組合法在電磁學(xué)中的巧用

趙強(qiáng) 劉俊娟

(石家莊機(jī)械化步兵學(xué)院 河北 石家莊 050083)

電磁學(xué)中的計(jì)算在根本上帶有組合特點(diǎn).由于電磁場(chǎng)的可疊加性，因此在計(jì)算各種電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)，可先將場(chǎng)源的基本關(guān)系進(jìn)行組合，以求得最簡(jiǎn)便的處理過程.

將各種場(chǎng)源看作是點(diǎn)電荷、電流元的集合，當(dāng)然是最基本的思路.但如果能夠熟悉一些簡(jiǎn)單的典型場(chǎng)源所產(chǎn)生的場(chǎng)，如電偶極子、“無限長(zhǎng)”均勻帶電系統(tǒng)或電流系統(tǒng)，將場(chǎng)源看作是這些典型情況的直接組合，則不必再?gòu)念^算起.這好像搭積木，一要熟悉基本構(gòu)件，二要善于靈活組裝.特別是，在組合場(chǎng)源時(shí)可以虛實(shí)并用.

圖1

例如，在安培環(huán)路定理的證明中，如果電流回路與積分回路是絞套的(圖1)，則可設(shè)想在c與f之間虛構(gòu)一對(duì)強(qiáng)度為I的往返電流.這樣，絞套的電流就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單相套的電流，立即得出

∮LB·dl=2μ0I

這種虛實(shí)組合的方法，在電磁學(xué)里頗為有用，非常類似于平面幾何證明題中添加輔助線的辦法.只是這里是虛構(gòu)，且在物理上應(yīng)該是合理的，一般說來，不應(yīng)該由虛構(gòu)而破壞原有的物理狀態(tài).

現(xiàn)結(jié)合各種具體情況應(yīng)用上述的組合方法,其中用無限遠(yuǎn)處作為“中轉(zhuǎn)站”，做組合運(yùn)算.

1 兩金屬球的互電容

【例1】?jī)蓚€(gè)半徑都是a的金屬球，球心相距d?a(圖2)，求二者之間的互電容.

圖2

解析：為了便于比較，采用兩種計(jì)算方法.

(1) 常規(guī)計(jì)算

設(shè)兩球分別帶電±Q，由于d?a，作為低級(jí)近似，可以認(rèn)為這些電荷在各自的球面上均勻分布.于是，在球外中心聯(lián)線上的任一點(diǎn)p(x)，其場(chǎng)強(qiáng)方向都是沿x軸，場(chǎng)強(qiáng)大小為

而兩球之間的電勢(shì)差

由此即得所求的互電容為

(2)組合計(jì)算

以上計(jì)算假定各個(gè)球面上的電荷是均勻分布的，因此可以認(rèn)為它們相距“無窮遠(yuǎn)”；所求電容是兩個(gè)孤立小球電容串聯(lián)，即

故

C=2πε0a

這里，將“無窮遠(yuǎn)”處作為一個(gè)中間的“聯(lián)絡(luò)站”.顯然，組合計(jì)算比常規(guī)計(jì)算簡(jiǎn)潔得多.

2 內(nèi)球接地的電容器

【例2】?jī)赏慕饘偾驓?，殼厚可略；球殼半徑R2>R1，若內(nèi)球接地，求球殼之間的電容.

解析：所謂“接地”，是設(shè)法用極細(xì)、極長(zhǎng)的導(dǎo)線與球外的地相連，而地是在“無窮遠(yuǎn)”處.當(dāng)這個(gè)電容器充電時(shí)，兩級(jí)之間的電勢(shì)差U21即為外球殼與“無窮遠(yuǎn)”處之間的電勢(shì)差U2∞.此時(shí)，不僅兩極之間有電場(chǎng)分布，而且外球殼與“無窮遠(yuǎn)”之間也有電場(chǎng)分布.

于是，在這兩個(gè)球殼之間并聯(lián)著兩個(gè)電容，即

所要求的電容，應(yīng)該是它們的組合電容C.顯然

3 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

【例3】一半圓形金屬框，繞豎直軸以角速度ω均勻旋轉(zhuǎn)，如圖3(a)所示，穩(wěn)恒磁場(chǎng)B是均勻的，且垂直圖面向外.設(shè)半圓框的半徑為R，求框的兩個(gè)端點(diǎn)a，b之間的電勢(shì)差.

解析：如果直接應(yīng)用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的“切割磁感線”公式計(jì)算，則空間關(guān)系較繁瑣，容易出錯(cuò).為了能夠運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律，可以在a，b之間虛構(gòu)一條直導(dǎo)線，如圖3(b)所示，從而構(gòu)成閉合的半圓形回路.由于虛設(shè)的直導(dǎo)線ab在外磁場(chǎng)里是靜止不動(dòng)的，因此，閉合回路中的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，仍然是原來半圓形金屬框的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).

圖3

按照?qǐng)D3(b)所選擇的回路正方向，當(dāng)外磁場(chǎng)B與半圓面夾角為φ時(shí)，B在半圓面上提供的磁通量為

于是，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

因?yàn)榫€段ab是虛設(shè)的，實(shí)際上半圓形金屬框并不閉合，其中的感應(yīng)電流為零(框內(nèi)的自由電子迅速地達(dá)成平衡)，故所求的電勢(shì)差

通過以上的例題分析可知，組合法在電磁學(xué)中的應(yīng)用很廣泛.掌握了這種方法使得解題過程既簡(jiǎn)便又快捷，而且可以提高分析問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)

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