平面宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)微動(dòng)臺(tái)的剛度計(jì)算

劉定強(qiáng) 黃玉美 謝 禮 楊 勇

西安理工大學(xué)，西安，710048

平面宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)微動(dòng)臺(tái)的剛度計(jì)算

劉定強(qiáng) 黃玉美 謝 禮 楊 勇

西安理工大學(xué)，西安，710048

針對(duì)宏微進(jìn)給系統(tǒng)，利用彈性鉸的微變形原理設(shè)計(jì)了宏微系統(tǒng)中的微動(dòng)臺(tái)。采用最小位能原理推導(dǎo)出一般彈性鉸的二維剛度矩陣；并將此剛度矩陣應(yīng)用于設(shè)計(jì)有彈性鉸的微進(jìn)給平臺(tái)中，給出了所設(shè)計(jì)的微動(dòng)臺(tái)簡(jiǎn)化的計(jì)算模型。將簡(jiǎn)化模型計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，結(jié)果證明了該方法的有效性和實(shí)用性。

彈性鉸；微動(dòng)臺(tái)；剛度矩陣；最小位能原理

0 引言

目前，宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在超精密加工中的應(yīng)用越來越廣泛，對(duì)其大行程方面的研究尤為必要。在20世紀(jì)80年代的中后期，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了宏微雙重驅(qū)動(dòng)微操作系統(tǒng)的初步想法［1－2］。經(jīng)過近20年的探索，宏微雙重驅(qū)動(dòng)微操作系統(tǒng)目前已是實(shí)現(xiàn)高精度定位的一種有效手段［3－6］。因?yàn)槲?dòng)進(jìn)給平臺(tái)最大行程也只有幾十微米，在實(shí)際加工中受到限制。因此在超精密加工中迫切需要能解決大行程問題，而且具有宏微可以協(xié)調(diào)進(jìn)給的系統(tǒng)。另外，在大中型精密、超精密加工機(jī)床中，工作臺(tái)一般為大尺度，承受三維空間的全載荷（即有三個(gè)方向力載荷和三個(gè)方向力矩載荷），且全載荷為較大的載荷。微動(dòng)臺(tái)在驅(qū)動(dòng)方向的剛度大小，關(guān)系到微動(dòng)臺(tái)的位移精度和進(jìn)給跟蹤響應(yīng)速度。而微動(dòng)臺(tái)在驅(qū)動(dòng)方向的剛度又由彈性鉸的剛度及其在結(jié)構(gòu)中的布置方式?jīng)Q定。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)單個(gè)彈性鉸的研究較多［7－9］，如1965年P(guān)AROS等就推導(dǎo)出彈性鉸的設(shè)計(jì)計(jì)算公式，并給出了彈性鉸厚度遠(yuǎn)小于其切割半徑時(shí)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，避免了費(fèi)時(shí)的數(shù)值積分，給彈性鉸的設(shè)計(jì)計(jì)算帶來了極大的方便。由于簡(jiǎn)化計(jì)算公式是在彈性鉸厚度遠(yuǎn)小于半徑的條件下給出的，所以在設(shè)計(jì)較厚的鉸鏈時(shí)會(huì)有較大的誤差。為了提高分析精度，在有限元建模時(shí)，常采用三維實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，且網(wǎng)格劃分較細(xì)。但是網(wǎng)格劃分過細(xì)，會(huì)造成含有彈性鉸機(jī)構(gòu)的單元數(shù)量很大（常常超過幾十萬），使得分析效率很低，網(wǎng)格劃分過粗，又不能得到高的分析精度。建立彈性鉸單元?jiǎng)偠染仃嚳梢源蟠蠛?jiǎn)化計(jì)算［10］。有基于此，本文研究了任意截面彈性鉸的平面剛度矩陣，并用最小位能原理推導(dǎo)出彈性鉸的二維剛度矩陣，使其可以計(jì)算含有任意放置彈性鉸鏈的機(jī)構(gòu)在二維任何方向上的剛度。

1 宏微工作臺(tái)原理

本文設(shè)計(jì)的宏微直線運(yùn)動(dòng)工作臺(tái)如圖1所示。當(dāng)壓電驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生微量位移時(shí)，微動(dòng)臺(tái)會(huì)在彈性鉸鏈變形的約束下，向y方向移動(dòng)微量位移。微動(dòng)臺(tái)所受6個(gè)載荷中，一個(gè)為驅(qū)動(dòng)方向的載荷，另外5個(gè)為導(dǎo)軌副承受的約束方向的載荷。彈性鉸鏈可以對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器相對(duì)微動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行導(dǎo)向，同時(shí)可以分擔(dān)微動(dòng)臺(tái)部分約束載荷，減小微動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)偏差。

1.1 彈性鉸的結(jié)構(gòu)

彈性鉸結(jié)構(gòu)如圖2a所示，其桿部的截面是矩形。本文采用如圖2b所示的彈性鉸鏈元件，其原理如圖2c所示。

圖2 彈性鉸元件結(jié)構(gòu)原理圖

1.2 微動(dòng)臺(tái)設(shè)計(jì)

微驅(qū)動(dòng)器要通過彈性鉸機(jī)構(gòu)把力和位移等輸出給微進(jìn)給平臺(tái)。該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)是整個(gè)微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)關(guān)鍵的工作，彈性鉸機(jī)構(gòu)的精確性、合理性和有效性在很大程度上決定了微進(jìn)給系統(tǒng)的性能參數(shù)。

由多個(gè)彈性鉸元件組成的微動(dòng)臺(tái)整體結(jié)構(gòu)，既要兼顧在進(jìn)給方向微驅(qū)動(dòng)器預(yù)緊力的需要，又要能承受橫向力和力矩滿足微致動(dòng)器導(dǎo)向的需要。若彈性鉸鏈剛度過高，將影響微驅(qū)動(dòng)器的有效行程和在驅(qū)動(dòng)方向上的承載能力。反之，若剛度過低則承受橫向力和力矩能力差，進(jìn)而導(dǎo)向精度低。本文設(shè)計(jì)的微動(dòng)臺(tái)如圖3所示。微動(dòng)臺(tái)的進(jìn)給和四組彈性鉸鏈的變形一起出現(xiàn)，驅(qū)動(dòng)方向?yàn)閳D3中的y方向。同時(shí)四組彈性鉸鏈關(guān)于微動(dòng)臺(tái)對(duì)稱布置，用于承載橫向（x向）約束力和繞z軸的約束力矩。

圖3 微進(jìn)給平臺(tái)機(jī)構(gòu)

2 彈性鉸剛度矩陣

2.1 不考慮剪切影響的剛度矩陣

圖2a為彈性鉸的幾何結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)［4－6，10］的研究，將彈性鉸簡(jiǎn)化成變截面梁的假設(shè)是合理的?，F(xiàn)用最小位能原理建立單元?jiǎng)偠染仃?，其彈性體的變形位能為

2.2 考慮剪切影響的剛度矩陣

3 微進(jìn)給平臺(tái)的簡(jiǎn)化模型

圖4所示為設(shè)計(jì)的微進(jìn)給平臺(tái)的計(jì)算模型，因圖中的彈性鉸為圓弧彈性鉸。所以有

圖4 微進(jìn)給平臺(tái)的簡(jiǎn)化模型示意圖

圖4中標(biāo)出的數(shù)字1～25為劃分的單元節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2之間，節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4之間是彈性鉸單元。節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3之間是梁?jiǎn)卧?。?jié)點(diǎn)17、4、18、25和24構(gòu)成了平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元。同理，節(jié)點(diǎn)5和節(jié)點(diǎn)6，節(jié)點(diǎn)7和節(jié)點(diǎn)8，節(jié)點(diǎn)9和節(jié)點(diǎn)10，節(jié)點(diǎn)11和節(jié)點(diǎn)12，節(jié)點(diǎn)13和節(jié)點(diǎn)14，節(jié)點(diǎn)15和節(jié)點(diǎn)16分別構(gòu)成彈性鉸單元。節(jié)點(diǎn)6和節(jié)點(diǎn)7，節(jié)點(diǎn)10和節(jié)點(diǎn)11，節(jié)點(diǎn)14和節(jié)點(diǎn)15構(gòu)成梁?jiǎn)卧?。?jié)點(diǎn)24、25、22、9和23為平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元。節(jié)點(diǎn)18、8、19、20和25為平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元。同樣，節(jié)點(diǎn)25、20、21、13和22也為平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元。這里要解決彈性鉸單元和平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元之間的連接問題。節(jié)點(diǎn)17和節(jié)點(diǎn)18的位移矩陣為

在以節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4之間的彈性鉸構(gòu)成的單元中，節(jié)點(diǎn)4的位移矩陣為

在以節(jié)點(diǎn)17、4、18、25和24構(gòu)成的平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元中，節(jié)點(diǎn)4的位移矩陣為

顯然，節(jié)點(diǎn)4的位移矩陣不能完全對(duì)應(yīng)。由于節(jié)點(diǎn)17、18、4之間存在梁的懸臂連接關(guān)系，因此可建立約束關(guān)系：

從結(jié)構(gòu)上看，只要在所組裝的整體剛度方程中考慮了上述約束關(guān)系，就可以實(shí)現(xiàn)彈性鉸單元和平面5節(jié)點(diǎn)矩形單元的連接。

4 數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)

圖4所示微進(jìn)給平臺(tái)的結(jié)構(gòu)，參數(shù)分別為：彈性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0.3，R＝5mm，t＝2mm，b＝32mm，l1＝10mm，l2＝30mm，H1＝30mm，H2＝54mm。計(jì)算結(jié)果如表1所示。表1中的ANSYS解，是用劃分的33 759個(gè)節(jié)點(diǎn)、26 710個(gè)單元而計(jì)算的三維實(shí)體結(jié)果。kx、ky、kθz分別為微動(dòng)工作臺(tái)x方向剛度、y方向剛度和繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。表1中第二行最后一列括號(hào)中的24.8700，是用文獻(xiàn)［3-4］推導(dǎo)的計(jì)算公式計(jì)算的結(jié)果，22.4500則是實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果。剛度實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置如圖5所示，圖中左邊和中間各安裝有一個(gè)直式電感測(cè)微儀，測(cè)量精度為0.1μm；右邊安裝的是LCM500壓力傳感器；左邊安裝的測(cè)微儀是為了測(cè)量出微動(dòng)工作臺(tái)在受力時(shí)的整體移動(dòng)。當(dāng)右邊加外力后，中間的直式電感測(cè)微儀的讀數(shù)減去左邊直式電感測(cè)微儀的讀數(shù)，即為微動(dòng)平臺(tái)的變形位移ε。右邊壓力傳感器的讀數(shù)除以ε就為微動(dòng)平臺(tái)y方向的剛度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和本文方法的計(jì)算結(jié)果接近。

表1 四對(duì)彈性鉸鏈工作平臺(tái)剛度的計(jì)算結(jié)果 N／μm

因?yàn)橛糜邢拊椒ㄓ?jì)算的結(jié)構(gòu)偏硬，所以從表1可以看出，幾個(gè)計(jì)算結(jié)果比實(shí)驗(yàn)結(jié)果剛度大。當(dāng)彈性鉸鏈簡(jiǎn)化成變截面梁，且長(zhǎng)寬比較小時(shí)，考慮剪切對(duì)結(jié)果的影響是比較可取的。因?yàn)榭紤]剪切的計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

由于本文對(duì)系統(tǒng)作了25個(gè)節(jié)點(diǎn)、16個(gè)單元的離散，比用ANSYS直接進(jìn)行實(shí)體單元離散的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)少得多，在計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的前提下，計(jì)算效率高很多。

圖5 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試

5 結(jié)論

（1）本文推導(dǎo)了已知截面形狀函數(shù)的彈性鉸的剛度矩陣。用本文方法計(jì)算的結(jié)果及實(shí)體有限元計(jì)算結(jié)果，以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的一致性。因?yàn)殡x散節(jié)點(diǎn)單元數(shù)少，使計(jì)算時(shí)間大為縮短。

（2）長(zhǎng)寬比較小時(shí)，考慮剪切影響比不考慮剪切影響能獲得更好的精度。研究結(jié)果為微動(dòng)工作平臺(tái)的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及對(duì)整體機(jī)械系統(tǒng)的分析有很好的幫助。

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Stiffness Calculation of Micro－feed Table in Macro－micro Dual Drive Plane Load

Liu Dingqiang Huang Yumei Xie Li Yang Yong
Xian University of Technology，Xian，710048

For the system of macro micro－feed table，a micro－feed table in macro－micro dual system was designed by using of flexure hinge.The 2Dstiffness matrix was derived from principle of minimum potential.And the stiffness matrix was applied to micro－feed table which contained flexure hinges.A simplified computation model of the micro－feed table was obtained.The results of simplified model were compared with finite element model and laboratory results.The effectiveness and practicality of the method were tested and verified.

flexure hinge；micro－feed table；stiffness matrix；principle of minimum potential

TH703

1004—132X（2011）01—0088—04

2010—03—08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50875209）；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2009CB724406）

（編輯 何成根）

劉定強(qiáng)，男，1980年生。西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院博士研究生。研究方向?yàn)榫軘?shù)控裝備。黃玉美，女，1941年生。西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。謝 禮，男，1983年生。西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院碩士研究生。楊 勇，男，1983年生。西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器學(xué)院碩士研究生。