蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作

朱 雷,包伯成,卜沛霞,喬曉華

(江蘇技術(shù)師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院,江蘇常州 213001）

蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作

朱 雷,包伯成,卜沛霞,喬曉華

(江蘇技術(shù)師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院,江蘇常州 213001）

本文以一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典蔡氏電路作為電子技術(shù)綜合實(shí)訓(xùn)的實(shí)驗(yàn)制作電路,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行工作原理分析、狀態(tài)方程建模、數(shù)值仿真、運(yùn)算放大器形式的蔡氏二極管等效電路設(shè)計(jì),以及實(shí)驗(yàn)觀察。蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作可以讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的電路中觀察到豐富的非線性物理現(xiàn)象,可以鞏固學(xué)生對(duì)已學(xué)內(nèi)容的理解。

綜合實(shí)訓(xùn);蔡氏電路;混沌

0 引言

蔡氏電路是一種非線性混沌電路[1-3],它是以美國加州大學(xué)伯克利分校蔡少棠的姓命名的。蔡氏電路只含有四個(gè)基本元件和一個(gè)非線性電阻,實(shí)驗(yàn)電路制作簡(jiǎn)單。通過對(duì)一個(gè)電阻的調(diào)節(jié),便可從電路中觀察到周期極限環(huán)、單渦旋和雙渦旋混沌吸引子的非線性物理現(xiàn)象。因此,蔡氏電路已成為在數(shù)學(xué)和物理實(shí)驗(yàn)方面演示混沌現(xiàn)象的一個(gè)范例。

近兩年來,匈牙利學(xué)者Gandhi等[4]和Bilotta等[5]人把長(zhǎng)期只有學(xué)者們關(guān)注的混沌這一富有挑戰(zhàn)性的主題,延伸到了高中學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。他們分別組織高年級(jí)學(xué)生,進(jìn)行蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作,觀察電路產(chǎn)生的復(fù)雜混沌現(xiàn)象,使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力有了很大的提升。

電子信息工程類專業(yè)學(xué)生在本科學(xué)習(xí)階段進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)觀察,大多是基于電參數(shù)(電壓和電流)變量關(guān)于時(shí)間的二維平面觀察,尚未開展過基于兩個(gè)參數(shù)變量關(guān)于時(shí)間的三維空間觀察。學(xué)生在四年本科課程完成后還不清楚兩個(gè)正弦參數(shù)變量的相軌圖是怎樣的。因此,有必要在本科學(xué)習(xí)期間增加蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作這一電子技術(shù)綜合實(shí)訓(xùn)課程,讓學(xué)生建立起空間觀察概念,并對(duì)電路的非線性現(xiàn)象有一定的了解。筆者在部分電子信息工程類專業(yè)學(xué)生的電子技術(shù)綜合實(shí)訓(xùn)中開設(shè)了蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作課程,指導(dǎo)學(xué)生圓滿地完成了該課程內(nèi)容的學(xué)習(xí),獲得了令人滿意的結(jié)果。

1 電路分析、建模和仿真

1.1 電路原理與數(shù)學(xué)建模

蔡氏電路由一個(gè)電感、兩個(gè)電容、一個(gè)電阻和一個(gè)非線性電阻組成,如圖1(a)所示。電路中電感L和電容C2構(gòu)成了一個(gè)LC振蕩電路,非線性電阻RN和電容C1并聯(lián)后通過一個(gè)電阻R和振蕩電路線性耦合在一起,形成了只有5個(gè)元件的能夠產(chǎn)生復(fù)雜混沌現(xiàn)象的非線性電路。圖1(b)是RN的伏安特性。

圖1 蔡氏混沌電路和蔡氏二極管的VCR

蔡氏電路有三個(gè)動(dòng)態(tài)元件,分別是電容C1、C2和電感L,對(duì)應(yīng)的三個(gè)狀態(tài)變量是電容兩端的電壓v1和v2,流過電感的電流 i L。根據(jù)電阻、電容和電感的元件伏安特性(即VCR),應(yīng)用基爾霍夫電壓、電流定律(KV L和KCL),可以導(dǎo)出基于這三個(gè)狀態(tài)變量的微分方程組:

式中,f(v1)是描述蔡氏二極管R N(非線性電阻)的伏安特性,r是電感的寄生電阻值(圖中沒有畫出)。

一般的蔡氏二極管是一個(gè)具有分段線性函數(shù)形式的非線性負(fù)阻,其伏安特性表達(dá)式為式中,Ga是內(nèi)區(qū)間電導(dǎo),G b是外區(qū)間電導(dǎo),Bp是內(nèi)外區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)電壓。

微分方程組式(1)是蔡氏電路的數(shù)學(xué)模型,它是一個(gè)三維連續(xù)自治混沌系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中,在第一方程中有一個(gè)非線性項(xiàng),因此它是一個(gè)非線性系統(tǒng)。已有大量文獻(xiàn)對(duì)式(1)進(jìn)行了無量綱處理,得到了只有三個(gè)控制參數(shù)的三維系統(tǒng)方程,稱之為蔡氏電路方程。

1.2 數(shù)值仿真分析

利用Matlab仿真軟件平臺(tái),可以對(duì)由式(1)描述的系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。這里,選擇ODE45算法對(duì)系統(tǒng)方程求解,很容易獲得蔡氏電路狀態(tài)變量的相軌圖和時(shí)域波形圖。

固定電路參數(shù)C1=10 nF,C2=100 nF,L=17.2 mH,r=0.5Ψ,G a=-757.58μS,G b=-409.09 μS和 B p=1.075 V,選擇電阻值 R可變,數(shù)值仿真可得到在不同R時(shí)蔡氏電路的運(yùn)行狀態(tài),如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)顯示了蔡氏電路在電阻R=1.96 kΨ和R=1.945 kΨ時(shí)對(duì)應(yīng)的周期1和周期2極限環(huán),這里初始狀態(tài)均為(0.1,0.1,-0.001);圖2(c)和圖2(d)則示出了在電阻R=1.91 kΨ時(shí)分別對(duì)應(yīng)于初始狀態(tài)(0.1,0.1,-0.001)和(0.1,0.1,0.001)時(shí)共存的單渦卷左、右混沌吸引子。

圖2 蔡氏電路運(yùn)行狀態(tài)

當(dāng)電阻R=1.57 kΨ時(shí),蔡氏電路可生成一個(gè)典型的雙渦卷混沌吸引子,如圖3(a)所示,所對(duì)應(yīng)的時(shí)域波形如圖3(b)所示。數(shù)值仿真結(jié)果表明,隨著電阻R逐漸降低,蔡氏電路的運(yùn)行狀態(tài)經(jīng)歷了從最初的一個(gè)漸近穩(wěn)定點(diǎn)、周期振蕩、諧波振蕩到單渦卷混沌振蕩和雙渦卷混沌振蕩的過程,最終趨于無窮發(fā)散。在這演變過程中,在出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子之前,周期極限環(huán)和單渦卷混沌吸引子在相平面上所處的象眼位置取決于電感電流初始值的正負(fù)符號(hào)。符號(hào)為正為右吸引子或右極限環(huán);符號(hào)為負(fù)為左吸引子或左極限環(huán)。

圖3 典型混沌吸引子及其時(shí)域波形

2 設(shè)計(jì)制作和實(shí)驗(yàn)觀察

2.1 蔡氏二極管等效電路設(shè)計(jì)

非線性元件(蔡氏二極管)是蔡氏電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的重要元件,可采用多種方式實(shí)現(xiàn),一種較為簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)電路如圖4所示。圖中,R N是由兩個(gè)運(yùn)算放大器和六個(gè)電阻組成的等效電路實(shí)現(xiàn)的,可看成是兩個(gè)非線性電阻RN1和RN2并聯(lián)而成。利用運(yùn)算放大器的輸出飽和電壓特性,可實(shí)現(xiàn)由式(2)描述的等效電路伏安關(guān)系[6]。

圖4 蔡氏二極管等效電路實(shí)現(xiàn)和運(yùn)算放大器傳遞特性

這里,以非線性電阻R N1的等效電路實(shí)現(xiàn)分析為例,設(shè)E sat是運(yùn)算放大器的飽和電壓,并令R1=R2,經(jīng)推導(dǎo)得

由式(3)可以畫出R N1的伏安關(guān)系曲線如圖5所示,它是一條形似于N型的具有非線性負(fù)阻區(qū)域的特性曲線。

同樣地,令R4=R5,可以得到描述非線性電阻R N2的關(guān)系式:

圖5 R N1的VCR

兩個(gè)非線性電阻RN1和RN2并聯(lián)后,構(gòu)成了一個(gè)具有五段分段線性函數(shù)形式的非線性電阻。與式(2)作比較,由圖4(a)等效電路實(shí)現(xiàn)的蔡氏二極管的電路參數(shù)為

2.2 電路制作和實(shí)驗(yàn)觀察

在實(shí)際制作調(diào)試圖4所示的蔡氏電路過程中,可以分如下步驟進(jìn)行。

首先,選定型號(hào)TL082CP集成運(yùn)算放大器,工作電源設(shè)定為±9V。選擇R1=R2=220Ψ,R4=R5=22kΨ,R3=2.2kΨ,R6=3.3kΨ。由式(5)可計(jì)算得 Ga=-757.58μS,Gb=-409.09μS 。實(shí)驗(yàn)測(cè)得Esat≈7.5V,計(jì)算得到B p≈1.075V。選用上述給定值的誤差范圍為±1%的精密電阻元件,就可以實(shí)現(xiàn)蔡氏二極管功能的非線性電阻RN。

為了實(shí)現(xiàn)圖1所示的電路元件,我們自行繞制電感線圈,經(jīng)測(cè)試電感值L≈17.2mH,電感線圈的寄生電阻r=0.5Ψ;選擇兩只精度較高的獨(dú)石電容,電容值分別為C1=10nF,C2=100nF;另選擇一只阻值可調(diào)的精密電位器R,用于實(shí)驗(yàn)觀察時(shí)調(diào)節(jié)電阻值。

實(shí)驗(yàn)觀察設(shè)備采用泰克雙通道數(shù)字示波器,通道1測(cè)試圖1(a)電路中電容C1端電壓V1,通道2測(cè)試電容C2端電壓V2。在電位器調(diào)節(jié)到不同阻值時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)輸出的相軌圖如圖6所示。當(dāng)電位器阻值R=1.58kΨ時(shí),在示波器上可分別觀察到蔡氏電路所產(chǎn)生的混沌吸引子及其兩路時(shí)域波形圖,如圖7所示。

由于分立元器件的離散性以及儀器的測(cè)量誤差等,實(shí)驗(yàn)中蔡氏電路不同的運(yùn)行狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的電位器阻值與上述數(shù)值仿真時(shí)所選取的電阻值略有差異,但兩者運(yùn)行狀態(tài)的演變趨勢(shì)一致。

圖6 蔡氏電路運(yùn)行狀態(tài)

圖7 混沌吸引子及其時(shí)域波形實(shí)驗(yàn)輸出

3 結(jié)語

本文介紹的蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)制作包含了電子信息工程類專業(yè)課程的重要內(nèi)容,把它作為電子技術(shù)實(shí)訓(xùn)內(nèi)容可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解專業(yè)課程內(nèi)容有著啟迪意義,有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力和科技創(chuàng)新思維。

三階蔡氏電路是一個(gè)三維混沌系統(tǒng),所產(chǎn)生的非線性物理現(xiàn)象與普遍存在于自然界的具有“蝴蝶效應(yīng)”的混沌現(xiàn)象是完全一致的。由于非線性電路產(chǎn)生的混沌信號(hào)已在信息工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[7]。因此,熟悉一定的非線性電路與系統(tǒng)的理論并了解混沌信號(hào)的具體產(chǎn)生電路和應(yīng)用領(lǐng)域,對(duì)學(xué)生今后從事技術(shù)開發(fā)工作有一定的作用。

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Experimental Implementation of Chua's Circuit

ZHU Lei,BAO Bo-cheng,BU Pei-xia,QIAO Xiao-hua

(Schoolo f E lectrica l and In formation Eng ineering,Jiangsu Teachers University o f Technology,Changzhou 213001,Ch ina)

Regarding a sim ple classic Chua's circuitas an experiment circuit ofelectronic technology comprehensive training,students are guided to perform operating p rincip le analysis,state differential equation modeling,numerical simulation,equivalent circuit design of Chua's diodew ith operationalamp lifier form,and experimentalobservations.Chua's circuit experiments can letstudentsobserve abundantnonlinear phenomena from the simp le circuit,and the understanding of the students to the already learned contents is further consolidated.

comprehensive training;Chua's circuit;chaos

G424;TN 702;TN 752

B

1008-0686(2011)02-0078-04

2010-08-12;

2010-12-23 基金項(xiàng)目:江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):BK 2009105)

朱 雷(1979-),男,碩士,講師,主要從事非線性電路與系統(tǒng)的研究,E-m ail:dxzl@jstu.edu.cn

包伯成(1965-),男,博士,研究員,主要從事混沌信息動(dòng)力學(xué)、非線性電路與系統(tǒng)的研究,E-mail:mervinbao@126.com

卜沛霞(1989-),女,本科生,研究方向?yàn)榉蔷€性電路與系統(tǒng),E-mail:s08314101@smail.jstu.edu.cn

喬曉華(1960-),男,學(xué)士,教授,主要從事非線性電路與系統(tǒng)的研究,E-m ail:ahqxh@126.com