數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想滲透

244000 安徽省銅陵市二中 章東紅

數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想滲透

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中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等.如果將數(shù)學(xué)知識比喻成數(shù)學(xué)學(xué)科的血肉，那么數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，教學(xué)中適時滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，乃是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓所在.

1 化歸思想

化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，它是數(shù)學(xué)解決問題的基本方法:在解決數(shù)學(xué)問題時，人們常常是將需要解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個相對較容易解決的或者已經(jīng)有解決程式的問題，以求得問題的解答.

分析 很顯然，此為解關(guān)于(x－1)為主元的一元二次方程.如果把方程展開化簡后再求解會非常麻煩，所以可根據(jù)方程的特點，將含有(x－1)的未知項換為y，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，問題就簡單化了.

2 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問題，加深對問題的認(rèn)識，提供解決問題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

圖1

如圖1，線段AB=4.P為AB上一動點.設(shè) PA=x，PB=y.CA⊥AB，DB⊥AB，A，B 為垂足，且CA=1，BD=2，

易知當(dāng)點P，C，D在同一條直線上時，PC+PD最小.

作CE垂直DB的延長線于E.，易知EC=4，ED=2+1=3，

例3 求|x－5|+|x－6|的最小值.

分析 此題可通過去掉絕對值分類討論.即分為三類 x＜5，5≤x≤6，x＞6，然后比較其結(jié)果，但比較繁瑣，利用數(shù)形結(jié)合思想較為簡單，一目了然.

解 將x看作實數(shù)軸上的任意一點，那么此問題轉(zhuǎn)化為求實數(shù)軸的任意一點x到5的距離與到6的距離的和的最小值.

如圖2:顯然可看出其最小值為1，即x應(yīng)是5，6之間的點到其的距離之和.

圖2

3 分類討論思想

分類源于生活，存在于生活，分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)中.

例4 已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求△ABC的面積.

分析 應(yīng)分△ABC是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之.

解 AD是△ABC的高，由勾股定理，得

圖3

圖4

(1)若∠C為銳角，如圖3所示，則BC=BD+CD=16+9=25，

(2)若∠C為鈍角，如圖4所示，則BC=BD–CD=16–9=7，

即△ABC的面積為150或42.

例5 一次函數(shù)y=kx+b的自變量取值范圍是－3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是 －5≤y≤ －2，則這個一次函數(shù)的解析式為＿＿.

分析 本題的自變量x的取值和函數(shù)值的取值的對應(yīng)關(guān)系不明確.

①若k＞0，則當(dāng)x= －3時，y= －5，x=6時y= －2;于是有

4 方程思想

方程思想就是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題.通過解方程(或方程組)或者運用方程的性質(zhì)來分

故所求的函數(shù)解析式是析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決.

例6 △ABC 的三邊 a，b，c滿足 b=8－c，a2－bc－12a+52=0，試確定△ABC的形狀.

解析 由題意得b+c=8，bc=a2－12a+52，

于是有了根與系數(shù)關(guān)系的模型，不妨設(shè)b，c是方程t2－8t+a2－12a+52=0的兩實根，

即 －4(a －6)2≥0，所以 a=6.

從而得b=c=4，因此△ABC是等腰三角形.

5 函數(shù)思想

函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映.它的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng).辯證唯物主義認(rèn)為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué).

例7 已知方程x2－(2－a)x+(5－a)=0的兩個根都大于2，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 此題直接解不容易，我們不妨先構(gòu)造函數(shù)y=x2－(2－a)x+(5－a)，則方程的兩根都大于2的等價條件是

當(dāng)然，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法還有很多，象觀察與實驗、分析與綜合、歸納與類比以及集合論的思想方法，幾何變換的思想方法等等.我們在教學(xué)實踐中應(yīng)充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，有目的、有意識、有計劃地進(jìn)行滲透、介紹和強調(diào)，精心設(shè)計每一個單元、每一堂課的教學(xué)目標(biāo)以及問題提出、情境創(chuàng)設(shè)等教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié).只有讓其掌握了數(shù)學(xué)思想方法這把金鑰匙，才能使其學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力.

20110319)