基于哈密頓方程的非完整約束控制系統(tǒng)分析及應(yīng)用

劉云平

1.南京信息工程大學(xué),南京,210044

2.淮陰工學(xué)院數(shù)字化制造技術(shù)江蘇省重點(diǎn)實驗室,淮安,223003

基于哈密頓方程的非完整約束控制系統(tǒng)分析及應(yīng)用

劉云平1,2

1.南京信息工程大學(xué),南京,210044

2.淮陰工學(xué)院數(shù)字化制造技術(shù)江蘇省重點(diǎn)實驗室,淮安,223003

針對航天器多體系統(tǒng)受非完整約束作用時,其動力學(xué)方程是強(qiáng)非線性微分方程組而難以求解析解、系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其控制難以進(jìn)行分析的問題,提出通過帶非完整約束的哈密頓控制系統(tǒng)對航天器多體系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定及控制進(jìn)行分析的方法。采用該方法可以避免求解非線性方程組的邊值問題。建立了一種簡潔的航天器多體系統(tǒng)姿態(tài)穩(wěn)定性控制方法,而且該方法使得系統(tǒng)的運(yùn)動控制更加易于從物理意義上進(jìn)行解釋,即使得系統(tǒng)的穩(wěn)定控制可以理解為系統(tǒng)和控制器之間的能量平衡。通過算例進(jìn)行了驗證和說明。

非完整約束;哈密頓方程;多體系統(tǒng);姿態(tài)控制

0 引言

近幾年來,各種類型的非完整控制系統(tǒng)在航空航天領(lǐng)域和機(jī)器人領(lǐng)域受到越來越多學(xué)者的關(guān)注?？刂茊栴}的相關(guān)難點(diǎn)與非完整系統(tǒng)特性及控制目的有關(guān)。文獻(xiàn)[1]介紹了許多先進(jìn)的非完整運(yùn)動規(guī)劃方法。Lafferrie re等[2]在考慮冪零系統(tǒng)情況下,提出了使用分段定常輸入的通用運(yùn)動方法。Li等[3]使用標(biāo)準(zhǔn)路徑研究了球面指端在物體上的運(yùn)動。Brockett等[4]受典型系統(tǒng)最優(yōu)控制的啟發(fā),采用了以頻率表示的正弦信號作為輸入來完成非完整運(yùn)動控制系統(tǒng)的設(shè)計。航天器多體系統(tǒng)在忽略微弱的重力梯度力矩時,相對于質(zhì)心的動量矩守恒使得系統(tǒng)成為非完整約束系統(tǒng)[1],其動力學(xué)方程是非線性微分方程組,求出其顯式解非常困難,一般采用數(shù)值積分求其數(shù)值解。而且方程的積分要求滿足始末兩個狀態(tài)的運(yùn)動條件,屬于解兩點(diǎn)邊值問題,此問題的求解非常困難。帶有經(jīng)典約束的未受控制的機(jī)械系統(tǒng)可以被寫成與一般形式的泊松括號、約束狀態(tài)空間及內(nèi)部能量相關(guān)的哈密頓運(yùn)動方程[5]。哈密頓控制系統(tǒng)通過哈密頓正則方程描述系統(tǒng),它代表了普遍的物理意義。

本文研究了帶非完整約束的哈密頓控制系統(tǒng),并將其應(yīng)用到了航天器多體系統(tǒng)的姿態(tài)控制中,避免了求解非線性方程組的邊值問題,而且使得系統(tǒng)的運(yùn)動控制更加容易從物理意義上進(jìn)行解釋。

1 非完整約束系統(tǒng)哈密頓系統(tǒng)

經(jīng)典的帶約束機(jī)械系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程[6]為

2 穩(wěn)定性分析及控制律設(shè)計

注意到動力學(xué)方程(式(7))是能量守恒的。通過反對稱矩陣J r可以直接獲得:

3 應(yīng)用實例

以文獻(xiàn)[1]中的通過鉸接機(jī)械臂來控制姿態(tài)變化的平面型空間雙臂機(jī)器人(圖1)為例,通過以上理論方法分析通過空間機(jī)器人的機(jī)械手臂進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整的過程。

圖1 空間機(jī)器人

其中邊界條件為q(0)=q0=(π/3,-π/6,π/4)和q(t)=q f=(0,0,0)。本體質(zhì)量M=4kg,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m=2kg,l=1.5m,r=1m,本體轉(zhuǎn)動慣量I=4.2kg?m2。

設(shè)θ為本體與水平線的夾角,ψ1和ψ2分別為左臂和右臂與本體之間的夾角,r(二維矢量)為本體上質(zhì)心的位置。系統(tǒng)的動能為

根據(jù)式(7)得到新的坐標(biāo)(ψ1,ψ2,θ)下的哈密頓動力學(xué)方程為

ψ1、ψ2、θ軌跡最終穩(wěn)定于 ψ1=0 、ψ2=0 、θ=0處,如圖2所示。

圖 2 ψ1(t)、ψ2(t)、θ(t)軌跡曲線

通過圖2所示的空間機(jī)器人本體的姿態(tài)角的歷程變化曲線圖可以發(fā)現(xiàn)本體的姿態(tài)大約在第10s時達(dá)到期望值,說明通過非完整約束的哈密頓控制系統(tǒng)方法可以對航天器多體系統(tǒng)的動力學(xué)及姿態(tài)穩(wěn)定控制進(jìn)行分析,避免了對Euer-Lagrange方程中的λ求解及非線性動力學(xué)微分方程的兩點(diǎn)邊值問題,而且也驗證了可以通過航天器的鉸接附件對其姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整。

4 結(jié)束語

本文通過結(jié)合帶經(jīng)典約束的機(jī)械多體系統(tǒng)的動力學(xué)方程,研究了帶非完整約束的哈密頓系統(tǒng)的動力學(xué)方程,并分析了其穩(wěn)定性及控制律。哈密頓正則方程描述的哈密頓控制系統(tǒng)代表了普遍的物理意義。本文將該方法應(yīng)用到了航天器多體系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定控制分析當(dāng)中,并且避免了求解兩點(diǎn)邊值非常困難的問題。

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Nonholonom ic Constraint Control System Analyses and App lications Based on Hamiltonian Equations

Liu Yunping1,2
1.Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing,210044
2.Jiangsu Provincial Key Laboratory of DigitalM anufacturing Technology,Huaiyin Institute of Technology,Huai'an,Jiangsu,223003

For the dynam ic differential equations of spacecraft mu ltibody system is strongly nonlinear with nonholonomic constraint,it is difficult to find the analy tical solution and analyse its stability and contro l p rob lem.The two point boundary value p rob lem of non linear dynamic differential equations can be avoided by the Hamiltonian contro l system with nonholonomic constraints application to the analysis of attitude stability.This is a com pactm ethod for the attitude control of the spacecraft mu ltibody system.Furthermore,the contro l action has a clear physical interp retation that the system stability of contro l can be understood as the energy balance between system and controller.The last is the simulation exam ple.

nonholonom ic constraint;Hamiltonian equation;multibody system;attitude control

TP241.3

1004—132X(2011)04—0479—05

2010—05—04

國家自然科學(xué)基金資助項目(50375071);淮陰工學(xué)院數(shù)字化制造技術(shù)江蘇省重點(diǎn)實驗室開放課題資助項目(HGDML0904)

book=237,ebook=211

(編輯 王艷麗)

劉云平,男,1979年生。南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院講師、博士。主要研究方向為機(jī)械多體系統(tǒng)動力學(xué)與控制、航天器姿態(tài)動力學(xué)與控制。發(fā)表論文10余篇。