塊廣義?-對(duì)角占優(yōu)矩陣

蔣建新

(文山學(xué)院數(shù)理系，云南文山663000)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) Cn×n(Rn×n)分別是復(fù)(實(shí))矩陣的集合，N={1，2，…，n} ，K={1，2，…，k} 。

其中Aii為ri階方陣，且Aii非奇異。在實(shí)際問題中Aii是稀疏的且很多是零矩陣。

定義1［1］常用的三種誘導(dǎo)矩陣范數(shù):1－范數(shù)(列和范數(shù)，A的每一列元素絕對(duì)值之和的最大值)。2－范數(shù):‖A‖2=σ1，其中σ1是A的最大奇異值，即A*A的最大特征值的非負(fù)平方根?！?－范數(shù)(行和范數(shù)，A的每一行元素絕對(duì)值之和的最大值)。

定義2［1］設(shè)B=(bij)=(‖Aij‖)k×k不可約，則稱A為塊不可約，這里‖·‖是誘導(dǎo)矩陣范數(shù)。

定義 3［1］設(shè)則稱 T(A) 為 A 的塊比較矩陣。

定義4［1］若則稱A為塊對(duì)角占優(yōu)矩陣記為A∈BD;若都是嚴(yán)格不等式，則稱A為塊嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣記為A∈BSD。

定義 5［1］若存在 x=(x1，x2，…，xk)T＞ 0，使得 xi‖A－1ii‖－1＞ ∑j≠ixj‖Aij‖ ，i=1，…，k，則稱 A 為塊H－矩陣，記為A∈BH。

引理1［1］BSD?BD?BH。塊H－矩陣包括許多子類，例如下面引理中的矩陣。

引理2［1］若A∈BD是不可約的，并且至少存在一個(gè)嚴(yán)格不等式(稱A是塊不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣)，則A是非奇異塊H－矩陣。

引理3［1］若，存在一個(gè)非零元素鏈‖Aii1‖，‖Ai1i2‖，…，‖Airi*‖，i≠i1，i1≠i2，…，ir≠i*，i*∈J(A)，則A是非奇異塊H －矩陣。

2 塊廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣和塊H－矩陣

定義6 設(shè)A=(aij)∈Cn×n分塊如(1)，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對(duì)?? ∈［0，1］，當(dāng)

成立則稱A為塊廣義?—嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定理1 若A是塊廣義?—嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。時(shí)，有

證明:令

(1)當(dāng)i∈K1時(shí)

(2)當(dāng) j∈ K2時(shí)

定義7 設(shè)A=(aij)∈Cn×n是形如(1)的塊不可約矩陣，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對(duì)??

綜上可知時(shí)，有

成立，且(4)式中至少有一行嚴(yán)格成立，則稱A為不可約塊廣義?—對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定理2 若A是不可約塊廣義?—對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。

證明:設(shè)Gi，gj如定理1證明中的定義，類似于定理1的證明

且在(5)式中至少存在一個(gè)嚴(yán)格不等式，則

因?yàn)锳不可約，則存在‖Ajt‖≠0，i∈K1，j∈K2，所以l＞0。

設(shè) X=diag(xk:xk=dk(A)，k∈ K1;xk=l，k∈ K2)

令C=T(A)X=(cij)，則

(1)當(dāng)i∈K1時(shí)

(2)當(dāng) j∈ K2時(shí)

定義7 設(shè)A=(aij)∈Cn×n是形如(1)的分塊，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有

成立，且 ?i∈ {j1，…，jk} ∪ {i1，…，il}，存在非零元素鏈 ‖Air1‖ ，‖Ar1r2‖ ，…，‖Ar，r*‖ ，其中 i≠ r1，r1≠r2，…r≠ i*，i*∈ (K1－ {i1，i2，…，il}) ∪ (K2－ {j1，…，jk}) ≠ ? ，

(Gi，gj的定義類似于定理1的證明中的定義)，則稱A為塊廣義?-非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定理3 若A是塊廣義?-非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。

令 X=diag(xk:xk=dk(A)，k∈ K1;xk=l，k∈ K2) ，

設(shè)C=T(A)X=(cij)，當(dāng)i∈{j1，…，jk}，由(8)式和gi(i∈K2)的定義知

當(dāng) i∈{i1，…，il}時(shí)，由(8)式和Gi(i∈K1)的定義知

當(dāng)i∈(K1－{i1，i2，…，il})∪(K2－{j1，…，jk})，相似于定理1的證明知，即C是塊非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，則由引理2知，C是非奇異H－矩陣，即A是非奇異塊H－矩陣。

［1］ 黃庭祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用［M］，北京:科學(xué)出版社，2006:1－4.

［2］ Ting－zhu Huang，Chang－xian Xu.Generalized? －Diagonal Do minance［J］．Computers and Mathematics with Applications 45 2003:1721－1727.