基于正交補(bǔ)的6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

程世利 吳洪濤 王超群,2 姚 裕 朱劍英

1.南京航空航天大學(xué),南京,210016 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué),南京,210031

基于正交補(bǔ)的6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

程世利1吳洪濤1王超群1,2姚 裕1朱劍英1

1.南京航空航天大學(xué),南京,210016 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué),南京,210031

提出了一種研究6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題的新方法。通過分析動(dòng)平臺(tái)位姿變量之間的耦合關(guān)系,增加了一些有用的信息,得到了用于解決這一問題的11個(gè)相容方程。使用正交補(bǔ)方法進(jìn)行消元,最終可以將6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題表達(dá)成一個(gè)一元八次方程。最后通過一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的正確性。

Stewart平臺(tái);并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)正解;正交補(bǔ);解析法

0 引言

6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)是6-6 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種典型特例,其動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的連線是一個(gè)三角形,靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的連線仍然是六邊形[1]。所謂的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題就是已知驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng),求解動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的位置與姿態(tài)變量。

多年以來,這類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1-2]提出了一種解析化方法,將這類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題表達(dá)為一個(gè)一元十六次的代數(shù)方程。文獻(xiàn)[3-4]也將這一問題表達(dá)成一個(gè)一元十六次的代數(shù)方程,但是方法過于復(fù)雜。文獻(xiàn)[5]利用四面體原理研究這一問題,提出一種封閉解法,但是正解方程不是位姿變量的顯式表達(dá)形式。很多學(xué)者試圖運(yùn)用數(shù)值方法解決這一問題,也取得了一些進(jìn)展[6-8]。

本文在文獻(xiàn)[2,9]的基礎(chǔ)上,通過分析動(dòng)平臺(tái)位姿變量之間的耦合關(guān)系,增加有用的信息,得到了用于解決這一問題的11個(gè)相容方程。在此基礎(chǔ)上,反復(fù)使用正交補(bǔ)方法進(jìn)行消元,逐步降低變量的次數(shù),最終可以將6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題表達(dá)為一個(gè)一元八次方程。本文所提出的方法對(duì)于所有的動(dòng)靜平臺(tái)頂點(diǎn)平面布置的6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)都是適用的。

1 基本方程及線性消元

為了問題研究的方便,動(dòng)靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置如圖1所示,其中Z′軸與Z軸分別垂直于動(dòng)靜平臺(tái)平面。動(dòng)平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)在動(dòng)坐標(biāo)系中可以表示為

由于動(dòng)平臺(tái)是三角形的,故頂點(diǎn)1與頂點(diǎn)2重合,頂點(diǎn)3與頂點(diǎn)4重合,頂點(diǎn)5與頂點(diǎn)6重合。靜平臺(tái)頂點(diǎn)坐標(biāo)在靜坐標(biāo)系可以表示為

動(dòng)靜坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣R采用方向余弦矩陣描述:

圖1 6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

旋轉(zhuǎn)矩陣共有9個(gè)元素,但是只有3個(gè)是獨(dú)立的,其他6個(gè)元素存在如下3個(gè)約束條件:

動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)用矢量P=[x y z]T描述,則各桿的桿長(zhǎng)就可以表示為

由于動(dòng)靜平臺(tái)均為平面布置,故式(7)中不含nx、ny、nz。這樣運(yùn)動(dòng)學(xué)正解只需要求解 9個(gè)未知數(shù)即可。為了研究方便,在以下分析過程中引入兩個(gè)中間變量w1和w2。

位置矢量P=[x y z]T的模,即矢量長(zhǎng)度的平方為

根據(jù)式(8)、旋轉(zhuǎn)矩陣的正交以及歸一化特性進(jìn)行化簡(jiǎn)之后,有

式(9)為由6個(gè)含有9個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組成的方程組。選擇其中的 3個(gè)未知數(shù) lx、ly、my作為基本變量 ,則其余的 6 個(gè)未知數(shù) P p、w1、w2、x 、y和mx就可以用這3個(gè)基本變量來線性表示:

由式(12)就可以解得 P p、w1、w2、x、y 和m x關(guān)于lx、ly、my的表達(dá)式。

2 位置姿態(tài)變量的耦合關(guān)系

2.1 位姿變量的耦合關(guān)系

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性、歸一性,從式(4)～(6)、式(8)知,3個(gè)未知數(shù) z、lz、mz有如下關(guān)系:

將式(13)～式(18)代入到如下6個(gè)恒等式中就可以得到只含有變量 lx、ly、my的方程組:

Zhang等[9]在他們的著作中提出了這6個(gè)恒等式。研究發(fā)現(xiàn),在此基礎(chǔ)上還有另外一些信息是可以利用的,同時(shí)這對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題的研究是有幫助的,下面將對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行闡述分析。

2.2 耦合關(guān)系的附加方程

動(dòng)平臺(tái)位置矢量在靜坐標(biāo)系中用P表示,在動(dòng)坐標(biāo)系中用W表示,它們之間有如下關(guān)系:

經(jīng)過研究可以發(fā)現(xiàn),w1、w2的物理意義就是矢量W的前兩個(gè)分量。由式(20)可以得到一組對(duì)應(yīng)關(guān)系:

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性、歸一性,可以得到如下3個(gè)關(guān)系:

利用式(24)～式(29),就有以下6個(gè)等的式存在:

eq6和eq12展開后完全一樣,所以應(yīng)舍去一個(gè),在此舍去 eq12。增加的 5個(gè)方程對(duì)解決Stewart型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題是有幫助的,這一點(diǎn)可以在后面的分析中得到驗(yàn)證。

3 正交補(bǔ)消元過程

3.1 正交補(bǔ)消元

將eq1～eq11這11個(gè)方程中的my作為保留變量,消去ly和lx,最后得到關(guān)于my的代數(shù)方程。具體的方法是用1、ly、lx分別乘以eq1 ～eq11,就可以得到33個(gè)方程式。

為了利用正交補(bǔ)進(jìn)行消元,將ly和lx的不同組合進(jìn)行如下排列:

將所得到33個(gè)方程簡(jiǎn)寫為

其中,M 1在理論上是my的4次多項(xiàng)式,但是對(duì)于6-3 Stew art并聯(lián)機(jī)構(gòu),4次項(xiàng)可能不出現(xiàn);M2、M3是m y的2次多項(xiàng)式和1次多項(xiàng)式;M 4是常數(shù)項(xiàng)。如果把系數(shù)矩陣M 1、M2 、M 3 、M 4按my的冪展開,式(32)就有:

通過利用正交補(bǔ)的方法消去 λ4、λ3、λ2、m3yλ1以及 m4yλ1就可以得到一個(gè)關(guān)于 λ1的線性方程組:

式中,N12為m2y的系數(shù)組成的矩陣;N11為my的系數(shù)組成的矩陣;N10為常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣。

將(N10+N11my+N12m2y)記為 Ms(Ms∈R11×6),其階數(shù)隨著具體問題的不同而有所變化。任取Ms的6行組成一個(gè)方陣,記為M,因?yàn)榉匠探M有非零解,所以其行列式為零,即

由于M s的行數(shù)大于列數(shù),所以可以解得多個(gè)一元高次的代數(shù)方程。這些代數(shù)方程的次數(shù)可能是高于8的,但是次數(shù)高于8次的項(xiàng)系數(shù)是非常小的,大多數(shù)情況下可以把這些項(xiàng)直接舍去。為了求解的精確性,可以多取幾個(gè)這樣的方程,將這些高于8次的項(xiàng)解出來代入到剩余的方程中,就可以得到所需要的一元八次方程。

3.2 其他分量的求解

在解得my之后,lx、ly就可以由式(34)唯一確定 ;P p、w1、w2、x、y、mx 可以由式(12)中的相應(yīng)關(guān)系式解得;z、lz、mz則分別由下列3個(gè)式子求得:

最后剩余的三個(gè)變量nx、ny、nz則分別由下列3個(gè)式子求得:

由以上分析可以看出,共有16種位形與一組桿長(zhǎng)條件對(duì)應(yīng)。

4 算例

本節(jié)通過一個(gè)計(jì)算實(shí)例來驗(yàn)證本文方法的正確性。動(dòng)靜平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。由于動(dòng)靜平臺(tái)的頂點(diǎn)均為平面布置,所以Z分量均為零。

預(yù)先給出一組反解。其旋轉(zhuǎn)矩陣為

位置矢量P=[2 3 15]T。經(jīng)過反解計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng):l1=16.3313,l2=14.3936,l3=15.0360,l4=14.2424,l5=17.7981,l6=18.4852。

應(yīng)用本文提出的方法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解,可以得到多個(gè)一元八次代數(shù)方程。圖2中給出了其中的8個(gè)一元八次方程所對(duì)應(yīng)的線條曲線。其中一個(gè)曲線所對(duì)應(yīng)的方程為

這些一元高次方程都是同解的,它們的解均為

圖2 關(guān)于my正解方程的曲線

可見它們?cè)赱-1,1]之間有兩個(gè)共同的零點(diǎn)。它們共同的實(shí)數(shù)根是:-0.32和-0.448 491,其中-0.32是開始設(shè)置的結(jié)果。其他位置和姿態(tài)變量的計(jì)算結(jié)果如表2所示。經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn),所有的16組位形都滿足桿長(zhǎng)約束,從而反映了所提出的方法和計(jì)算的結(jié)果是完全正確的。

表2 計(jì)算實(shí)例的全部正解

5 結(jié)語

在前人研究成果的基礎(chǔ)上,結(jié)合獨(dú)立研究的成果對(duì)6-3 Stew art并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題進(jìn)行了研究。充分利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性、歸一性,增加了有用信息,即增加了5個(gè)相容方程;運(yùn)用正交補(bǔ)的方法進(jìn)行消元,可得到若干個(gè)一元八次方程。

本文的方法對(duì)于所有類型的6-3 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)都是適用的。本文方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是最終的一元高次方程是關(guān)于位姿變量的函數(shù),這是一種顯式表達(dá),不需要再進(jìn)行轉(zhuǎn)換處理。將此類問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表達(dá)為一元八次代數(shù)方程,相比于以前表示為16次的代數(shù)方程,是一個(gè)突破。這不僅有助于此類機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究,還將推動(dòng)此類機(jī)構(gòu)工作空間等基本問題的研究。

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Forward Kinematics Analysisof 6-3 Stewart Parallel Mechanisms Based on Orthogonal Comp lement Method

Cheng Shili1Wu H ongtao1Wang Chaoqun1,2Yao Yu1Zhu Jianying1
1.Nan jing University of Aeronautics&Astronautics,Nan jing,210016
2.Nanjing Agricultural University,Nanjing,210031

This paper presented a new analyticalm ethod to study the forward kinematics analysis of 6-3 Stewart parallelmechanism s.Analyzing the coup ling relationships among the position and orientation variables of the moving p latform,additionaluseful information was obtained,thus eleven com patible algebra equations used to solve this p roblem were obtained.The orthogonal comp lem ent method was used to eliminate the redundant variab les,the forward kinem atics of 6-3 Stewart parallel mechanisms can be expressed asan eight order equation in the end.Finally a specific examp lewas introduced to verify themethod offered herein.

Stewart p latform;parallelmechanism;forward kinematics analysis;orthogonal comp lementmethod;analyticalmethod

TH 112;TP242

1004—132X(2011)05—0505—05

2010—05—13

國防科工委“十一五”預(yù)研基金資助項(xiàng)目(C 4220062501);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50375071);航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(H 0608-012);江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(CX 07B-068z)

(編輯 袁興玲)

程世利,男,1981年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)及機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。吳洪濤(通訊作者),男,1962年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。王超群,女,1974年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院博士研究生,南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院講師。姚 裕,男,1971年生。南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院副研究員、博士。朱劍英,男,1937年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。