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    對“再談梯形與不等式”一文的看法

    2011-02-01 06:30:10443300湖北省宜都市外國語學(xué)校
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期

    443300 湖北省宜都市外國語學(xué)校 范 鴻

    對“再談梯形與不等式”一文的看法

    443300 湖北省宜都市外國語學(xué)校 范 鴻

    文[1]中,作者對構(gòu)造一個特殊梯形,直觀地解釋一組著名不等式,這種創(chuàng)造性的研究精神值得數(shù)學(xué)愛好者學(xué)習(xí).筆者仔細(xì)研讀,覺得文[1]構(gòu)造梯形以及求特殊線段的過程較繁瑣,并且分一個梯形為兩個相似梯形的線段MN是怎樣得到的沒有講清楚,只是表達了該線段的客觀存在性.筆者發(fā)現(xiàn)一個更好的方法去構(gòu)造這個梯形,也容易求出相應(yīng)的特殊線段,現(xiàn)提出來供大家交流.

    1 構(gòu)造梯形,求四條特殊線段

    構(gòu)造如圖1所示的梯形ABCD,Rt△ABF≌Rt△FCD,AB=CF=a,BF=CD=b,(b>a).

    這是我們再熟悉不過的直角梯形了,美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德(Garfield)曾經(jīng)用這個梯形證明了著名的勾股定理,也正是通過圖1計算四條特殊線段,可以直觀地解釋這組著名不等式.

    以O(shè)為圓心,OF為半徑作⊙O,與BC,CD分別交于點 E,K.連接 AE,ED,AK.

    然后過點E作GE⊥BC,GE分別與AK,AD交于點Q,G,過點O作OH⊥BC于H.

    文[1]中,如圖2的梯形GEHO中存在平行上下底的線段MN,使梯形EMNG與梯形MHON相似.

    2 文[1]中的MN如何作出?

    如圖3,以 EG和 OH的長之和為直徑作⊙T,過 EG和 OH的分點作直徑的垂線與⊙T相交,則垂足與交點之間的線段就是EG和OH的比例中項MN.

    如圖4,為便于說清楚作圖的過程,將梯形GEHO從原圖中抽取出來.過E任作一條射線,在該射線上依次截取GE=EP,PW=MN(這里MN是圖3中的),

    連接WH,過P作PM∥WH交EH于M,過M作GE的平行線交GO于N,

    這樣完成了在梯形GEHO中作出線段MN,它能使梯形EMNG與梯形MHON相似.

    顯然,作圖的原理是平行線分線段成比例定理.

    雖然如此,但筆者覺得上述這樣在梯形GEHO中作出MN還是挺麻煩的,需要好幾步才能完成.

    3 對梯形中兩條線段的構(gòu)成再改進

    基于前面的認(rèn)識,對在圖1梯形中構(gòu)造調(diào)和平均值線段、幾何平均值線段再改進.

    如圖5所示,連接圖1中梯形ABCD的對角線AC,BD交于點Q,過點 Q作GE⊥BC于E,交AD于點G.再以 H為圓心,以O(shè)H的長為半徑作圓,交EG的延長線于點R.因為“平行截相似”,所以有:

    也就是說過梯形對角線交點且平行兩底,與兩腰相交得到的線段GE是上下底a,b的調(diào)和平均值.

    由前面1所述,調(diào)和平均值線段GE的端點E能分直徑BC的兩段BE=AB=a,EC=CD=b,

    可以看出,在圖5中這樣構(gòu)造調(diào)和平均值線段GE、幾何平均值線段RE要比文[1]中構(gòu)造GE,MN自然,簡單,可操作性強.

    1 王凱旋.再談梯形與不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011,3(下)

    20110404)

    數(shù)學(xué)茶樓

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