借助函數(shù)概念的發(fā)展史引入函數(shù)概念

100054 北京教育學院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀元

借助函數(shù)概念的發(fā)展史引入函數(shù)概念

100054 北京教育學院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀元

1 函數(shù)概念的三種定義

函數(shù)一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量.例如，曲線上點的坐標、點的斜率、曲率半徑等等.其后，伯努利把函數(shù)看作一個變量和一個常數(shù)組成的表達式.歐拉在伯努利之后把函數(shù)看作是含有變量和常數(shù)的任何方程和公式.不難看出，他們對函數(shù)的界定都沒有跳出“表達式”的范圍.

后來，人們又給出了這樣的定義:“如果一個量依賴著另一個量，當后一個變化時前一個量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù).”這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但是，卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步.

1834年，俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義:“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義跳出了“表達式”的框框，建立了變量與函數(shù)之間的對應關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分.

1837年，德國數(shù)學家狄里克萊認為，怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是“如果對于x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù).”

根據(jù)這個定義，即使象如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)(狄里克萊函數(shù)):

在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f(x)忽0忽1.在無論怎樣小的區(qū)間里，f(x)無限制地忽0忽1.因此，它很難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題.但是，不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f(x)仍是一個函數(shù).

狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受.至此，我們已經(jīng)可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義，即函數(shù)的“變量說”.

到二十世紀初，取消了函數(shù)概念中變量只能為數(shù)的限制，突出了函數(shù)的本質(zhì)特征——對應關(guān)系，用集合論的語言敘述為:若對集合M的任意元素x，總有集合N中確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x).元素x稱為自變元，元素y稱為因變元.這種定義方式叫做函數(shù)的“對應說”.

可是，這個定義中還存在著意義不明確的概念“對應”.因此，數(shù)學家們給出了十分形式化的定義.

我們看到，“變量說”自然、形象、直觀，易于理解，但也有其缺陷一面:

(1)“變量說”對函數(shù)的實質(zhì)——對應——缺少充分的刻畫，這是最致命的缺陷.究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是 y=f(x)呢?

(2)“變量說”強調(diào)變量和變域——自變量和因變量、定義域和值域，而對對應規(guī)律卻輕描淡寫一筆帶過.例如，容易誤解y=sin2x+cos2x(=1)不是函數(shù).

而“對應說”和“關(guān)系說”建立在集合論的基礎上，更接近現(xiàn)代數(shù)學語言，普適性強，更重要的是，它們都抓住了函數(shù)的本質(zhì)——對應關(guān)系.

2 借助函數(shù)概念的發(fā)展歷史引入函數(shù)概念

函數(shù)概念的一次又一次的擴張，是前人思維的一次又一次的突破，從中可以看到，函數(shù)概念的內(nèi)涵被不斷地挖掘、豐富和精確刻畫.研究表明:函數(shù)概念歷史發(fā)展過程中的認識障礙也會成為今天課堂上學生的認知障礙.因此，在函數(shù)概念教學中，如果能恰當借鑒歷史，選擇學生容易接受的典型情境探究函數(shù)概念，使學生在情境的識別與辨析中逐步體會它的形成過程，并且親身感悟一次又一次逐步抽象出函數(shù)概念的方法，將有助于學生打破思維定勢，形成清晰的認識，并深刻理解函數(shù)的概念.這是一個多層次逼近的過程，反映了認識由遠及近、由模糊到清晰、由粗略到精細的過程，是教學中值得借鑒的.

所以，我們可以根據(jù)學生的情況，借鑒函數(shù)的歷史發(fā)展，讓學生在探究函數(shù)概念的過程中，經(jīng)歷3次函數(shù)概念的擴張，并最終歸納、總結(jié)出現(xiàn)行初中數(shù)學教材中的函數(shù)概念.

2.1 讓學生結(jié)合實例，從兩個變量聯(lián)系的角度，試著給出函數(shù)的定義，即從表達式的角度理解兩個變量的關(guān)系，完成對函數(shù)概念內(nèi)涵的第1次抽象認識

例1 指出下列變化過程中的變量和常量，并用適當?shù)男问奖磉_變量間的關(guān)系.

(1)一個水滴落到平靜的湖面上，所形成的一系列圓的面積S與圓半徑r的關(guān)系＿＿;

(2)銳角β與銳角α互余，則β與α的關(guān)系＿＿＿＿;

(3)氣體的質(zhì)量m一定時，它的體積V與它的密度ρ之間的關(guān)系＿＿＿＿;

(4)購買單價為1元/支的鉛筆x支和單價5元/個的筆記本y個共花去80元，則x和y的關(guān)系＿＿＿＿;

上述的每一個問題中，教師都提問:在變化的過程中，誰是變量?誰是常量?兩個變量間的關(guān)系是通過什么來刻畫的?

學生分別回答相應問題.

進而教師提出問題:你能總結(jié)在不同的變化過程中，變量間的關(guān)系有何共同特點呢?

學生思考，總結(jié)上述例子變量間關(guān)系的共同特點:

(1)在某一變化過程中存在著兩個變量;

(2)變化過程中兩個變量之間存在一個關(guān)系式;

(3)當一個變量的數(shù)值確定時，另一個變量的數(shù)值也隨之確定.

說明 關(guān)于結(jié)論(3)，學生可能不易得出該結(jié)論，如果學生沒有總結(jié)出這一條，則先暫時放棄對這一條的總結(jié)，通過后續(xù)問題的研究，讓學生慢慢的發(fā)現(xiàn)該結(jié)論.

通過上述問題，感受到變量之間的相互聯(lián)系.特別是二元一次方程，進一步促進學生認識兩個量之間是相互關(guān)聯(lián)的，揭示變量間關(guān)系的一些共同特點.

2.2 結(jié)合實例，讓學生思考前面總結(jié)的函數(shù)定義是否完整，如果不完整，應該如何補充?對函數(shù)從表達式角度的理解過渡到函數(shù)是兩個變量間的相互依賴關(guān)系的認識，完成對函數(shù)概念內(nèi)涵的第2次抽象

例2 北京近幾年底機動車保有量統(tǒng)計表:

(1)表格中有變量嗎?是什么?

(2)從表格中你能得出哪些結(jié)論?

(3)你能寫出汽車保有量m(萬輛)與年份n之間的關(guān)系式嗎?

例3

圖1

(1)統(tǒng)計圖中有變量嗎?是什么?

(2)你能寫天數(shù)m與年份n之間的關(guān)系式嗎?

在學生回答上述問題的基礎上，教師指出，顯然，例2中無法寫出汽車保有量m(萬輛)與年份n的關(guān)系式，例3中也無法寫出天數(shù)m與年份n之間的關(guān)系式，那么聯(lián)系例1，例2，例3，變量之間關(guān)系的共同特點是什么呢?

學生對從例1中得出的共同特點作出修改，形成新的認識:

(1)在某一變化過程中存在著兩個變量;

(2)當一個變量的數(shù)值確定時，另一個變量的數(shù)值隨之確定.

通過以上問題的思考，學生對變量間的共同屬性有了進一步的認識:即在一個變化過程中的兩個變量，不一定存在一個確定的關(guān)系式;變量間的關(guān)系還可以通過表格、圖象等形式來體現(xiàn).兩個變量存在“單值對應”的關(guān)系在上述例題中有所體現(xiàn)，但對這一關(guān)系的認識，需要通過辨析來加以明確.

2.3 通過實例，讓學生對函數(shù)概念的認識從變量間的相互依賴關(guān)系過渡到兩個變量的對應關(guān)系，完成對函數(shù)概念內(nèi)涵的第3次抽象認識

例4 為使首都的交通狀況得到改善，北京推行“公交先行”的戰(zhàn)略.北京市某趟公交車的收費標準是:12千米以內(nèi)票價1元，每增加5千米以內(nèi)加價0.5元，學生使用公交一卡通刷卡可享受2折優(yōu)惠.請你計算乘車里程數(shù)x(千米)分別為5千米，10千米，13千米，15千米時，刷卡乘車實際所需要花的錢數(shù)y(元).

學生思考，回答上述問題:當乘車里程數(shù)分別為5千米，10千米時，需花0.2元;當乘車里程數(shù)分別為13千米，15千米時，需花0.3元.

教師追問學生:在這個問題中，有哪些變量，變量間的關(guān)系有何特點?和前面的例子比較，變量間關(guān)系的共同特點是什么呢?

在此問題中，學生應該能立刻意識到在這個變化過程中，當乘車的里程數(shù)x取不同數(shù)值時，刷卡乘車的費用y卻可能相同;當乘車里程數(shù)x確定時，刷卡乘車的費用y卻是唯一確定了.這點對學生構(gòu)建對函數(shù)概念中“單值對應”的關(guān)系至關(guān)重要.

學生討論，形成認識:乘車費用y(元)并不一定隨著乘車里程數(shù)x(千米)的變化而變化，但變量x的每一個確定數(shù)值，變量y都有唯一的數(shù)值與之對應.

通過上述問題的解決，我們得出在這些問題中變量間關(guān)系的共同特點:

(1)在一個變化的過程中存在著兩個變量;

(2)當其中一個變量取一確定數(shù)值時，另一個變量有唯一值與之對應.

至此，學生對函數(shù)“變量說”中的兩個變量間的關(guān)系有了清晰的認識，形成了函數(shù)的概念:在一個變化過程中，有兩個變量x與y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值和它對應，我們就把x稱為自變量，y稱為因變量，y是x的函數(shù).

這樣設計函數(shù)概念的教學，目的是讓學生沿著數(shù)學家探索函數(shù)概念所走過的路，經(jīng)歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過程，讓學生對函數(shù)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延認識得更加深刻.

20110304)