空調(diào)系統(tǒng)PID控制的二次型組合優(yōu)化

文｜深圳市都市建筑設(shè)計(jì)有限公司 陳之啟

空調(diào)系統(tǒng)PID控制的二次型組合優(yōu)化

文｜深圳市都市建筑設(shè)計(jì)有限公司 陳之啟

本文介紹了根據(jù)李亞普諾夫第二方法應(yīng)用二次型性能指標(biāo)J達(dá)極小求解空調(diào)PID控制系統(tǒng)控制器參數(shù)最佳的問(wèn)題，即在J達(dá)極小優(yōu)化的同時(shí)，通過(guò)合理地設(shè)置加權(quán)矩陣Q并優(yōu)化比例加權(quán)因子qp、微分加權(quán)因子qd和積分加權(quán)因子q，使PID參數(shù)相互之間實(shí)現(xiàn)優(yōu)化組合，在保證系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的前提下，尋找控制器PID參數(shù)的最佳數(shù)值；并通過(guò)單位階躍輸入的控制過(guò)程考驗(yàn)證明，二次型性能指標(biāo)優(yōu)化的空調(diào)系統(tǒng)PID控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)和節(jié)能效果比其他積分型優(yōu)化，如時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分（ITAE）和誤差平方積分（ISE）更好。

空調(diào)PID控制 二次型性能指標(biāo)優(yōu)化 控制品質(zhì)指標(biāo) 控制節(jié)能效果更貼近建筑物的物理特性，二次型被應(yīng)用到空調(diào)控制系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)的優(yōu)化整定中。大量模擬數(shù)據(jù)分析證明，該方法可以使空調(diào)控制取得控制質(zhì)量提高和節(jié)能的效果，而且調(diào)試方便快捷。筆者的發(fā)明專利“一種空調(diào)機(jī)組室溫PID控制方法”（2005年8月23日申請(qǐng)，2010年4月14日授權(quán)，專利號(hào)為ZL200510092868.X）正是以本文所述理論為基礎(chǔ)，以利用本文中導(dǎo)出的計(jì)算公式優(yōu)化控制器PID參數(shù)為技術(shù)依據(jù)推出的。

1 引言

PID控制［1］有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、控制性能佳和適用面廣等優(yōu)點(diǎn)，在各個(gè)控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。空調(diào)是室內(nèi)環(huán)境工程中為人們創(chuàng)造舒適環(huán)境或?yàn)槟撤N制造工藝提供恒溫恒濕環(huán)境的控制工程。中央空調(diào)設(shè)備，例如：空氣處理機(jī)、新風(fēng)機(jī)組和風(fēng)機(jī)盤管機(jī)組的控制大多采用PID控制。決定PID控制能否實(shí)現(xiàn)優(yōu)化控制的關(guān)鍵技術(shù)是控制器PID參數(shù)的優(yōu)化。目前有許多種優(yōu)化PID參數(shù)的技術(shù)被應(yīng)用到空調(diào)控制中，在空調(diào)控制的數(shù)字化和信息化方面進(jìn)行了嘗試；但是許多資料反映，這些優(yōu)化方法，例如模糊控制或神經(jīng)元法等，由于調(diào)試過(guò)程比較麻煩，并沒(méi)有使空調(diào)系統(tǒng)控制取得控制質(zhì)量提高和節(jié)能的預(yù)期效果。為了更切合空調(diào)系統(tǒng)的工藝特點(diǎn)，

2 控制對(duì)象特性

空調(diào)系統(tǒng)的控制對(duì)象是由空調(diào)房間（或區(qū)域）和冷（熱）水盤管（或加熱器）組成的廣義對(duì)象?？照{(diào)PID控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制原理如圖1所示。

圖中，T1為房間時(shí)間常數(shù)，K1為房間傳遞系數(shù)，τ1為空調(diào)房間純滯后時(shí)間，K2為測(cè)溫元件傳遞系數(shù)，K3為執(zhí)行器傳遞系數(shù)，T4為冷水盤管（加熱器）時(shí)間常數(shù)，K4為冷水盤管（加熱器）傳遞系數(shù)，τ4為冷水盤管（加熱器）的容量滯后時(shí)間，Kp為比例控制增益，Ti為積分時(shí)間，Td為微分時(shí)間，u（t）為連續(xù)的控制器輸出，w（t）為執(zhí)行器輸出，θc（t）為送風(fēng)溫度，θa（t）為連續(xù)的空調(diào)房間溫度，θf(wàn)（t）為干擾量。

對(duì)于對(duì)象I，即空調(diào)房間（或區(qū)域），用集中參數(shù)時(shí)間常數(shù)T1和傳遞系數(shù)K1來(lái)表示其熱工特性，T1和K1可以通過(guò)傳熱學(xué)原理及方法計(jì)算，也可以用房間溫升試驗(yàn)曲線法測(cè)定。此外，尚有一個(gè)不可忽略的物理參數(shù)——純滯后τ1，因?yàn)槔洌幔┰袋c(diǎn)與測(cè)溫點(diǎn)之間隔著風(fēng)管和/或房間的空間距離。純滯后τ1的大小與風(fēng)管或空間距離，以及風(fēng)速大小有關(guān)，可以計(jì)算，也可以在使用溫升試驗(yàn)曲線測(cè)定參數(shù)T1和K1的同時(shí)測(cè)得。

對(duì)于對(duì)象Ⅱ，即冷（熱）水盤管（或表冷器及加熱器），用集中參數(shù)時(shí)間常數(shù)T4和傳遞系數(shù)K4來(lái)表示其熱工特性，另外，對(duì)象Ⅱ的容量滯后也是一個(gè)不可忽略的物理參數(shù)。除了電加熱器外，各種冷、熱盤管以及表冷器和加熱器均有容量滯后。上述參數(shù)都可以利用現(xiàn)場(chǎng)的房間送風(fēng)溫度溫升試驗(yàn)曲線來(lái)測(cè)定。

在自動(dòng)控制的范疇中，空調(diào)系統(tǒng)的控制對(duì)象是由兩個(gè)帶滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的廣義控制對(duì)象，屬于非線性控制系統(tǒng)。如此，則圖1所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式（1）中，K為控制系統(tǒng)的控制增益，τ是對(duì)象滯后的總和。

3 控制器的優(yōu)化PID參數(shù)的求解

由式（1）得出空調(diào)PID控制系統(tǒng)的特征方程：

為了便于分析，把非線性項(xiàng)e-τs用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并取前三項(xiàng)，即：

這樣既可以使被分析的系統(tǒng)得以按線性系統(tǒng)處理，又可以滿足空調(diào)系統(tǒng)PID參數(shù)整定的工程誤差的要求。把e-τs展開(kāi)的前三項(xiàng)代入特征方程（2），略去四次高次方項(xiàng)，把特征方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

由特征方程（3）寫成的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

因?yàn)橄到y(tǒng)參數(shù)均為正實(shí)數(shù)，狀態(tài)矩陣中的元素a、b、c大于0恒成立，A矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)原點(diǎn)x＝0漸近穩(wěn)定，A為穩(wěn)定矩陣，可使積分性能指標(biāo)[2]：

達(dá)極小（式中t大于0，t→0～∞；“”為向量或矩陣轉(zhuǎn)置的記號(hào)；Q為正定或正半定對(duì)稱矩陣，稱為加權(quán)矩陣）。圖1所示系統(tǒng)在外擾量θf(wàn)的作用下，產(chǎn)生初態(tài)偏離：構(gòu)成系統(tǒng)的初始條件，組成待求解狀態(tài)空間方程：則矩陣P可從下面給出的常矩陣?yán)杩ǖ丫仃嚪匠讨星蠼猓?/p>

解矩陣方程（7）得P11，于是性能指標(biāo)：

式（8）的性能指標(biāo)J是式（3）特征方程系數(shù)a、b、c和加權(quán)因子q的函數(shù)，而PID參數(shù)——比例增益Kp、微分時(shí)間Td和積分時(shí)間Ti含在a、b和c中，故分別用J對(duì)K、Td和Ti進(jìn)行求極小值操作即可解出Kp、Td和Ti的優(yōu)化表達(dá)式。

（1）不含τ的線性系統(tǒng)分析

先對(duì)系統(tǒng)對(duì)象滯后τ取0，進(jìn)行不含τ的線性系統(tǒng)分析，則（3）式特征方程系數(shù)：

Kb為由特征方程系數(shù)b和加權(quán)因子q確定的系數(shù)。

把c代回式（8），整理出不含c，只含a和b的性能指標(biāo)J。因?yàn)榉e分時(shí)間Ti含在a中，故可通過(guò)：

式（9）中的加權(quán)因子q尚為未知數(shù)，這里引入一個(gè)PID參數(shù)相互之間進(jìn)行優(yōu)化組合的概念，讓PID控制積分時(shí)間Ti與PD控制進(jìn)行最佳配合。在PD控制中引入包含衰減系數(shù)ξ和自然振蕩角頻率ωn的特征方程：

優(yōu)化PD控制的性能指標(biāo)JPD，求得微分加權(quán)因子：

我們稱用式（12）求出的加權(quán)因子q為積分時(shí)間Ti與PD控制取得最佳配合，即Ti與Td和Kp取得優(yōu)化組合的加權(quán)因子，稱為最佳組合因子。

（2）考慮滯后τ

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，即勞斯—赫爾維茨判據(jù)[2]，特征方程（3）的所有系數(shù)均大于0是保證系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的充分且必要條件。因?yàn)橐阎南到y(tǒng)參數(shù)T1、T4、τ和K1、K2、K3、K4均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)增益K、積分時(shí)間Ti和微分時(shí)間Td的取值范圍必須滿足以下條件[4]：

計(jì)算參數(shù)、由優(yōu)化P過(guò)程求得[4]：

用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)e-τs并取前三項(xiàng)代入PD控制的特征方程，忽略三次方項(xiàng)，用二次型指標(biāo)J將微分時(shí)間Td取極小值的二次方程解為[4]：

再引入優(yōu)化微分加權(quán)因子qd（取a），解二次方程得出計(jì)算參數(shù)：

由特征方程系數(shù)a和b的表達(dá)式和式（9）的積分時(shí)間Ti的表達(dá)式經(jīng)過(guò)恒等變換求出隱含的積分時(shí)間Ti：

式中的加權(quán)因子q用式（12） 計(jì)算。式（15）以及（12）式的b表達(dá)式：

之中的Ti尚為未知數(shù)，因此Ti的計(jì)算就不是單純的公式計(jì)算，而是包含圖2所示流程的迭代計(jì)算過(guò)程，但只要給定一次初始值Ti0，就會(huì)自動(dòng)循環(huán)計(jì)算，直到算出Ti。在給定初始值時(shí)應(yīng)保證系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定要求，即：

滿足上述條件，給定任何值，對(duì)一組K和Td只有一個(gè)Ti，即循環(huán)迭代的結(jié)果是一致收斂的。但Ti0給定得越接近實(shí)際的Ti，迭代次數(shù)就越少，因此建議Ti0取0．7T1。

4 實(shí)際的空調(diào)PID-DDC控制系統(tǒng)的計(jì)算、分析及對(duì)比

圖3所示的空調(diào)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，對(duì)象I為一個(gè)空調(diào)房間，對(duì)象Ⅱ?yàn)殡娂訜崞鳎陔妷簽?80V時(shí)實(shí)測(cè)電功率為8．5kW，電加熱器用可控硅調(diào)壓器調(diào)節(jié)輸出功率，調(diào)壓器輸入信號(hào)為4～20mA，對(duì)應(yīng)輸出為0～8．5kW。風(fēng)機(jī)風(fēng)量不可調(diào)。圖3中的QFPS程序?yàn)橐灾刑峒暗陌l(fā)明專利的核心部分。該程序的作用是給PID控制器提供經(jīng)二次型優(yōu)化的PID參數(shù)，供PID控制器做出控制過(guò)程的優(yōu)化決策。用房間溫度和送風(fēng)溫度溫升試驗(yàn)曲線法測(cè)定的系統(tǒng)參數(shù)如下：

◆ 4:1衰減曲線法的比例加權(quán)因子qp為9，u為19．1904，v為54．8687，增益放大倍，系統(tǒng)增益K為3．5731；

圖2 積分時(shí)間Ti計(jì)算流程框圖

圖3 試驗(yàn)空調(diào)PID-DDC控制系統(tǒng)連接框圖

◆ h 為 4．1735，g 為 15．0243，Td為2．3154（min）；

◆ M 為 10．6448，b 為 0．3681，q 為0．0388，Kb為 4．7389，Ti為 6．5458（min）；

◆ a 為 0．0513，N 為 12．9854，R 為2．5726，c 為 1．2568 ；

◆ 提供給PID控制器的參數(shù)Kp為6．7417，Ki為 0．309，Kd為 52．0324， 理 想PID增量式DDC控制的采樣周期T為18（s）。

為了考驗(yàn)系統(tǒng)的控制性能，將設(shè)定溫度從19℃調(diào)到20℃對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍輸入動(dòng)態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線即圖4中的曲線1。

為了驗(yàn)證二次型在優(yōu)化空調(diào)PID控制系統(tǒng)控制器參數(shù)上的優(yōu)越性，選擇系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)過(guò)程的動(dòng)態(tài)指標(biāo)——最大百分超調(diào)量B、B出現(xiàn)的時(shí)間tp和誤差e不高于±2%的調(diào)整時(shí)間ts，以及0～ts全過(guò)程逐周期采樣的控制器輸出數(shù)字總和∑u（n）、周期數(shù)和全過(guò)程的用電量（kWh）作為比較技術(shù)與經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)二次型優(yōu)化與同類積分型優(yōu)化——時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分ITAE[3]（，衰減系數(shù)ξ為0．707）和誤差平方積分ISE（，qp、qd、q均為1）進(jìn)行技術(shù)與經(jīng)濟(jì)比較。三種方法的PID參數(shù)及技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)見(jiàn)表1，ITAE和ISE的響應(yīng)曲線即圖4中的曲線2、曲線3。

表1 二次型與其他積分型優(yōu)化的技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)比較數(shù)據(jù)表

表1中，T為采樣周期。表1的數(shù)據(jù)與圖4的單位階躍輸入響應(yīng)曲線表明：從技術(shù)數(shù)據(jù)的角度來(lái)看，二次型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)比ITAE和ISE都好，超調(diào)量小，響應(yīng)快，調(diào)整時(shí)間短——也就是說(shuō)，二次型優(yōu)化比其他積分型優(yōu)化都好；從經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的角度來(lái)看，在業(yè)內(nèi)普遍最為關(guān)心的空調(diào)控制節(jié)能效果方面，二次型優(yōu)化比其他積分型優(yōu)化好，比ITAE 節(jié) 能 21．48%，比 ISE 節(jié) 能 44．55%。目前，國(guó)內(nèi)舒適空調(diào)的控制大部分尚未達(dá)到ISE水平。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖4 空調(diào)設(shè)定溫度從19℃調(diào)到20℃的單位階躍響應(yīng)曲線圖

（1）二次型首先是一個(gè)積分型性能指標(biāo)J，可以通過(guò)使性能指標(biāo)J達(dá)極小解決控制器參數(shù)最佳問(wèn)題?？刂破鱌ID參數(shù)隱含在J表達(dá)式（3）中的系統(tǒng)特征方程的系數(shù)a、b、c中，在求解最佳控制器PID參數(shù)的過(guò)程中得到的解都是用數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)化的二次方程的解。因此，求取最佳控制器參數(shù)的過(guò)程才被稱為二次型優(yōu)化。本文介紹的正是二次型在優(yōu)化空調(diào)控制系統(tǒng)控制器PID參數(shù)上的應(yīng)用。

（2）把二次型應(yīng)用到空調(diào)PID控制系統(tǒng)控制器參數(shù)優(yōu)化中，可以借助加權(quán)矩陣Q設(shè)定比例加權(quán)因子qp、微分加權(quán)因子qd和積分加權(quán)因子q，在使性能指標(biāo)J達(dá)極小優(yōu)化的同時(shí)，通過(guò)特征方程的另一種參數(shù)（衰減系數(shù)ξ和自然振蕩角頻率ωn）的表達(dá)方式優(yōu)化加權(quán)因子，把經(jīng)典方法，如4:1衰減曲線法、ξ取0．707、PID控制與PD控制進(jìn)行最佳匹配的優(yōu)化組合等綜合進(jìn)去，達(dá)到雙重及多重優(yōu)化的效果。因此，本文優(yōu)化PID參數(shù)的方法應(yīng)稱為二次型組合優(yōu)化法。

（3）從表1數(shù)據(jù)和圖4展示出的二次型優(yōu)化與其他積分型優(yōu)化方法（ITAE和ISE）的響應(yīng)曲線在控制質(zhì)量（包括最大百分超調(diào)量B、B出現(xiàn)的時(shí)間tp和e不高于±2%的調(diào)整時(shí)間ts）上的對(duì)比中可以看出，ITAE和ISE的共同特點(diǎn)是欲降低超調(diào)量B卻延長(zhǎng)了調(diào)整時(shí)間ts（如ITAE，即圖4曲線2），欲縮短調(diào)整時(shí)間ts卻加大了超調(diào)量B，并且由于B的加大引起了振蕩，反過(guò)來(lái)又延長(zhǎng)了調(diào)整時(shí)間ts（如ISE，即圖4曲線3） ——超調(diào)量B和調(diào)整時(shí)間ts成了一對(duì)互相矛盾的品質(zhì)指標(biāo)。而二次型組合優(yōu)化則既降低了超調(diào)量B又縮短了調(diào)整時(shí)間ts（控制效果見(jiàn)圖4曲線1），使這一對(duì)互相矛盾的品質(zhì)指標(biāo)統(tǒng)一了起來(lái)。用制冷空調(diào)的數(shù)據(jù)分析會(huì)得到同樣的結(jié)論。二次型組合優(yōu)化的優(yōu)化效果是其他積分型優(yōu)化方法所不可替代的。對(duì)本文算例及另外20多個(gè)制冷空調(diào)二次型組合優(yōu)化的例子計(jì)算統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示二次型優(yōu)化系統(tǒng)的單位階躍輸入響應(yīng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)——最大百分超調(diào)B不大于15%，B出現(xiàn)的時(shí)間tp小于15min，e不高于±2%的調(diào)整時(shí)間ts不長(zhǎng)于30min；且各例的節(jié)能效果都在11%及以上。這說(shuō)明二次型優(yōu)化確是一種新型的，既可提高控制質(zhì)量，又可節(jié)約空調(diào)能量的優(yōu)化方法。

（4）本文介紹的優(yōu)化PID參數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算過(guò)程比較繁復(fù)。因此，筆者為了簡(jiǎn)化計(jì)算，開(kāi)發(fā)了以利用本文的公式計(jì)算得到的優(yōu)化PID參數(shù)為真值，以τ與T1、T4之和的比值為主相關(guān)值，用數(shù)學(xué)歸納法歸納出的，既保留二次型組合優(yōu)化的特性，又簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程的，新的計(jì)算優(yōu)化PID參數(shù)的公式（參見(jiàn)引言中提及的發(fā)明專利）。它們特別適合于恒溫室空調(diào)控制，也可應(yīng)用于恒溫冷庫(kù)的PID控制，如用于一般舒適空調(diào)系統(tǒng)控制，可設(shè)定在加權(quán)因子q取1，即上述ISE積分優(yōu)化控制的狀態(tài)下。

1 王錦標(biāo)，方崇智．過(guò)程計(jì)算機(jī)控制[M]．清華大學(xué)出版社，1992．

2 緒方勝?gòu)F(xiàn)代控制工程[M]．盧伯英等譯．科學(xué)出版社，1980．

3 欣內(nèi)爾斯S．M．．現(xiàn)代控制系統(tǒng)理倫及應(yīng)用[M]．李育才譯．機(jī)械工業(yè)出版社，1979．

4 陳之啟．基于二次型優(yōu)化空調(diào)PID-DDC系統(tǒng)控制器參數(shù)．控制工程，2005（2）：112-115．