解題思維因消元與換元而流暢

712000 陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平

解題思維因消元與換元而流暢

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數(shù)學(xué)解題的過程，就是實施一系列的連續(xù)轉(zhuǎn)化、化歸與化簡，這種轉(zhuǎn)化一般表現(xiàn)在:將復(fù)雜問題化為簡單問題、將陌生問題化為熟悉問題，將未知問題化為已知問題.當(dāng)中，多字母化為少字母，無理化為有理，復(fù)雜化為簡單，其消元、換元是分析與解決問題的最為基本的思想方法.

分析1 題設(shè)中有3個字母，3個方程，這樣就可以解此方程組，求出每個字母的值.

點評 本題的解答應(yīng)用了方程的觀點，體現(xiàn)了很有效的“化多字母為少字母”的轉(zhuǎn)化思想方法.

個字母，再結(jié)合分析1里得到的b2=就可求解的.

點評 本解答是利用了“化多個字母為少個字母”的“先解后代”的消元方法.

分析3 比照多項式 a2+b2+c2，ab+bc+ca，聯(lián)想到多項式a+b+c，這三者之間有如下公式:

點評 將條件和解題目標(biāo)鏈接的“結(jié)合點”是3個數(shù)和的完全平方公式(*)，這屬于基礎(chǔ)知識，應(yīng)當(dāng)印記到解題者的腦海里面.

點評 此解答體現(xiàn)了整體思考，不是單個的求出每個的字母的值.其轉(zhuǎn)化點是二數(shù)差的完全平方公式.

分析1 采用局部換元，可以“化無理為有理”，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程組.

有3t=9，即 t=3，從而代入 x=t－2，得 x=1.

經(jīng)檢驗可知，原方程的解是x=1.

點評 二次根式的無理式，一般需要用“平方”技術(shù)轉(zhuǎn)化為有理式，而恰當(dāng)?shù)膿Q元，也可實現(xiàn)“無理化有理”的.

運用“化多為少”的思想方法，消去字母x，得

經(jīng)檢驗可知，原方程的解是x=1.

點評 共軛無理式的妙用，可以得出含一個無理式的簡單方程，之后去采用“平方”技術(shù)，就能一次實現(xiàn)“無理化有理”的效果.

分析3 原無理方程的結(jié)構(gòu)，形似雙曲線方程的“定義結(jié)構(gòu)”，而推到標(biāo)準(zhǔn)方程的辦法是“移項平方法”.

再兩邊平方，將其轉(zhuǎn)化為有理方程，便得

經(jīng)檢驗可知，原方程的解是x=1.

點評 通過觀察、對比與聯(lián)想，實現(xiàn)知識與方法的有效遷移，促進了解題思維鏈的快速形成，也就將面對要解決的問題轉(zhuǎn)化為一個自己從前已熟知的問題.

分析4 既然可以局部換元，那我們可以采用雙變量換元的辦法.

a+b=2x+4. ②由①+②，得a=x+3，

經(jīng)檢驗可知，原方程的解是x=1.

點評 引入兩個變量，進行雙變量的換元，其解答也是“無理化有理”的一個好途徑.

例3 已知a，b，c為正實數(shù)，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，試求abc的最大值.

分析1 將問題轉(zhuǎn)化為利用題設(shè)的兩個條件，將解題目標(biāo)“求abc的最大值”里的三個字母，通過消元處理，轉(zhuǎn)換為“求函數(shù)f(a)=abc=a3－12a2+45a的最大值”問題，此時運用導(dǎo)數(shù)知識不難求得結(jié)果.請讀者不妨嘗試完成.

分析2 一個思考的問題是，不用導(dǎo)數(shù)知識，能求如上三次函數(shù)的最值嗎?請看如下的解答.

解 由a+b+c=12，得 a+c=12－b，代入 ab+bc+ca=45的變形式b(a+c)+ca=45，

于是，b，c是如下一元二次方程

因為t是實數(shù)，所以方程(*)有實數(shù)根，從而有判別式 Δ= ( 12－b)2－4( b2－12b+45 )≥0，

即 b2－8b+12≤0，解得2≤b≤6.于是

不難得到，當(dāng) a=3，b=6，c=3，或 a=6，b=3，c=6，或 a=3，b=3，c=6 時，abc取得最大值54.

點評 這個解法妙在把三個變量的問題轉(zhuǎn)化為一個變量的問題求解，體現(xiàn)了“化多字母為少字母”的思想方法.三個變量的函數(shù)最值問題一般較為陌生，而一個變量的函數(shù)最值問題大家就比較熟悉了.這體現(xiàn)了化歸思想與函數(shù)思想的強大作用.

在文［1］，文［2］里，有這樣一個經(jīng)典的代數(shù)條件恒等式:

分析 文［3］研討了該經(jīng)典恒等式的多途徑證明與深化，其實，用分式換元法，可以給出該問題的極簡單的證法.

點評 該換元的最大好處是消除了乘積為1的限制，將復(fù)雜問題變化得簡單多了，只需一點點代數(shù)的運算，就能推導(dǎo)出常數(shù)1，這也充分顯示了數(shù)學(xué)里“代換”的神奇功效.

在數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，包含了大量的參變元，如何處理這些變元，這是需要首先關(guān)注的.采用代入消元、解代消元、加減消元，就能實現(xiàn)把多參變元的問題轉(zhuǎn)化為少變元的問題，起到了化復(fù)雜問題為簡單問題的作用.另外，恰當(dāng)?shù)膿Q元，也是解題轉(zhuǎn)化的好方法，用得適當(dāng)，就會優(yōu)化解題過程，快速形成解題方案.

1 桂文通.恒等式的證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(初中版)，2008，4

2 余元希等.初等代數(shù)研究(上冊)［M］.高等教育出版社，2006，6

3 安振平.解題分析:需要從細(xì)節(jié)入手［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(初中版)，2008，7

20110323)