圓錐曲線焦點弦的新視角

玉邴圖

(廣南縣第一中學，云南廣南663300)

經(jīng)過圓錐曲線焦點且被圓錐曲線截得的線段叫做圓錐曲線焦點弦。它是一個非常重要的幾何量，也是高考的重點和熱點，長考不衰，視角常變，題型多姿多彩，可謂考試長青樹。此類題型，涉及知識面廣，前幾年的高考或競賽題型僅僅與弦的傾斜角或斜率有關(guān)，而近兩年來，視角更寬闊了，常常將向量的有關(guān)知識與焦點弦傾斜角、長度以及圓錐曲線離心率聯(lián)系起來，且有一定難度，作為高考解析幾何壓軸題，旨在考查考生的邏輯推理能力和的綜合運算能力，此類題考生失分嚴重。故值得我們深入總結(jié)和分析研究，為此，本文介紹圓焦點弦的一些向量性質(zhì)，并說明它們的應(yīng)用，供讀者參考。

對于焦點弦長度與斜率或傾斜角的關(guān)系，文獻［1］介紹了如下結(jié)論。

引理 過橫向型圓錐曲線焦點F作斜率是k或傾斜角為θ的弦AB，離心率是e，焦點到相應(yīng)準線的距離為p，則

如果從共線向量的角度研究，可得到如下的重要結(jié)論。

定理1 經(jīng)過橫向型圓錐曲線焦點F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點到相應(yīng)準線的距離為p，若，(對于橢圓、拋物線和A，B兩點在雙曲線同一分支上時，與方向相反，λ＜0;對于A，B兩點在雙曲線的兩個分支上時，與方向相同，λ＞0)，則

證明 設(shè)E是與焦點F相應(yīng)的準線和對稱軸的交點，不妨以有向直線EF所在直線為x軸，F(xiàn)為原點建立直角坐標系，則焦點為F(0，0)，直線AFB的方程為y=kx (1)

①設(shè)P(x，y)是圓錐曲線上的一點，它到準線的距離為d，則由圓錐曲線定義知|PF|=ed，由此可得圓錐曲線方程為

設(shè) A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，因為 F(0，0)，則由條件和方程(1)得

如果從向量數(shù)量積的角度研究，可得到如下的重要結(jié)論。

定理2 經(jīng)過橫向型圓錐曲線焦點F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點到相應(yīng)準線的距離為p，若，(對于橢圓、拋物線和A，B兩點在雙曲線的同一分支上時，方向相反，λ＜0;A，B兩點在雙曲線的兩個分支上時，與方向相同，λ＞0)則

將方程(3)的兩根之積代入(6)化簡得

由定理1和定理2，又可得到如下有趣的結(jié)論。

定理3 AB是經(jīng)過橫向型圓錐曲線焦點F的弦，e是離心率，焦點到相應(yīng)準線的距離為p，若

證明 設(shè)弦AB的傾斜角為θ，則由題意及定理1①和定理2①得

定理4 經(jīng)過橫向型圓錐曲線焦點F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點F到相應(yīng)準線L的距離為p，L與對稱軸的交點為E，若EA和EB的斜率之積為λ，則

證明 不妨以有向直線EF所在直線為x軸，F(xiàn)為原點建立直角坐標系，則焦點為F(0，0)，直線AFB的方程為

設(shè)P(x，y)是圓錐曲線上的一點，它到準線的距離為d，則由圓錐曲線定義知|PF|=ed，由此可得圓錐

曲線方程為

設(shè) A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，因為 E(－ p，0)，則由題意得

下面我們看這幾個定理的應(yīng)用。

例3(2008年高考全國卷Ⅱ第16題)F是拋物線y2=4x的焦點，經(jīng)過F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，求的值。

解 因為e=1，tanθ=k=1，即θ=450，由定理1①得或為所求。

解(1)因為θ=600，λ =－2，由定理1①得。因為(不合題意，舍去)，所以橢圓的離心率

［1］ 玉邴圖.一個換算關(guān)系的完善［J］．數(shù)學通報，2002，(2):21．