基于頻響函數(shù)辨識(shí)機(jī)械結(jié)合部動(dòng)態(tài)參數(shù)的研究

郭鐵能，李 玲，蔡力鋼，劉志峰，趙永勝，楊 坤

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

基于頻響函數(shù)辨識(shí)機(jī)械結(jié)合部動(dòng)態(tài)參數(shù)的研究

郭鐵能，李 玲，蔡力鋼，劉志峰，趙永勝，楊 坤

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

進(jìn)行機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析與動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，為獲得比較準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)邊界條件，結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)成為其中一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。結(jié)合工程實(shí)際，應(yīng)用頻響函數(shù)辨識(shí)結(jié)合部剛度與阻尼參數(shù)的方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，對(duì)能否獲取完備頻響函數(shù)進(jìn)行了研究，并作出相應(yīng)的求解策略。該方法避開了對(duì)頻響函數(shù)直接求逆，運(yùn)用最小二乘原理將矛盾方程轉(zhuǎn)化為定解方程，保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定。一般情況下，結(jié)合部處絕對(duì)阻尼值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于絕對(duì)剛度值，為了更準(zhǔn)確地辨識(shí)出阻尼值，需采用對(duì)阻尼進(jìn)行二次辨識(shí)。該方法具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，而且辨識(shí)過程簡(jiǎn)單。算例證實(shí)了該方法具有很高的辨識(shí)精度。

結(jié)合部;頻響函數(shù);參數(shù)辨識(shí)

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析時(shí)，結(jié)合部的影響不可忽略。許多研究表明:結(jié)合部處的總?cè)岫日紮C(jī)床總?cè)岫鹊?0%［1］;機(jī)床上出現(xiàn)振動(dòng)問題有60%以上是源自結(jié)合部［2］;結(jié)合部的阻尼占機(jī)床總阻尼的 90%以上［3］。這些結(jié)論說明，建立準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型關(guān)鍵在于能否獲得合理的結(jié)合部動(dòng)力學(xué)參數(shù)。然而，影響結(jié)合部動(dòng)態(tài)特性的因素很多，且比較復(fù)雜，很多學(xué)者已開展了大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究，但仍有很多問題沒有得到根本性的解決，成為制約整機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)靜態(tài)特性建模、工程分析計(jì)算與優(yōu)化的一個(gè)瓶頸。所以，尋找一種比較合理的結(jié)合部動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，以獲得比較準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)邊界條件，是進(jìn)一步發(fā)展結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析與動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的先決條件，是機(jī)械動(dòng)力學(xué)由單件分析走向整機(jī)分析所要解決的關(guān)鍵問題。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者已提出了許多辨識(shí)方法［4－12］，總體可分為兩種，一種是基于模型的辨識(shí)方法［4－7］，通過研究實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和通過有限元法建立的理論模型相結(jié)合去辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)。但是，結(jié)構(gòu)的阻尼特性一般很難通過有限元方法準(zhǔn)確獲得，這為結(jié)合部的辨識(shí)帶來了難度。另一種是基于純實(shí)驗(yàn)的辨識(shí)方法［8－12］，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)。這種方法最大的缺陷是，測(cè)量時(shí)隨機(jī)噪聲不可避免。隨機(jī)噪聲的存在，使得結(jié)合部的辨識(shí)變得更加困難。

以國內(nèi)某龍頭企業(yè)承擔(dān)的國家高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備重大專項(xiàng)產(chǎn)品為研究與應(yīng)用對(duì)象，與國家高檔數(shù)控機(jī)床重大專項(xiàng)產(chǎn)品對(duì)接，在綜合前人研究成果的基礎(chǔ)上，假設(shè)結(jié)合部一端為固定剛體(圖1)，采用頻響函數(shù)辨識(shí)機(jī)械結(jié)合部剛度與阻尼參數(shù)的方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)中能否獲取完備頻響函數(shù)進(jìn)行了研究。在辨識(shí)過程中避開了對(duì)頻響函數(shù)直接求逆，保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定，其結(jié)果表明該方法具有很高的辨識(shí)精度。

1 識(shí)別原理

1.1 結(jié)合部動(dòng)態(tài)參數(shù)與頻響函數(shù)的關(guān)系

機(jī)床中常見結(jié)合部一般可以用如圖1所示的動(dòng)力學(xué)模型表示，即假定結(jié)構(gòu)一端被完全固定，另一端A自由，結(jié)合面處采用線性彈簧和阻尼器來模擬其特性。辨識(shí)的主要任務(wù)是要確定圖中剛度與阻尼參數(shù)。

子結(jié)構(gòu)?A在未聯(lián)接的情況下，動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

圖1 結(jié)合部模型Fig.1 Structure connected with joints

式中:M為結(jié)構(gòu)A的質(zhì)量矩陣;C為結(jié)構(gòu)A的阻尼矩陣;K為結(jié)構(gòu)A的剛度矩陣;F為結(jié)構(gòu)A的力向量陣;Xa為結(jié)構(gòu)A與支承部上假定的彈簧、阻尼器相聯(lián)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)(a=1，2，…，n)，即聯(lián)接坐標(biāo);

XA為結(jié)構(gòu)A除去Xa以外的其余運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)，即非聯(lián)接坐標(biāo)。

這時(shí)，結(jié)構(gòu)A在未聯(lián)接狀態(tài)下的動(dòng)剛度Z可表示:

式中H為結(jié)構(gòu)A在自由狀態(tài)下的頻響函數(shù)矩陣。

當(dāng)結(jié)構(gòu)A通過線性彈簧和阻尼聯(lián)接于某一剛體后，其系統(tǒng)的動(dòng)剛度～Z為:

由式(2)與式(3)得:

式(4)表達(dá)了待識(shí)別參數(shù)P與頻響函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系。顯然，按上式識(shí)別不僅需要全部的H和，而且需要對(duì)H和矩陣求逆。

為避免直接對(duì)矩陣求逆，對(duì)式(4)兩邊分別左乘～H、右乘H有:

下面根據(jù)式(5)建立辨識(shí)P的基本公式和辨識(shí)結(jié)合部剛度與阻尼參數(shù)的基本算法。

1.2 基本辨識(shí)表達(dá)式

假定圖1中被聯(lián)結(jié)構(gòu)在未聯(lián)與已聯(lián)狀態(tài)下，其頻響函數(shù)H和均由獲得。因測(cè)試需要，它要求被聯(lián)結(jié)構(gòu)能從原系統(tǒng)中分離出來，對(duì)于不可分離的被聯(lián)結(jié)構(gòu)必須在組裝前對(duì)其做未聯(lián)狀態(tài)下的激振實(shí)驗(yàn)，以便得到矩陣H。

將式(5)按分塊矩陣展開并完成矩陣相乘

取上式任一分塊矩陣對(duì)應(yīng)相等，均可得到求解P的關(guān)系式，即:

以上四式即為基本辨識(shí)公式。

1.3 基本辨識(shí)方法

在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試過程中，由于機(jī)械系統(tǒng)的配置，整體工藝的要求等原因，有時(shí)不是所有的頻響函數(shù)都可以通過測(cè)試獲得。為了使問題變得更加實(shí)際可解，本文將對(duì)能否獲取完備頻響函數(shù)分別進(jìn)行了討論，并作出相應(yīng)的求解策略。

1.3.1 基于完備頻響函數(shù)辨識(shí)方法

假定被聯(lián)結(jié)構(gòu)處于未聯(lián)接狀態(tài)，聯(lián)接前后的頻響函數(shù)矩陣均通過測(cè)試獲得。由式(7)得:

式中右邊第l行第m列的元素具有如下形式:

注意，由于頻響函數(shù)中，原點(diǎn)頻響函數(shù)比交叉點(diǎn)頻響函數(shù)可信度高，故取式(10)對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)相等，可獲一組求解pi(i=1，2，…，n)的線性方程組

注意到上式是一組復(fù)數(shù)域線性方程組，設(shè)ER、EI分別為E的實(shí)、虛部，ER、EI分別為F的實(shí)、虛部，又已知P的實(shí)虛部分別為K'J與jωC'J，按實(shí)、虛部對(duì)應(yīng)相等的原則，上式又可表示為:

式(12)即為一組求解K'J、C'J的實(shí)線性方程組。

同樣，因頻響函數(shù)采樣頻率ω可以很多，故求解K'J、C'J的方程也很多，設(shè)ω有m個(gè)，則由式(12)有:

上式為一組矛盾方程，由最小二乘原理將其轉(zhuǎn)化為定解方程:

采用高斯列主元素法解上式，即可辨識(shí)出K'J、C'J。

一般來說按式(13)辨識(shí)的K'J是有相當(dāng)精度的，但C'J的精度可能要差些，特別是K'J比C'J在量級(jí)上大得較多時(shí)更是如此，這主要是因?yàn)轭l響函數(shù)中阻尼的信息往往較剛度信息弱。為了更準(zhǔn)確地辨識(shí)出阻尼，這里建議對(duì)阻尼進(jìn)行二次辨識(shí)。重新回到式(11)，并將已辨識(shí)的K'J代入式(11)，得:

然后仿照前面的方法即可再單獨(dú)辨識(shí)C'J。

1.3.2 基于不完備頻響函數(shù)的辨識(shí)方法

首先假定被聯(lián)結(jié)構(gòu)在已聯(lián)與未聯(lián)兩種狀態(tài)下，所有非聯(lián)接坐標(biāo)點(diǎn)均為可測(cè)點(diǎn)，即AA與HAA各元素全可測(cè);另外，注意到(1)的定義，只要我們假定的彈簧、阻尼器不安排在轉(zhuǎn)角等難測(cè)自由度上，則未聯(lián)狀態(tài)下與各聯(lián)接坐標(biāo)相關(guān)的頻響函數(shù)Haa與HAa總是可測(cè)的，但已聯(lián)狀態(tài)下頻響函數(shù)aa與Aa(或HaA)中可能存在部分難測(cè)元素。這時(shí)，對(duì)難測(cè)的部分矩陣元素采用如下公式計(jì)算。

式(14)與式(15)即為補(bǔ)充公式，具體補(bǔ)充方法如下:

2 算例

結(jié)合工程實(shí)際，以圖2所示常見模型為分析模型來說明本文方法的實(shí)施過程。假定被連接結(jié)構(gòu)在未聯(lián)與已聯(lián)狀態(tài)下均沒有建立有限元模型，其頻響函數(shù)已知，即所有參數(shù)為已知:

圖2 實(shí)例系統(tǒng)Fig.2 example of the system

待識(shí)別的參數(shù)為 k1、k2和 c1、c2。

則 k1、k2、c1、c2未聯(lián)接時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程為:

而系統(tǒng)在已聯(lián)狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)方程為:

由兩種狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)方程，在給定的測(cè)試采樣頻率下可計(jì)算出系統(tǒng)準(zhǔn)確的Z、與H。本例采樣頻率ω取100個(gè)，頻率范圍為5 Hz～500 Hz，對(duì)未知系統(tǒng)，可根據(jù)聯(lián)接狀態(tài)下系統(tǒng)的幾階主要低頻固有頻率來確定測(cè)試頻帶范圍，且建議采樣點(diǎn)固有頻率附近多取些，這有利于反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)動(dòng)態(tài)特性。為仿真計(jì)算，先對(duì)本例系統(tǒng)H、的理論值添加一定水平的隨機(jī)誤差，將其作為頻響函數(shù)，本例添加的誤差水平對(duì)原點(diǎn)hii、ii與跨點(diǎn)hijij(i≠j)分別控制在5%與6%以內(nèi)，這比較符合誤差分布。同時(shí)，對(duì)原準(zhǔn)確的系統(tǒng)物理參數(shù)添加5%左右的隨機(jī)誤差，再形成動(dòng)剛度矩陣Z。在進(jìn)行阻尼辨識(shí)中，運(yùn)用了二次辨識(shí)的方法，辨識(shí)結(jié)果如表1誤差在8.7%以內(nèi)，表明采用該方法是行之有效的。

表1 仿真實(shí)例辨識(shí)結(jié)果Tab.1 Identification results of simulation example

3 結(jié)論

(1)本文應(yīng)用了基于頻響函數(shù)辨識(shí)結(jié)合部剛度與阻尼的方法，對(duì)能否獲取完備頻響函數(shù)分別進(jìn)行了研究，并作出相應(yīng)的求解策略。辨識(shí)過程避免了對(duì)頻響函數(shù)矩陣求逆運(yùn)算，且利用的是較低維矩陣關(guān)系，從而提高了辨識(shí)精度。

(2)文章是以結(jié)合部一端為固定剛體為前提，而進(jìn)行的辨識(shí)分析，故在采用該方法時(shí)，應(yīng)將一端固定。但如果兩端均不能固定，則應(yīng)分別建立兩部件在自由狀態(tài)的有限元模型，或分別對(duì)兩部件在自由狀態(tài)下測(cè)試其頻響函數(shù)，再在整體狀態(tài)下測(cè)試頻響函數(shù)，仿照本文原理，可導(dǎo)出類似的辨識(shí)公式。

(3)采用本文的辨識(shí)方法可進(jìn)行系列化實(shí)驗(yàn)研究，以獲得可供實(shí)用的經(jīng)驗(yàn)公式與圖表。并將辨識(shí)得到的結(jié)合部等效動(dòng)力學(xué)參數(shù)，一方面可以判定結(jié)合部等效剛度和阻尼的特性及其隨外加載荷作用的變化規(guī)律;另一方面可獲得典型工況下結(jié)合部完整的動(dòng)力學(xué)模型，為動(dòng)力分析、動(dòng)力修改及動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)，為產(chǎn)品的快速數(shù)字化設(shè)計(jì)提供理論與技術(shù)支持。

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Identifying mechanical joint dynamic parameters based on measured frequency response functions

GUO Tie-neng，LI Ling，CAI Li-gang，LIU Zhi-feng，ZHAO Yong-sheng，Yang Kun

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing，100124，China)

In order to obtain a more accurate boundary condition of structure in dynamic analysis and optimization design，the joint parameter identification is one of the key technologs.In combination with engineering practice，the method based on frequency response function(FRF)to identify the characteristic parameters of the joint was proposed.Whether the complete FRF can be obtained or not was studied and the corresponding solving strategy was presented.The method avoids the matrix inversion directly，and transforms contradictory equation to equation with definite solution by using least-square principle，which ensures the stability of numerical calculation.Considering the damping information is inferior to stiffness information in identification process，in order to identify the damping parameter more accurately，a successive identification method was further proposed.Example analysis confirms that the method is of high identification accuracy.

joint;frequency response function;parameters identification

TH113;TH123

A

國家重大專項(xiàng)(2009ZX04014－033);國家自然科學(xué)基金(50905004)

2010－03－15 修改稿收到日期:2010－04－12

郭鐵能 男，博士，講師，1975年5月生

李 玲 男，博士生，1981年7月生