情景中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，尋求最優(yōu)解，從而解決簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問題．思維訓(xùn)練上要求學(xué)生由一元函數(shù)最值問題上升到二元一次函數(shù)簡(jiǎn)單的最值問題．

(5)在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用上，更是凸顯最值問題的一般求解策略．明確要求會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的極大值以及給定區(qū)間上函數(shù)的最值，通過使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用．

2 考點(diǎn)回顧

翻閱近3年新課改省市的高考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)最值問題的題型、內(nèi)容基本相同，其中著重對(duì)2010年高考試卷中最值問題進(jìn)行了匯總統(tǒng)計(jì)，整理了部分省市最值問題的考題分析，如表1．

表1 2010年高考最值問題考題分析

由表1不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)行新課改高考以來，數(shù)形結(jié)合解決向量問題、基本不等式運(yùn)用于最值問題的求解、線性規(guī)劃、不等式恒成立等都是熱點(diǎn)問題．而函數(shù)的綜合應(yīng)用在各省市試卷中的出現(xiàn)，體現(xiàn)了高考命題“重基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)重能力的考查”．

3 命題走勢(shì)

2011年是新課改高考深入實(shí)施的一年，在命題上將繼續(xù)在穩(wěn)定中凸顯變化、在變化中追求創(chuàng)新，注重能力的考查和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)本質(zhì)的滲透．因此，最值問題作為對(duì)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維考查的載體，一些熱點(diǎn)問題譬如線性規(guī)劃、向量運(yùn)算與幾何意義、基本不等式應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求最值等仍將是考查的重點(diǎn)．其中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決向量問題，一直是近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)問題，應(yīng)該重點(diǎn)突破;線性規(guī)劃問題在夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)的同時(shí)，通過變式訓(xùn)練滲透思維品質(zhì)的訓(xùn)練;而函數(shù)最值問題作為最值問題的本源，應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)訓(xùn)練，尤其是關(guān)注函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新能力．

4 典例剖析

4．1 利用基本不等式求最值

圖1

圖2

評(píng)析多元函數(shù)問題尤其是2個(gè)變量的函數(shù)最值問題，可通過條件找出變量間的關(guān)系，然后利用基本不等式求解．

4．2 利用判別式求最值

4．3 利用曲線的參數(shù)方程求最值

分析 本題主要考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等，聯(lián)系橢圓的參數(shù)方程，可以將動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)用(2cosθ，sinθ)來表示，這樣只涉及一個(gè)變量，從而可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解．

評(píng)析凡是涉及圓及橢圓上點(diǎn)的最值問題，一般可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，再結(jié)合三角函數(shù)求解，這樣會(huì)比較簡(jiǎn)潔、巧妙．

4．4 利用線性規(guī)劃思想求最值

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析這是一道有關(guān)線性規(guī)劃的問題，其本質(zhì)為在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題．作出可行域，在可行域內(nèi)考慮目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．

解作出x，y的可行域，分析知當(dāng)x=2，y=0時(shí)，(2x+3y)min=4．

評(píng)析求解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是作出可行域．

4．5 巧用換元法求最值

評(píng)析換元法在求解多元函數(shù)，尤其是形式復(fù)雜的多元函數(shù)有著特殊的作用．

4．6 利用柯西不等式求最值

評(píng)析利用柯西不等式證明的關(guān)鍵是將右邊配湊出定值或者能求其最值的表達(dá)式．

4．7 利用數(shù)形結(jié)合思想求最值

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析動(dòng)態(tài)的向量問題，若能結(jié)合圖像，則往往能迅速找到突破點(diǎn)．該題若結(jié)合圖像，則不難發(fā)現(xiàn)|α|終點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡為與β起點(diǎn)、終點(diǎn)組成圓周角為60°的圓．

圖3

評(píng)析向量問題若結(jié)合其加減法的幾何意義，則可轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而找到解題的切入點(diǎn)．

4．8 巧消變量得定值

評(píng)析解析幾何中涉及的變量為定值問題，應(yīng)著手于巧設(shè)變量，通過合理運(yùn)算化簡(jiǎn)過程，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決．

精題集粹

8．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10)．若不建隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;

(2)問隔熱層修建多厚，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求出最小值．

9．已知函數(shù)f(x)=x2－x，其圖像記為曲線C．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1(x1，f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2，f(x2))，曲線 C與其在點(diǎn)P2(x2，f(x2))處的切線交于另一點(diǎn) P3(x3，f(x3))，線段 P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別為S，S，則為12定值．

參考答案