組合法在電磁學中的巧用

趙強 劉俊娟

(石家莊機械化步兵學院 河北 石家莊 050083)

電磁學中的計算在根本上帶有組合特點.由于電磁場的可疊加性，因此在計算各種電場、磁場時，可先將場源的基本關系進行組合，以求得最簡便的處理過程.

將各種場源看作是點電荷、電流元的集合，當然是最基本的思路.但如果能夠熟悉一些簡單的典型場源所產(chǎn)生的場，如電偶極子、“無限長”均勻帶電系統(tǒng)或電流系統(tǒng)，將場源看作是這些典型情況的直接組合，則不必再從頭算起.這好像搭積木，一要熟悉基本構件，二要善于靈活組裝.特別是，在組合場源時可以虛實并用.

圖1

例如，在安培環(huán)路定理的證明中，如果電流回路與積分回路是絞套的(圖1)，則可設想在c與f之間虛構一對強度為I的往返電流.這樣，絞套的電流就轉化為兩個簡單相套的電流，立即得出

∮LB·dl=2μ0I

這種虛實組合的方法，在電磁學里頗為有用，非常類似于平面幾何證明題中添加輔助線的辦法.只是這里是虛構，且在物理上應該是合理的，一般說來，不應該由虛構而破壞原有的物理狀態(tài).

現(xiàn)結合各種具體情況應用上述的組合方法,其中用無限遠處作為“中轉站”，做組合運算.

1 兩金屬球的互電容

【例1】兩個半徑都是a的金屬球，球心相距d?a(圖2)，求二者之間的互電容.

圖2

解析：為了便于比較，采用兩種計算方法.

(1) 常規(guī)計算

設兩球分別帶電±Q，由于d?a，作為低級近似，可以認為這些電荷在各自的球面上均勻分布.于是，在球外中心聯(lián)線上的任一點p(x)，其場強方向都是沿x軸，場強大小為

而兩球之間的電勢差

由此即得所求的互電容為

(2)組合計算

以上計算假定各個球面上的電荷是均勻分布的，因此可以認為它們相距“無窮遠”；所求電容是兩個孤立小球電容串聯(lián)，即

故

C=2πε0a

這里，將“無窮遠”處作為一個中間的“聯(lián)絡站”.顯然，組合計算比常規(guī)計算簡潔得多.

2 內(nèi)球接地的電容器

【例2】兩同心金屬球殼，殼厚可略；球殼半徑R2>R1，若內(nèi)球接地，求球殼之間的電容.

解析：所謂“接地”，是設法用極細、極長的導線與球外的地相連，而地是在“無窮遠”處.當這個電容器充電時，兩級之間的電勢差U21即為外球殼與“無窮遠”處之間的電勢差U2∞.此時，不僅兩極之間有電場分布，而且外球殼與“無窮遠”之間也有電場分布.

于是，在這兩個球殼之間并聯(lián)著兩個電容，即

所要求的電容，應該是它們的組合電容C.顯然

3 動生電動勢

【例3】一半圓形金屬框，繞豎直軸以角速度ω均勻旋轉，如圖3(a)所示，穩(wěn)恒磁場B是均勻的，且垂直圖面向外.設半圓框的半徑為R，求框的兩個端點a，b之間的電勢差.

解析：如果直接應用動生電動勢的“切割磁感線”公式計算，則空間關系較繁瑣，容易出錯.為了能夠運用法拉第電磁感應定律，可以在a，b之間虛構一條直導線，如圖3(b)所示，從而構成閉合的半圓形回路.由于虛設的直導線ab在外磁場里是靜止不動的，因此，閉合回路中的總感應電動勢，仍然是原來半圓形金屬框的動生電動勢.

圖3

按照圖3(b)所選擇的回路正方向，當外磁場B與半圓面夾角為φ時，B在半圓面上提供的磁通量為

于是，感應電動勢

因為線段ab是虛設的，實際上半圓形金屬框并不閉合，其中的感應電流為零(框內(nèi)的自由電子迅速地達成平衡)，故所求的電勢差

通過以上的例題分析可知，組合法在電磁學中的應用很廣泛.掌握了這種方法使得解題過程既簡便又快捷，而且可以提高分析問題和解決問題的能力.

參考文獻

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