結(jié)構(gòu)損傷識別的改進柔度靈敏度方法研究

楊秋偉，孫斌祥

(紹興文理學院 土木工程系，紹興 312000)

結(jié)構(gòu)損傷識別的改進柔度靈敏度方法研究

楊秋偉，孫斌祥

(紹興文理學院 土木工程系，紹興 312000)

提出一種改進的柔度靈敏度方法用于工程結(jié)構(gòu)損傷識別。通過在迭代算法中引入一個“加速”公式來迅速獲得足夠精確的識別結(jié)果，避免了多次迭代，可以大大減少計算花費。用兩個數(shù)值算例對所提方法進行了驗證，并把結(jié)果和原柔度靈敏度方法的計算結(jié)果進行比較。結(jié)果表明:采用改進的算法一般只需經(jīng)過一次計算即可獲得很高精度的識別結(jié)果，而采用原方法必須經(jīng)過多次迭代才能獲得相同精度的識別結(jié)果。改進的方法比原方法大大減少了迭代次數(shù)，顯著減少了計算花費，顯示了改進方法的突出優(yōu)越性。

損傷識別;柔度靈敏度;“加速”公式

近年來，利用振動數(shù)據(jù)的改變來檢測結(jié)構(gòu)損傷的方法已引起土木、機械、航空和海洋等眾多工程界的重視［1］。在已提出來的各類方法中，柔度方法有著較好的應(yīng)用前景，因為柔度可由低階的頻率和振型便可以很精確的獲得，且它比頻率和振型對損傷更為敏感。Pandey 和 Biswas［2，3］利用結(jié)構(gòu)柔度矩陣的改變來檢測梁結(jié)構(gòu)的損傷情況。Zhao和DeWolf［4］的研究表明結(jié)構(gòu)柔度對損傷很敏感。Bernal［5］從柔度矩陣的改變量中分解出一系列的損傷定位向量來判斷結(jié)構(gòu)的損傷位置。Jaishi和Ren［6］根據(jù)模態(tài)柔度殘余量來進行模型修正以識別結(jié)構(gòu)損傷情況。Perara等［7，8］把柔度作為多目標函數(shù)之一，采用遺傳算法來計算損傷參數(shù)。Yang［9］利用Neumann級數(shù)展開推導了結(jié)構(gòu)柔度靈敏度的計算公式并提出了一種混合靈敏度方法，結(jié)合頻率靈敏度和柔度靈敏度一起進行損傷識別。Yang和Liu［10］又研究了柔度改變量的特征值分解，據(jù)此提出一種判斷損傷單元數(shù)目，確定損傷位置和求解損傷程度的新方法。

現(xiàn)有的關(guān)于柔度靈敏度方法的研究中均只考慮了柔度的一階靈敏度，這對于小損傷的情況是適用的。對于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，則必須考慮二階以上的靈敏度才能獲得足夠精確的計算結(jié)果，但這將顯著增加計算花費。尤其是對于大規(guī)模的工程結(jié)構(gòu)而言，過大的計算量是難以承受的。因此，一些學者使用迭代算法［11］來識別大損傷情況以減少計算量。然而，迭代算法的計算量仍然是比較大的，且隨著損傷程度的增大，需要的迭代次數(shù)迅速增多，計算量將以幾何級數(shù)增長。所以，尋求好的方法來進一步減少計算花費是很有意義的。本文基于這一點展開研究，提出一種改進的柔度靈敏度方法。通過在迭代算法的過程中引入一個加速公式來迅速獲得足夠精確的計算結(jié)果，避免了多次迭代。用兩個數(shù)值算例對所提方法進行了驗證。算例結(jié)果表明，無論損傷程度大小如何，采用本文方法，一般只需一次計算即可獲得足夠精確的識別結(jié)果，大大減少了計算量，顯示了本文方法突出的優(yōu)越性。

1 柔度靈敏度方法

本節(jié)對文獻［9］中的柔度靈敏度方法作簡單回顧，不失一般性，考慮一個n自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，假設(shè)只有第i個單元體損傷，則損傷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kd為:

其中K是完好結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，αi和Ki是第i個單元體的損傷參數(shù)和剛度矩陣，K和Ki均為n×n維方陣。則損傷前后柔度改變量ΔF為:

方程(1)代入(2)可得:

方程(3)可用Neumann級數(shù)展開為:

忽略方程(4)中的高階項，那么結(jié)構(gòu)柔度的一階靈敏度為:

其中F(F=K－1)是完好結(jié)構(gòu)的柔度矩陣。由方程(5)可見，柔度靈敏度的計算是非常簡單的因為它只需要完好結(jié)構(gòu)的柔度矩陣F單元剛度矩陣Ki。根據(jù)線性疊加原理，若 N個單元體發(fā)生損傷，則 ΔF的一階近似為:

另一方面，ΔF可以由損傷前后結(jié)構(gòu)振動的前幾階模態(tài)獲得:

其中m是測量的模態(tài)數(shù)目，F(xiàn)和Fd分別為損傷前后結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，λj和φj是未損傷結(jié)構(gòu)的第j個特征值和振型，λdj和φdj為損傷結(jié)構(gòu)的第 j個特征值和振型。由方程(6)和(7)可計算出未知的損傷參數(shù)αi(i=1～N)，其方法是把矩陣方程(6)通過拉直運算轉(zhuǎn)化為線性方程組，做法如下:

方程(8)中的上標橫線“—”表示矩陣拉直，即將矩陣的各行元素按順序排列形成一個列向量，即:

2 改進的柔度靈敏度方法

對于大損傷情況(一般指損傷程度超過15%時)，由方程(14)計算所得的各單元損傷參數(shù)值{α}將和真實值存在很大的誤差。造成誤差的原因在于方程(4)中只考慮了一階項，忽略了所有的高階項。為了提高計算精度，可以采用迭代的算法，步驟如下:

(1)由方程(14)得到損傷參數(shù)第一次計算值{α}，我們用{α}1來表示，上標“1”表示第一次計算。一般而言，如果{α}1中各元素α1i均不超過15%時，意味著這是小損傷情況，此時可不再進行后續(xù)的迭代步驟，{α}1可作為最終結(jié)果，由{α}1中各 α1i數(shù)值可以判定損傷單元位置和程度。但當{α}1中出現(xiàn)大于15%的參數(shù)時，意味著這是大損傷情況，應(yīng)當進行后續(xù)的迭代計算以提高求解精度;

(2)更新結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣K，并把更新后矩陣作為新的“未損傷”剛度矩陣。為區(qū)別起見，我們用K1表示原未損傷剛度矩陣，用K2表示第一次更新后所得剛度矩陣，更新公式如下:

(3)再次使用方程(14)計算得到一組參數(shù)，這組參數(shù)我們稱為相對損傷參數(shù)(因其是相對于步驟(2)中所假設(shè)的“未損傷”情況而言的)，我們用{Δα}來表示，則經(jīng)過第二次迭代計算后所得的各單元損傷程度計算值為:

考察{Δα}，如果其中所有數(shù)值均小于某個規(guī)定的閥值(比如0.05)，則迭代終止，所得{α}2即為最終計算結(jié)果，否則應(yīng)轉(zhuǎn)入第(2)步進行下一次迭代直至滿足要求為止。

綜上所述，迭代算法的計算量仍然是很大的，因為在步驟(2)中需要對新的剛度矩陣K2求逆，在步驟(3)中需要對新的柔度靈敏度矩陣求廣義逆。因此，必須考慮新的方法來盡可能的減少迭代次數(shù)，降低計算量。本文提出如下的“加速”方法:

在每次由方程(14)計算得到損傷參數(shù)(或相對損傷參數(shù))之后，對所得結(jié)果再進行一次“加速”運算，“加速”公式如下:

關(guān)于“加速”運算公式的數(shù)學依據(jù)推導如下:

根據(jù)單元剛度矩陣的特征值分解與組合，文獻［10］中已證明:損傷前后結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣K和Kd可以分解為(為了推導的方便，以單元剛度矩陣的秩等于1的結(jié)構(gòu)為例，其它各類結(jié)構(gòu)均可相應(yīng)推導得出同樣結(jié)論)

其中C=［c1，c2，…，cN］，Ki=cicTi，C稱為剛度聯(lián)系矩陣(n×N維，且為滿秩矩陣，n≤N)。Pd為對角矩陣，具體為:

結(jié)構(gòu)的柔度矩陣和剛度矩陣互為逆矩陣，若矩陣C為方陣時(即n=N時，如本文算例1屬于此類情況)，由方程(18)和(19)可得結(jié)構(gòu)損傷前后柔度矩陣為:

方程(22)減去(21)可得損傷前后柔度改變量為:

方程(23)中的矩陣I表示單位矩陣。容易證明以下兩個等式成立:

將方程(24)和(25)代入(23)并展開可得:

對于矩陣C不為方陣的情況(即n＜N時，如本文中的算例2屬于此類情況)，我們可以將以上推導中(方程(21)－(25))所用到的求逆運算(上標“－1”)均用廣義逆運算(上標“+”)來近似代替，同樣可以推導出方程(17)中的“加速”運算公式。

3 算例

采用兩個數(shù)值算例來驗證本文所提方法。算例1為一個3自由度彈簧－質(zhì)量模型，算例2為一個二層的框架結(jié)構(gòu)。算例1用于驗證本文方法在完整且無誤差模態(tài)數(shù)據(jù)下的識別結(jié)果，算例2用于驗證本文方法在不完整且含誤差數(shù)據(jù)下的識別結(jié)果。在每個算例中均討論大損傷和小損傷兩種情況。

3.1 算例1

以圖1所示3自由度彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)為例驗證本文方法在完整且無誤差模態(tài)數(shù)據(jù)下的識別結(jié)果。未損傷時的物理參數(shù)為ki(i=1～3)和mj=1(j=1～3)。討論3種損傷情況。情況1(單個小損傷情況):單元2剛度損傷15%;情況2:(單個大損傷情況):單元2剛度損傷80%;情況3:(多個大損傷情況):單元2和3剛度分別損傷60%和50%。3種情況下原柔度靈敏度方法和改進柔度靈敏度方法的第一次計算結(jié)果列于表1中。

圖1 彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)(算例1)Fig.1 Spring-mass system for example 1

表1 兩種方法第一次計算結(jié)果對比(算例1)Tab.1 Results of the first calculations by the two methods

3.2 算例2

以圖2所示2層框架結(jié)構(gòu)為例驗證所提方法。該結(jié)構(gòu)橫截面為矩形(0.14 m×0.24 m)，采用24個單元進行有限元分析，每單元長度為0.2 m，每個節(jié)點有3個自由度(水平和豎直2個平動自由度，1個轉(zhuǎn)動自由度)。基本參數(shù)如下:橫截面面積A=0.033 6 m2;慣性矩 I=1.612 8 ×10－4m4;彈性模量 E=200 GPa;剪切彈性模量 G=1.346 1 ×1010N/m2;泊松比 v=0.3;密度 ρ=2 500kg/m3。由于實踐中的測量都是不完整的，故在本算例中我們只考慮前6階模態(tài)，且結(jié)構(gòu)中的柱只考慮其水平自由度而梁只考慮其豎直自由度，并且在每階振型中加入5%的白噪聲以模擬測量誤差。

圖2 二層的框架結(jié)構(gòu)Fig.2 Two-storey frame structure

圖3 單元6剛度損傷15%時兩種方法第一次計算的結(jié)果Fig.3 Results of the first calculations by the two methods when element 6 is damaged with 15%stiffness loss

損傷情況2用兩種方法第一次計算的結(jié)果見圖4所示。由圖4可見，兩種方法均能準確識別出損傷位置，但原方法第一次計算得到的損傷程度和真實值相比誤差很大，而改進方法僅經(jīng)一次計算即可獲得足夠精確的結(jié)果。兩種方法第一次計算所得的單元2和6的損傷參數(shù)值如下(括號內(nèi)為誤差):

上述結(jié)果顯示了改進方法突出的優(yōu)越性。對于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，采用改進的方法，僅需通過“加速”公式簡單的四則運算，即可大幅度提高識別精度，不需要迭代只需經(jīng)過一次計算即可獲得足夠精確的識別結(jié)果，大大降低了計算花費。而采用原方法若想獲得相同精度的識別結(jié)果必須經(jīng)過多次迭代方可，這將大大增加計算量。對于大規(guī)模的工程結(jié)構(gòu)而言，由于其自由度成千上萬，因迭代而增加的計算花費更是難以承受的，所以本文所提的改進方法更加有著突出的價值。

圖4 單元2和6剛度均損傷50%時兩種方法第一次計算的結(jié)果Fig.4 Results of the first calculations by the two methods when elements 2 and 6 are damaged with 50%stiffness loss

4 結(jié)論

現(xiàn)有的靈敏度方法一般只考慮了一階靈敏度，這對于結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷情況是適用的，利用一階靈敏度分析即可獲得較好的識別結(jié)果。但對于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，則必須考慮高階靈敏度或者采用迭代的算法才能獲得足夠精確的計算結(jié)果，但這要大量增加計算花費。為了顯著降低計算花費，本文提出一種改進的柔度靈敏度方法，通過在迭代算法的過程中引入一個簡單的“加速”公式，便能迅速獲得良好精度的識別結(jié)果。以兩個數(shù)值算例驗證了所提的方法。算例結(jié)果表明:無論結(jié)構(gòu)損傷程度如何，用本文所提的改進方法一般只需經(jīng)過一次計算即可獲得很好的識別結(jié)果。對于結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷的情況，改進方法比原方法計算結(jié)果精度明顯提高;對于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，原方法第一次計算結(jié)果的誤差非常大，必須經(jīng)過多次迭代才能獲得滿意的識別結(jié)果，而改進方法僅經(jīng)過一次計算即可獲得足夠精度的識別結(jié)果，顯示了改進方法突出的優(yōu)越性。

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An improved flexibility sensitivity method for structural damage detection

YANG Qiu-wei，SUN Bin-xiang

(Department of Civil Engineering，Shaoxing University，Shaoxing 312000，China)

Structural damage identification based on an improved sensitivity technique of structural flexibility was studied here.The drawback of the existing sensitivity methods was discussed firstly and then an improved technique was presented.The significant contribution of this study was to induce a simple accelerating formula in to iteration processes.With the introduction of the accelerating formula，the proposed method was able to identify damages without any high-order analysis of flexibility or multi-iteration.The effectiveness of the proposed method was illustrated using simulated data with measurement noise of two numerical examples.The results showed that the proposed procedure is economical for computation and simple to implement;regardless of damages being small or large，the proposed method can identify both locations and levels of structural damages accurately only using one iteration;the presented scheme may be useful for structural damage identification.

damage detection;flexibility sensitivity;accelerating formula

O32;TH113.1

A

浙江省自然科學基金項目(Y1110949);紹興市科技計劃重點項目(2010A23006);國家自然科學基金項目(40772194)

2010－01－11 修改稿收到日期:2010－03－31

楊秋偉 男，博士，副教授，1979年9月生