基于響應面的大型輸電塔結構有限元模型動力修正

程霄翔，費慶國，何頂頂，韓曉林

(東南大學 土木工程學院，南京 210096)

基于響應面的大型輸電塔結構有限元模型動力修正

程霄翔，費慶國，何頂頂，韓曉林

(東南大學 土木工程學院，南京 210096)

針對基于靈敏度分析的有限元模型動力修正方法計算效率較低、迭代收斂慢的不足，將響應面法引入500 kV大跨越輸電塔基準模型修正。選擇塔腳彈性支承剛度為修正參數(shù)，依次進行單因素試驗、樣本值計算、響應面建立與分析、參數(shù)優(yōu)化。修正后，有限元模型非常準確地復現(xiàn)了單塔橫、縱兩個方向的一階彎曲動態(tài)特性，修正效果與基于靈敏度分析的模型修正方法接近，證明響應面法在有限元模型動力修正領域的應用價值。還探討了塔架結構修正參數(shù)的選取問題，為相關研究提供參考。

模型修正;響應面法;大型輸電塔;參數(shù)選取;動態(tài)特性

有限元模型修正是一個通過逐步修正模型參數(shù)使得有限元計算結果與測試值盡可能接近的迭代優(yōu)化過程，目前針對大型工程結構的有限元模型修正通常基于靈敏度分析。對單元數(shù)目眾多的結構模型修正，如采用基于靈敏度分析的方法，每次迭代都要調(diào)用有限元程序求解高維非線性方程，計算量大。

針對通常模型修正方法的不足，費慶國等將響應面法引入模型修正領域，通過修正GARTEUR飛機模型驗證了該方法的有效性［1］。響應面模型修正法的主要步驟為:① 利用試驗設計方法在參數(shù)的設計空間內(nèi)確定樣本點，在樣本點上進行有限元分析計算獲得樣本數(shù)據(jù);② 基于方差分析在整個設計空間篩選對于特征量有顯著影響的設計參數(shù);③ 以顯式響應面模型逼近特征量與設計參數(shù)間的復雜隱式函數(shù)關系;④ 在等效模型的基礎上進行設計參數(shù)的優(yōu)化。整個修正過程避免了有限元計算，提高了效率。任偉新等基于響應面法修正橋梁結構模型，亦獲良好效果［2］。

大型輸電塔為高聳柔性結構，塔體構成復雜、不確定性參數(shù)比較多。理想設計狀態(tài)的塔模型較實際工程往往存在偏差，不能滿足結構健康監(jiān)測及安全評估需要。為了深入開展輸電塔基準模型的修正研究，必須選擇合適的修正方法。并加以驗證。本文將響應面法引入大型輸電塔有限元橫型修正，以某高度131 m的新建500 kV大跨越輸電塔為工程背景，詳細介紹了該塔面向結構健康監(jiān)測的基準有限元模型的修正過程。

1 初始塔模型的模態(tài)分析

研究以某500 kV大跨越輸電塔為工程背景。該塔為SKT直線跨越塔，整塔設計高度131 m，塔頭寬度6 m，跟開26 m，干字形塔。該塔系鋼管與角鋼組合空間結構，主體由四根主弦桿以及弦桿之間的橫桿、斜撐桿、腹桿構成，上下橫擔均由鋼管和角鋼組合構成。

依照相關資料，研究人員基于某有限元軟件平臺建立了初始模型，模型采用混合單元建立以保證整體剛度準確性(圖1)。塔身主體主要由鋼管通過法蘭或插板以對心連接方式構成(圖2)，節(jié)點的剛度大，故用梁單元模擬桿件;一些次要部位由角鋼通過插板連接和焊接以偏心方式構成(圖3)，有限元模擬采用桿單元。

文獻［3］詳細介紹該塔的基準動態(tài)特性實測，測試基于環(huán)境激勵下的加速度響應信息，使用輸出可測條件的模態(tài)參數(shù)識別技術獲取了單塔的低階模態(tài)，測試結果為結構有限元模型修正提供依據(jù)。表1對比了初始塔模型實測、計算模態(tài)。由表1，盡管計算模態(tài)振型與實測值一致，但模態(tài)頻率誤差大，且具有相對誤差依階次順序遞減的特點，一、二階相對誤差(14% ～16%)遠大于三～五階(1%～6%)。模型修正以減小橫、縱向一階彎曲模態(tài)頻率誤差為主要目標。

圖1 初始有限元模型Fig.1 3D view of initial finite element model

表1 初始模型模態(tài)頻率計算值與測試值Tab.1 Modal frequency differences between analyzing and testing results before updating

圖4 有限元模型一至三階模態(tài)振型Fig.4 View of first three modes of vibration obtained by FE model

2 修正參數(shù)的選取

修正參數(shù)必須與理想狀態(tài)有較大偏差并對模型動態(tài)特征量有顯著影響，應在整體結構范圍內(nèi)篩選。對于輸電塔模型，可選擇的修正部位包括塔身桿件、連接節(jié)點、邊界等，依據(jù)實際狀況逐一分析:

(1)塔模型單元的彈性模量、密度、截面積等較設計值可能有一定偏差，因此研究人員首先將本塔塔身的關鍵桿件設計參數(shù)作為修正參數(shù)，開展了基于靈敏度分析的動力模型修正，參見文獻［4］。值得注意的是，研究對象是新建工程，構件無累積損傷、老化和銹蝕，修正參數(shù)的變化范圍不應偏離設計值過大。

(2)節(jié)點方面，文獻［5］認為高聳塔架結構有限元模型的不確定性主要來自節(jié)點。實際大量節(jié)點屬半剛性連接，有限元模型桿件的連接剛度較實際情況存在差異。針對這一問題，文獻［6］基于不同類型單元建立了5個500KV貓頭塔有限元模型以模擬節(jié)點剛度的差異，對比計算結果發(fā)現(xiàn)節(jié)點剛度大小僅對塔模型的一些高階模態(tài)產(chǎn)生影響，對于低階動態(tài)特性影響不大。

(3)研究對象建立在4個鋼筋混凝土承臺之上，各承臺由9根混凝土樁支承，基礎和周圍土層間存在相互作用。由文獻［7］，在軟土或中軟場地，樁－土－結構動力相互作用對輸電塔的影響不能忽略。文獻［8］在修正某海洋平臺模型的過程中將地基模擬為三維彈性支承并使用了基于靈敏度分析的優(yōu)化方法修正支承剛度，結果表明三維彈性支承的剛度大小對于海洋平臺結構有限元模型的低階基頻(主要為一～三階)影響大，對于模態(tài)振型的影響小。

文獻［4］選擇塔身主弦桿和斜撐桿等關鍵桿件為修正對象，進行了基于靈敏度分析的模型修正，研究發(fā)現(xiàn)關鍵桿件的截面和彈性模量參數(shù)對模型動態(tài)特性不顯著，修正后模型的部分低階模態(tài)頻率和測試結果之間仍然存在不小的誤差。表2給出彈性模量修正結果，選擇0.001為每次迭代修正的彈性模量變化率，在迭代98次時，彈性模量的總變化率超過10%，因偏離設計值過大，終止迭代。修正后模型的一、二兩階模態(tài)頻率誤差仍然比較大。因桿件參數(shù)修正沒有獲得理想的效果，必須考其它修正對象。

表2 部分單元彈性模量變化率0.001修正結果Tab.2 Influence of key elements’elastic modulus change(0.001 constant changing rate)on FE model frequcency

經(jīng)上述分析，本文最終選擇三向邊界支承剛度這些具有明顯不確定性并且對于特征值影響顯著的參數(shù)加以修正。采用與文獻［8］類似的方法模擬邊界條件(用彈簧單元模擬三向平動支承，約束三向轉(zhuǎn)動自由度)，將三個方向的彈簧彈性剛度作為修正參數(shù)。

3 響應面法的理論基礎

響應面方法是試驗設計與數(shù)理統(tǒng)計相結合的方法，基于響應面的有限元模型修正理論主要包括試驗設計、參數(shù)篩選、響應面擬合以及參數(shù)優(yōu)化。

3.1 試驗樣本集的選取

為了保證響應面模型的精度，降低有限元計算量，樣本集的選取基于試驗設計方法。試驗設計方法有析因?qū)嶒炘O計、中心復合設計(CCD)、Box－Behnken設計以及D－最優(yōu)設計等。

中心復合設計是其中較為常用的試驗設計方法，它包含三類試驗:① 根據(jù)每個因素的±1兩個水平值(分別代表該因素的最大和最小水平)，利用正交表構造試驗方案，進行n次試驗;② 在中心點(0，0，…，0)作n次重復試驗;③ 在各因素坐標軸上臂長±a點處進行2m次(m個因素)試驗。因此樣本集包含的樣本點總數(shù):

3.2 參數(shù)篩選

方差分析的基本思想是將樣本數(shù)據(jù)的總偏差平方和分解為各因素以及誤差的偏差平方和，求出F值，應用F值檢驗法進行假設檢驗，找出顯著性參數(shù)。假設對有限元模型的設計參數(shù)(因素)A進行F檢驗，統(tǒng)計量為:

式中SA為因素引起的偏差平方和，Se為誤差的偏差平方和，fA、fe分別為因素A和偏差的自由度。對于給定的顯著水平 α，F(xiàn) 檢驗的法則為:若 FA≥F1－α(fA，fe)，則認為設計參數(shù)A影響顯著，否則認為不顯著。依據(jù)F顯著性檢驗的結果，進行參數(shù)篩選，修改響應函數(shù)的形式。

3.3 響應面擬合

有限元模型修正中，通常將二次多項式作為響應函數(shù)，得到樣本集之后，一般利用最小二乘回歸分析來確定。

令系統(tǒng)的特征量y為因變量，設計參數(shù)為xi，i=1，2，…，k。若采用次多項式響應函數(shù)，則回歸方程形式:

在試驗設計確定的樣本點，通過有限元分析獲得的樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn;將設計參數(shù)與特征量的樣本數(shù)據(jù)代入式(3)，采用最小二乘法可估計多項式系數(shù)β0，β1，βij，βii。

通常響應面的精度依據(jù)式(4)判斷:

其中，yRS(j)代表響應面模型的計算值，y代表真值(有限元分析的計算結果)，y代表真值得平均值。R2值越大，則得到的回歸模型就越接近實際情況。經(jīng)檢驗，若響應面模型精度符合要求，則進行設計參數(shù)修正;不符合，應增加樣本點，重新試驗設計。

3.4 參數(shù)優(yōu)化

模型修正可歸結為以下的優(yōu)化問題:

其中，p代表設計參數(shù)，{fE}，{fA}代表特征量，分別是分析與試驗的結果，VLB，VUB是設計空間的邊界，R代表特征量的殘差。

4 基于響應面法的輸電塔模型動力修正

針對塔腳三向支承剛度分別開展單因素數(shù)值試驗，依據(jù)結果確定待修正參數(shù)的合理取值范圍。后借助試驗設計軟件Design-Expert(Version 6.0.10)完成基于響應面法的單塔模型修正。對比基于靈敏度分析的模型修正方法，驗證模型修正效果。

4.1 單因素有限元試驗

表2給出了約束模型塔腳除豎向以外的5個方向自由度，采用不同大小的基礎豎向支承剛度(大小范圍在108N/m～109N/m)的有限元模型計算模態(tài)頻率。將表3給出的結果作為基準數(shù)據(jù)，通過三次多項式差值獲得了模型計算模態(tài)頻率隨基礎豎向支承剛度的變化曲線(圖5)。

同理，單獨改變基礎橫、縱向支承剛度的大小，約束塔腳其余各方向的自由度(基礎剛度視作無窮大)，可以考察由此產(chǎn)生有限元模型計算模態(tài)的改變，結果由表4和圖6、圖7給出。

表3 基礎豎向支承剛度在100 MN/m ～500 MN/m范圍內(nèi)的有限元模型計算模態(tài)頻率Tab.3 Influence of vertical elastic bearing stiffness ranging from 100 MN/m～500 MN/m on analyzing modal frequency of FE model

表4 單獨考慮基礎橫、縱向支承剛度的有限元模型計算模態(tài)頻率Tab.4 Influence of horizontal elastic bearing stiffness on analyzing modal frequency of FE model(lateral and longitudinal direction)

數(shù)據(jù)對比分析可知:① 模型的計算模態(tài)頻率隨各平動方向剛度的增加而增大，符合基本規(guī)律;② 基礎豎向支承剛度的改變對于縱、橫向一階彎曲頻率的影響程度相當，改變基礎側(cè)向(縱、橫)剛度產(chǎn)生的模型橫向一階彎曲振型頻率的變化遠大于縱向一階彎曲振型的變化。

4.2 基于中心復合設計的樣本值計算

豎向支承彈性剛度使用式(6)估算:

式中，E、A和H分別為樁的彈性模量、有效截面面積、有效長度。計算得本工程基礎豎向剛度為3.72×109N/m。對于水平方向(橫、縱向)支承的彈性剛度，缺乏普遍認可的估算方法，是具有明顯不確定性的參數(shù)。各向彈性支承剛度參數(shù)范圍應相對慎重選取，參照單因素有限元試驗結果確定各待修正參數(shù)的取值范圍如表5。

表5 中心復合設計主要參數(shù)范圍Tab.5 Updating parameter bounds

表6 基于中心復合設計的有限元試驗結果Tab.6 FE experiment results based on central composite design

以表5中各個參數(shù)為因素，利用中央復合設計原理，在參數(shù)的設計空間內(nèi)確定了15個樣本點(α值取1.681 79)。在樣本點上進行有限元分析計算，獲得相應樣本值(塔模型一至三階計算模態(tài)頻率)。表6給出有限元試驗結果。

4.3 響應面模型的建立

使用專業(yè)軟件完成試驗數(shù)據(jù)回歸擬合。先檢驗二次回歸模型中各樣本參數(shù)對于特征量的顯著性:由表7給出的F檢驗(顯著性閥值5%)結果，一些因素的Prob＞F值大，顯著性弱。因一、二階頻率模型中交叉項不顯著，響應函數(shù)應采用完全二次多項式;對于一、三階頻率模型，樣本參數(shù)A不顯著，去除參數(shù)A，保留B、C。

表7 二次模型的系數(shù)顯著性檢驗(閥值5%)Tab.7 Results of significance test on quadratic model coefficients(significance threshold 5%)

表8給出調(diào)整后回歸模型的顯著性檢驗結果，各模型顯著性好、失擬項不顯著、擬合程度佳，可作為分析各向支承剛度與低階模態(tài)頻率之間的關系的依據(jù)。以一階頻率模型為例，模型的 F=14.99＞F0.05，F(xiàn) ＜0.000 1，表明回歸模型極其顯著，而失擬項不顯著;R2檢驗結果為0.799 9，說明該模型擬合程度較好，試驗誤差小;充分精度(信噪比)遠大于4，說明具有足夠的信號，模型擬合在整個設計空間范圍有效。由調(diào)整后回歸模型的系數(shù)顯著性檢驗(表9)可知，各階頻率模型的一次項B、C都極其顯著，二次項B2、C2極顯著，對于三階頻率模型交互作用不可忽視。各個因素對于模態(tài)頻率的影響不是簡單的線性關系。

采用最小二乘法估計多項式的系數(shù)，獲得各響應面模型。圖8～圖10給出各模型的響應面圖譜。

表8 調(diào)整后回歸模型的顯著性檢驗Tab.8 Significance test results of adjusted regression model

表9 調(diào)整后模型的系數(shù)顯著性檢驗(閥值5%)Tab.9 Results of Significance test on adjusted model coefficients(significance threshold 5%)

圖8 基礎橫、縱向支承剛度對一階模態(tài)頻率響應面Fig.8 Response surface view of primary modal frequency

4.4 響應面分析

響應曲面及其等高線直觀地反應了各向支承對于低階模態(tài)頻率的影響。

圖9 基礎各向支承剛度對二階模態(tài)頻率響應面Fig.9 Response surface view of secondary modal frequency

圖10 基礎橫、縱向支承剛度對三階模態(tài)頻率響應面Fig.10 Response surface view of tertiary modal frequency

當豎向支承剛度固定在零水平，即3.72 MN/m時，縱、橫向支承剛度對一階頻率的影響見圖8。由圖8，在設計參數(shù)的整個空間內(nèi)，頻率隨著支承剛度增大而不斷增加。曲線較陡，曲面形狀變化大，說明水平方向支承剛度變化對于一階頻率的影響顯著。等高線的形狀反映了兩種因素交互作用的顯著性，一般來講，橢圓表示交互作用顯著，圓形相反?？梢园l(fā)現(xiàn)縱、橫兩向支承剛度對一階頻率的交互作用不顯著。

觀察圖9，盡管二階頻率隨三向支承剛度的增大而增加，但水平(橫、縱兩個方向)支承剛度對于二階頻率的影響顯著性明顯強于豎向支承剛度。圖9中等高線呈圓形，縱、橫兩向支承剛度的交互作用不顯著。圖10，三階頻率模型中縱、橫兩向支承剛度的交互作用顯著，這與表3中F檢驗的結果一致。

比較圖8、圖9(b)、圖10，縱、橫兩向支承剛度對于一、二兩階模態(tài)頻率的影響顯著，對三階頻率顯著性略差。綜合響應曲面直觀分析及模型顯著性檢驗結果，水平向(縱、橫兩向)支承剛度對于模型低階(尤其為一、二階)模態(tài)頻率的影響大，為重要待修正參數(shù)。

4.5 修正參數(shù)優(yōu)化

參數(shù)優(yōu)化基于響應面模型，優(yōu)化獲得豎向、橫向和縱向的支承剛度分別為4.92 GN/m、9.98 MN/m和10.51 MN/m。對優(yōu)化后模型進行模態(tài)分析，優(yōu)化后模型的一 ～ 三階計算模態(tài)頻率分別為 0.7、0.709、1.167，相對誤差分別為 0%、2.21%、11.92%。

修正后，有限元模型獲得了較好的改善，可以非常準確地復現(xiàn)單塔橫、縱兩個方向的一階彎曲動態(tài)特性。但修正后模型存在一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率的誤差增大，無法精確預示修正頻段以外的結構動態(tài)特性的問題。

4.6 兩種模型修正方法對比

除采用基于響應面的模型修正方法，本文又基于靈敏度分析開展該塔的有限元模型修正，并對比兩種方法修正效果。兩次模型修正在修正參數(shù)范圍、狀態(tài)變量約束、優(yōu)化目標函數(shù)等方面的設置完全一致。

采用基于靈敏度分析的模型修正，首先計算各參數(shù)在某設計點處對特征量的靈敏度，再選擇高靈敏度的參數(shù)開展后續(xù)迭代優(yōu)化。整個修正過程一直在調(diào)用有限元程序，因初始塔模型的單元眾多(總單元數(shù)超過1800)，造成運算量巨大。表10給出兩種模型修正方法的結果，結果對比可知，它們的修正效果接近，基于響應面方法修正后模型在一、二階頻段精度高，三階頻段誤差略大。兩種方法修正的模型都不具備修正頻段以外的結構動態(tài)特性預測能力。

表10 兩種模型修正方法的結果比較Tab.10 Results comparison between response surface-based and sensitivity analysis-based methodologies

5 結論

(1)大型土木工程結構復雜，有限元模型單元數(shù)目眾多，用響應面模型替代有限元模型，可以提高計算效率，解決迭代收斂慢的問題［2］。本文使用響應面法修正某大型輸電塔的初始有限元模型，修正效果與傳統(tǒng)基于靈敏度分析的方法接近，修正后模型的一、二階模態(tài)頻率非常準確，達到了修正目的，證明了響應面法在高聳塔架模型修正中的實際應用價值。

(2)修正過程可以使用專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計軟件完成，易于工程應用。在建響應面模型的過程中借助基方差分析可以保證參數(shù)的顯著性良好、提高等效模型的擬合精度。其中，F(xiàn)檢驗法體現(xiàn)了參數(shù)在整個設計范圍內(nèi)對特征值影響的顯著性，較某設計點處的靈敏度分析更加合理。

(3)Mottershead認為，通過分析可以篩選顯著性參數(shù)，通過參數(shù)微小的改變模型的預測結果與實測值趨近一致，但是參數(shù)的顯著性分析結果常常不能從結構工程以及試驗的角度獲得合理的解釋。因此，必須首先確定模型的不確定因素，并將它們參數(shù)化，再開展模型修正［9］。針對形式復雜的大型塔架結構模型，參數(shù)篩選及修正研究有待深入開展。

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Dynamic updating of a large transmission tower's finite element model based on response surface methodology

CHENG Xiao-xiang，F(xiàn)EI Qing-guo，HE Ding-ding，HAN Xiao-lin

(College of Civil Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

To conquer deficiencies of poor computational efficiency and slow convergence of traditional sensitivity analysis-based finite element(FE)model updating methodology used widely，response surface methodology was introduced into a 500kV large transmission tower's dynamic FE model updating.Based on authors'former contributions，elastic stiffnesses of the tower's three directional foot bearings were selected as parameters to be updated.Key steps in updating process including one factor test，sample on FE platform，building and analyzing response surface and parameter optimization were presented in succession，then response surface-based dynamic FE model updating was completed.The updated tower model accurately recurred the structure's primary and secondary natural frequencies，and its effect was close to that of the sensitivity analysis-based methodology，its application value was proved.The problem of parameter selection for model updating of pylon structures was also explored.

model updating;response surface methodology;large transmission tower;parameter selecting;dynamic characteristics

TU347

A

國家自然科學基金項目(10902024);國家電網(wǎng)公司重大科技創(chuàng)新項目(SGKJ［2007］1070);東南大學自然科學基金預研課題(XJ2008310)資助

2009－12－04

程霄翔 男，碩士生，1985年生

韓曉林 男，教授，1958年生