一種基于線性物理規(guī)劃和兩級集成系統(tǒng)綜合方法的多目標多學科優(yōu)化方法

陶友瑞 韓 旭 姜 潮 劉迎春

1.湖南工程學院,湘潭,411104 2.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

一種基于線性物理規(guī)劃和兩級集成系統(tǒng)綜合方法的多目標多學科優(yōu)化方法

陶友瑞1韓 旭2姜 潮2劉迎春1

1.湖南工程學院,湘潭,411104 2.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

提出一種高效、直觀的方法來解決多目標多學科設計優(yōu)化問題。在該方法中,設計者首先確定線性物理規(guī)劃中各目標的偏好類型及偏好值,然后利用ε約束法將多目標問題轉(zhuǎn)換成單目標問題,再采用兩級系統(tǒng)集成綜合方法進行多學科設計優(yōu)化,得到不同設計優(yōu)化方案,最后采用線性物理規(guī)劃評價各設計方案的優(yōu)劣并得到最優(yōu)方案。采用該方法對一個工程實例(減速器模型)進行了優(yōu)化,從5個設計方案中求得了最優(yōu)設計方案,最優(yōu)解中的兩個目標函數(shù)值都在可容忍區(qū)間,從而也驗證了該方法的有效性。通過該算例也說明該方法具有很好的工程應用價值。

多學科設計優(yōu)化;多目標優(yōu)化;線性物理規(guī)劃;兩級集成系統(tǒng)綜合方法

0 引言

多學科設計優(yōu)化(MDO)是一種用于大型系統(tǒng)的并行設計方法,是一種通過充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設計復雜系統(tǒng)工程和子系統(tǒng)的方法論,目前已經(jīng)成為優(yōu)化設計領域的研究熱點,主要應用于航空航天領域[1]。在工程問題中很多學科設計優(yōu)化問題是多目標問題,由于多目標優(yōu)化問題一般不存在單個最優(yōu)解,因此希望求出其Pareto最優(yōu)解集,然后根據(jù)Pareto前沿的分布情況進行多目標決策。求解Pareto最優(yōu)解集傳統(tǒng)的方法是將多目標問題轉(zhuǎn)換為多個不同的單目標優(yōu)化問題,用單目標優(yōu)化方法分別進行求解,這些單目標最優(yōu)解對應原多目標優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解,用這些解的集合去近似Pareto最優(yōu)解集。求解方法主要有加權(quán)法和約束法[2]。

在多學科設計優(yōu)化研究的早期,包括協(xié)同優(yōu)化(CO)策略在內(nèi)的所有的MDO策略只能處理單目標的多學科優(yōu)化問題。近年來,研究人員開始關(guān)注多目標多學科設計優(yōu)化問題。Tappeta等[3]對協(xié)同優(yōu)化策略進行了改進,使其能夠處理多目標問題,在該方法中,采用加權(quán)法將多目標問題轉(zhuǎn)換為單目標問題。Sobieszczanski-Sobieski等[4]的研究表明,加權(quán)法用于設計空間的搜索是有效的。Zhang等[5]將自適應的權(quán)系數(shù)方法引入并行子空間優(yōu)化(concurrent subspace optim ization,CSSO)策略中,得到了一種新的處理多目標多學科問題的方法,該方法可以用來處理大規(guī)模變量的問題。但是,加權(quán)法的主要缺點是對Pareto前沿非凸的情形不能求出所有Pareto最優(yōu)解,而且多個目標之間往往不可比較,從而限制了其應用。Huang等[6]也對CSSO處理多目標問題進行了研究,采用約束方法使CSSO在多學科設計優(yōu)化的框架中處理多目標問題。然而,該方法只用于求得Pareto最優(yōu)解,而不能直接得到滿足設計者偏好的Pareto最優(yōu)解,另外,約束法的主要缺點是約束邊界值變化范圍的確定需要先驗知識。

物理規(guī)劃由美國學者Messac[7]于1995年提出,它是一種新的處理多目標優(yōu)化問題的有效方法。物理規(guī)劃能從本質(zhì)上把握設計者的偏好,無需反復設置各個目標的權(quán)重系數(shù),大大減輕了大規(guī)模多目標設計問題的計算負擔,并將整個設計過程置于一個更加靈活、自然的框架中。它通過綜合偏好函數(shù)將工程設計問題中的多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標優(yōu)化問題,獲得反映設計者偏好的最優(yōu)設計。線性物理規(guī)劃(LPP)是物理規(guī)劃的特殊形式,用于處理線性問題。M cA llister等[8]將線性物理規(guī)劃方法引入?yún)f(xié)同優(yōu)化策略中,用于處理多目標多學科問題。在該方法中,設計者可以采用有物理意義的參數(shù)來描述多個系統(tǒng)級的目標。毫無疑問,該方法擴展了協(xié)同優(yōu)化的應用范圍,也為線性物理規(guī)劃方法在多學科設計優(yōu)化中的應用打下了基礎。但是協(xié)同優(yōu)化策略本身存在優(yōu)化結(jié)果可能不收斂的缺陷,故該方法的應用也受到相應的影響。因此,尋求線性物理規(guī)劃方法在其他多學科設計優(yōu)化策略中的應用勢在必行。

兩級集成系統(tǒng)綜合(bi-level integrated system synthesis,BLISS)方法是Sobieszczanski-Sobiesk等[9]在1998年提出的一種基于分解技術(shù)的工程系統(tǒng)多學科設計優(yōu)化方法,由于它具有可以處理多變量和較容易人為干預優(yōu)化過程的獨特優(yōu)點而被認為是性能最強的一種多學科優(yōu)化策略。BLISS方法只能處理單目標的多學科優(yōu)化問題,本文欲將線性物理規(guī)劃方法嵌入到BLISS中,使其能處理多目標多學科問題。

1 多目標多學科問題的描述

與單學科問題不同,在多學科問題中各學科之間存在耦合關(guān)系,因此多目標多學科問題較單學科多目標問題復雜。多目標多學科問題可描述如下:

式中,X為系統(tǒng)設計向量;X1,X2,…,Xn為各子系統(tǒng)的設計向量;y1,y2,…,yn為學科狀態(tài)變量;y1i,y2i,…,yni為耦合狀態(tài)變量;g為不等式約束;H為系統(tǒng)分析中必須滿足的方程。

2 多目標多學科優(yōu)化方法的建立

由于多學科優(yōu)化問題本身非常復雜,因此在多目標多學科優(yōu)化中要求得所有的Pareto最優(yōu)解的計算成本將會很高。一般而言,從工程應用的角度出發(fā),設計人員希望能夠從少量的Pareto最優(yōu)解中找到能夠滿足設計人員偏好的最優(yōu)解。本文提出的多目標多學科設計優(yōu)化新方法中,設計者的偏好采用具有物理意義的參數(shù)進行描述,采用約束法將多目標問題轉(zhuǎn)換為單目標問題,利用BLISS求解Pareto最優(yōu)解,最優(yōu)方案通過線性物理規(guī)劃進行評價。

2.1 線性物理規(guī)劃

線性物理規(guī)劃通過偏好函數(shù)來表達設計者的偏好程度,將設計目標的取值范圍按不同的滿意程度等級(滿意,可以容忍,不滿意等)劃分為若干連續(xù)區(qū)間,以反映設計者的各種偏好程度[7]。在線性物理規(guī)劃中,偏好函數(shù)有4種類型,根據(jù)偏好精確度的不同,每一類包括軟、硬兩種情況。軟偏好函數(shù)對應優(yōu)化設計問題的設計目標,硬偏好函數(shù)對應約束條件。4種類型的軟偏好函數(shù)定義為:①目標最小化(1S);②目標最大化(2S);③目標趨于某定值最好(3S);④目標趨于某區(qū)間最好(4S)。

采用線性物理規(guī)劃進行多目標優(yōu)化的步驟如下:

(1)設計者根據(jù)問題的性質(zhì)規(guī)定各設計目標的偏好函數(shù)類型(軟型或硬型)。

(2)為各定量及非定量的設計目標規(guī)定用數(shù)值表示的滿意程度區(qū)間。

(3)利用決策者在規(guī)定的各設計目標偏好函數(shù)類型及滿意程度區(qū)間來計算線性物理規(guī)劃數(shù)學模型中的遞增權(quán)值

2.2 BLISS方法

BLISS方法的基本思想是將系統(tǒng)層優(yōu)化從潛在的眾多子系統(tǒng)優(yōu)化中分離出來,使得系統(tǒng)層設計變量顯著減少。BLISS運行之初要先對系統(tǒng)設計變量賦初始值,然后通過循環(huán)來改進設計變量以達到最優(yōu)[9]。每次循環(huán)都由兩步組成:第一步,凍結(jié)系統(tǒng)層變量,對子系統(tǒng)層內(nèi)的局部設計變量進行獨立的、并行的、自主的優(yōu)化;第二步,在第一步的基礎上優(yōu)化系統(tǒng)層變量以達到更進一步的優(yōu)化,在進行子系統(tǒng)優(yōu)化之前要進行系統(tǒng)分析及靈敏度分析。

2.3 基于LPP和BLISS的多目標多學科優(yōu)化流程

多學科設計優(yōu)化中面臨的困難是結(jié)構(gòu)復雜和計算量巨大,而且多學科設計優(yōu)化中還可能包含多個相互矛盾的優(yōu)化目標,因此,多目標多學科設計優(yōu)化是一個更為復雜的問題。本文將線性物理規(guī)劃應用于多目標多學科設計優(yōu)化之中,提出一種高效、直觀的方法來解決該問題。首先,設計者確定線性物理規(guī)劃中各目標的偏好類型及偏好值,即設定各目標5個滿意程度區(qū)間的邊界值,然后利用ε約束法將多目標問題轉(zhuǎn)換成單目標問題,即將多個目標中的一個作為優(yōu)化目標,其余的目標轉(zhuǎn)換為約束,且該約束的上界設定為某一個滿意程度區(qū)間的邊界值,再采用兩級集成系統(tǒng)綜合方法進行多學科設計優(yōu)化,從而得到一個設計優(yōu)化方案(即一個非劣解)。當改變目標約束上界并且重新進行多學科設計優(yōu)化時,就可得到多個設計方案(即多個非劣解)。各設計方案的優(yōu)劣采用線性物理規(guī)劃評價模型來實現(xiàn),在該模型中先計算線性物理規(guī)劃數(shù)學模型中的遞增權(quán)值,再計算各設計方案的綜合目標函數(shù)值,綜合目標函數(shù)值最小的方案為最接近設計者意愿的方案,即最優(yōu)方案。

該方法的優(yōu)化流程如圖1所示,具體過程如下:①初始化所有的設計變量及耦合變量,i=0,j=0,i為第i偏好區(qū)間,j為第j個由目標轉(zhuǎn)換而來的附加約束;②設計者確定各目標所屬的類型(硬型或軟型),并為各目標的偏好區(qū)間確定端點處的設計目標值;③初始化εj,εj=t(j,1),εj為附加約束的上界,t(j,1)為第j個附加約束的第1個偏好區(qū)間端點處的設計目標值;④j←j+1;⑤i←i+1;⑥通過約束法將多目標問題轉(zhuǎn)換為單目標問題,t(j,i)表示第j個附加約束的第i個偏好區(qū)間端點處的設計目標值;⑦采用BLISS方法優(yōu)化轉(zhuǎn)換后的單目標多學科問題,得到一個設計方案,即一個Pareto點;⑧如果第j個附加約束的所有的偏好區(qū)間已經(jīng)全部被選作約束上界,則轉(zhuǎn) ⑨,否則轉(zhuǎn)⑤;⑨如果j＞tota l,轉(zhuǎn) ⑩,否則轉(zhuǎn) ④,tota l為附加約束的總個數(shù);⑩采用線性物理規(guī)劃方法對求得的所有設計方案進行評價,得到最優(yōu)設計方案。

與傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法相比,如與多目標遺傳算法相比,本文所提出的方法可以大大減小計算量,其原因在于減少了求解 Pareto點的個數(shù),但同時又能夠滿足設計人員的偏好。例如,對于一個兩目標的多學科設計優(yōu)化問題,所求的Pareto點只有5個,對一個三目標的多學科設計優(yōu)化問題,所求的Pareto點也只有25個。另外,多目標中經(jīng)常存在目標量綱不同以及目標的量級不同的情況,該方法也易于處理這一類問題,其原因在于在線性物理規(guī)劃方法中對各目標值進行了歸一化處理。

圖1 基于線性物理規(guī)劃和BLISS的多目標多學科設計優(yōu)化流程

3 應用

3.1 算例介紹

模型為一個減速器優(yōu)化模型[10],其原始模型的目標函數(shù)為使減速器的體積最小,約束為應力、撓度及尺寸約束。設計變量為齒輪尺寸(x1,x2,x3)和傳動軸尺寸(x4,x6,x5,x7),模型如圖2所示。

圖2 減速器模型

本文將該模型改造為兩目標問題,即體積 f1最小和齒輪應力 f2最小,模型的數(shù)學表達如下:

3.2 優(yōu)化求解過程

該模型雖然不太復雜,但它是一個典型的多目標多學科問題,能夠作為一個很好的算例來對本文所提的方法進行驗證。首先,確定各目標的類型,在本模型中目標 f1和目標 f2均為1S型。然后為各目標確定各偏好區(qū)間端點處的設計目標值,如表1所示。

表1 目標函數(shù)的類型及偏好區(qū)間的設計目標值

在兩個目標中需要將其中一個轉(zhuǎn)換為附加約束,本文取f1為優(yōu)化目標,將f2轉(zhuǎn)換為附加約束。所以,目標 f2的各偏好區(qū)間端點處的設計目標值將作為附加約束的上界。在進行多學科設計優(yōu)化之前,需要對該模型進行處理以便能夠采用BLISS方法進行優(yōu)化。將該模型分解為3個子系統(tǒng):D1、D2、D3。各系統(tǒng)的定義如下式所示(x1、x2、x3為系統(tǒng)設計變量,x4、x5為子系統(tǒng)D1的設計變量,x6、x7為子系統(tǒng)D2的設計變量):

3.3 結(jié)果和討論

采用本文提出的優(yōu)化方法對上述多目標多學科優(yōu)化問題進行求解,得到5個設計方案,如表2和圖3所示。從結(jié)果中可以看出沒有一個設計方案是完全理想的,因此只有從5個設計方案中選出一個最能夠滿足設計者偏好的方案為最優(yōu)設計方案。通過線性物理規(guī)劃方法對各方案進行評價,方案3的綜合目標函數(shù)值最低,最接近設計者的偏好,在該方案中,體積1925和應力4,都在可容忍區(qū)間內(nèi)。各設計變量的取值為[2.6,0.435 86,17,7.3001,7.7167,3.3609,5.2879]。

表2 優(yōu)化結(jié)果

得到該最優(yōu)方案后,設計者根據(jù)實際情況決定是否接受該方案。如果認為該方案還沒有滿足要求,設計者可以在第一次優(yōu)化的基礎上尋求更優(yōu)的設計方案,即重新對該問題進行優(yōu)化。具體方法如下:選出綜合目標函數(shù)值最低和次低的兩個方案,在這兩個方案之間重新定義設計者的偏好區(qū)間端點處的設計目標值,如表3所示。

圖3 第一次優(yōu)化后Pareto點的分布

表3 目標函數(shù)的類型及偏好區(qū)間的設計目標值

確定了偏好區(qū)間端點處的設計目標值后,采用本文提出的方法重新對該問題進行優(yōu)化,得到的設計方案如表4和圖4所示。從各方案的綜合目標函數(shù)值可以看出方案4為最優(yōu)方案,其體積為1966,應力為3.5。與上一次優(yōu)化結(jié)果比較可以得知該方案更加接近設計者的偏好。毫無疑問,優(yōu)化還可以重復進行,但其前提是設計者可以接受其計算成本的增加以及設計者是否可以接受已經(jīng)得到的方案。

表4 優(yōu)化結(jié)果

圖4 第二次優(yōu)化后Pareto點的分布

4 結(jié)語

BLISS方法是一種性能好的多學科設計優(yōu)化方法,但傳統(tǒng)的BLISS方法僅僅能夠處理單目標問題。本文將線性物理規(guī)劃方法嵌入到BLISS方法中,提出了一種新的處理多目標多學科問題的方法,并采用工程實例對該方法的性能進行了評價。由于該方法只需要求得少量的Pareto點便能得到滿足設計偏好的最優(yōu)設計方案,因此該方法具有計算成本低的優(yōu)點。同時,多目標問題中經(jīng)常存在目標量綱不同以及目標的量級不同的情況,該方法也易于處理這一類問題。所以,本文所提出的方法適于處理工程問題中的多目標多學科設計優(yōu)化問題,具有很好的工程應用價值。

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AMulti-objectiveMultidisciplinary Design Optimization Method Based on
Integrating Linear Physical Programming and Bi-level Integrated System Synthesis

Tao Yourui1Han Xu2Jiang Chao2Liu Yingchun1
1.Hunan Institute of Engineering,Xiangtan,Hunan,411101 2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

We present a novelmethod to deal w ith multi-objectivem ultidiscip linary design optimization by integrating linear physical programming with bi-level integrated system synthesis.A t first,designers decided to which criterion class theobjectives belong,and choose the range targets for every ob jective.Then themu lti-ob jective p rob lem w as converted to sing le-ob jective p rob lem with-constraintmethod.Bi-levelintegrated system synthesiswas used to solve themu ltidiscip linary design op timization p roblem.A ll design schemeswere evaluated by linear physical p rogramming and the op timum design scheme can be obtained.A speed reducerm odel w as investigated to demonstrate the performance o f the presented method.The op tim al design scheme can be obtained from five design schemes.The volume and stress of the op timal design schem e are in the tolerab le range.The presented method can be app lied in the engineering problems.

m ultidiscip linary design optimization;multi-objective optimization;linear physical programming;bi-level integrated system synthesis

TH 122

1004—132X(2011)11—1357—05

2010—03—02

國家科技重大專項(2010ZX04017-013-005);國家自然科學基金資助項目(51075138);湖南工程學院 2011年科研啟動基金資助項目

(編輯 蘇衛(wèi)國)

陶友瑞,男,1973年生。湖南工程學院機械工程系副教授、博士。研究方向為多學科優(yōu)化設計、材料成形工藝與仿真。發(fā)表論文 15篇。韓 旭,男,1968年生。湖南大學機械與運載工程學院院長、教授、博士研究生導師。姜 潮,男,1978年生。湖南大學機械與運載工程學院副教授、博士。劉迎春,男,1951年生。湖南工程學院副校長、教授。