基于分段連續(xù)推力的暈軌道控制方法

晁 寧，李言俊

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072)

0 引言

眾所周知，平動(dòng)點(diǎn)附近的暈軌道具有指數(shù)不穩(wěn)定性，因此對運(yùn)行在其上的探測器進(jìn)行軌道保持是十分必要的。而自從開始了各種平動(dòng)點(diǎn)空間任務(wù)，暈軌道保持控制就一直是研究的熱點(diǎn)。Farquhar［1］和Breakwell［2］最早提出了target控制模式。隨后Giamberardino基于線性模型設(shè)計(jì)了漸近穩(wěn)定的非線性控制器，實(shí)現(xiàn)了Halo軌道的漸近跟蹤和擾動(dòng)補(bǔ)償［3］。Howell等［4］同樣基于線性化模型的思想，給出了控制器精度與能耗均滿足要求的折中策略。David Cielaszyk和BongWie［5］提出了用LQR線性二次型最優(yōu)控制方法來保持暈軌道的穩(wěn)定。Rahmani［6］利用最優(yōu)控制理論中極值曲線的變分成功求解了兩點(diǎn)邊值問題，實(shí)現(xiàn)了Halo軌道維持?？紤]到最優(yōu)控制求解的難度，Ming Xin等［7］提出了用于近似求解HJB方程的θ－D方法，這種方法具有很高的實(shí)時(shí)性。胡少春等［8］將序優(yōu)化理論與微分修正法相結(jié)合，優(yōu)化了暈軌道的入軌機(jī)動(dòng)問題。這種方法在優(yōu)化過程中具有收斂速度快、對初值不敏感與計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)。

基于最優(yōu)控制思路的方法在Halo軌道維持中具有較高控制精度，但在每個(gè)控制點(diǎn)求解系統(tǒng)微分方程組時(shí)需要進(jìn)行大量計(jì)算且具有較多控制點(diǎn)，系統(tǒng)實(shí)時(shí)性能受到影響。而θ－D法雖具有很高實(shí)時(shí)性但屬于次最優(yōu)方法。本文在三體模型誤差線性模型的基礎(chǔ)上，利用有限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題推導(dǎo)了暈軌道周期內(nèi)的連續(xù)小推力控制方案。針對整周期控制方式在超調(diào)后狀態(tài)量收斂速度慢的問題，通過分段連續(xù)推力模式來近似瞬時(shí)脈沖推力控制模式，給出了最短分段控制時(shí)間的計(jì)算方法。方法基于小偏差假設(shè)對非線性模型進(jìn)行了線性近似，以最優(yōu)控制方案推導(dǎo)線性反饋控制律。同時(shí)在整個(gè)Halo軌道周期僅需1～2個(gè)控制點(diǎn)，減小了計(jì)算量且使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡化。仿真實(shí)驗(yàn)表明，控制方法能夠根據(jù)實(shí)際軌道與標(biāo)稱軌道偏差的大小，調(diào)整控制時(shí)間區(qū)間長度，以盡可能低的能耗快速消除探測器入軌狀態(tài)偏差。

1 無攝三體模型

天體力學(xué)中多數(shù)情況都可描述為一個(gè)質(zhì)量忽略不計(jì)的小天體P在兩個(gè)相互環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的大天體P1、P2(P1＞P2)引力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這是比二體模型更精確的一種合理近似。對于圓限制性三體問題，通常利用以兩大天體質(zhì)心為圓心旋轉(zhuǎn)的會(huì)合坐標(biāo)系或稱旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來研究。假定P不影響P1、P2的運(yùn)動(dòng)，兩大天體共同繞其質(zhì)心做角速度為ω的圓周運(yùn)動(dòng)。P1指向P2的方向?yàn)闀?huì)合坐標(biāo)系的x軸，ω方向?yàn)閦軸，y軸與x、z軸成右手系。這種假設(shè)下的動(dòng)力學(xué)模型不考慮攝動(dòng)因素，即無攝圓限制性三體模型，小天體的無量綱化運(yùn)動(dòng)對應(yīng)一個(gè)二階常微初值問題

分量形式為

其中，Ω(x，y，z)=(x2+y2)/2+U(r1，r2)，引力勢函數(shù)U(r1，r2)=(1－ μ)/r1+μ/r2，μ=m2/(m1+m2)是航天器到大天體的距離是航天器到小天體的距離。

對于該CRTBP目前僅找到5個(gè)特解和一個(gè)Jaccobi積分［9］。前者對應(yīng)5個(gè)引力平衡點(diǎn)，其中三個(gè)共線平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，位于兩大天體連線上，記作Li(i=1，2，3);兩個(gè)三角平衡點(diǎn)Lyapunov穩(wěn)定。由于前兩個(gè)點(diǎn)的應(yīng)用價(jià)值較大，引發(fā)了學(xué)者們的深入研究。五個(gè)平衡點(diǎn)處對應(yīng)的Jacobi積分常數(shù)Ci(μ)有如下關(guān)系:

曲面2Ω(x，y，z)=C即為零速度面。

2 無量綱化

對于三體模型來說，地月系統(tǒng)數(shù)據(jù)量級一般都比較大。為了簡化計(jì)算，需要利用無量綱化方法對計(jì)量單位進(jìn)行省略并將數(shù)據(jù)縮小相應(yīng)倍數(shù)。地月系數(shù)據(jù)計(jì)算中無量綱化時(shí)對應(yīng)的長度時(shí)間和質(zhì)量單位分別為:

［M］=m1+m2——兩天體質(zhì)量

［L］=3．84401×105km，［M］=6．0477×1024kg，［T］=3．7519×105s

因此，月球的無量綱質(zhì)量為μ=0．012153，地球的無量綱質(zhì)量為1－μ。若按照1年為365．25個(gè)平太陽日計(jì)算，則1年和1天分別是3．15576×107s和8．64×104s，無量綱化后的時(shí)間為84．1110和0．2303。無量綱速度V00和實(shí)際速度(km/s)的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

式(4)表示了地月系中一個(gè)單位的無量綱速度與實(shí)際速度的關(guān)系。其中q、m分別表示無量綱系統(tǒng)中的距離和時(shí)間。同樣可以得到無量綱加速度a00和實(shí)際加速度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

3 特性分析及線性化

3．1暈軌道特性

3．1．1不穩(wěn)定性

暈軌道是存在于共線平動(dòng)點(diǎn)附近的一類周期軌道。這種軌道具有指數(shù)不穩(wěn)定性，發(fā)散快，并且對初始值十分敏感。即使不考慮攝動(dòng)因素，并且入軌精度均達(dá)到10－8(10m)的量級，無控的暈軌道最多也只能維持3個(gè)周期左右(以THalo=13．5808天為例)，之后就開始發(fā)散，如圖1所示。利用Richardson三階近似解獲得的軌道雖然能夠較準(zhǔn)確地表現(xiàn)軌道的三維周期運(yùn)動(dòng)，但它是理想化的解模型，不能夠體現(xiàn)出暈軌道的弱穩(wěn)定性?？紤]到入軌誤差和各種實(shí)際因素引發(fā)的模型變異，需要對在軌探測器按照偏離規(guī)律進(jìn)行軌控。

圖1 地月系L1點(diǎn)某暈軌道Fig．1 Earth-Moon system L1 point some halo orbit

3．1．2周期性

原系統(tǒng)線性化模型中的系數(shù)矩陣A是時(shí)變的。但是在理想入軌狀況下，經(jīng)歷了n個(gè)暈軌道周期的時(shí)間后，A中的元素具有不變性，即

于是，線性化后的時(shí)變系統(tǒng)就可以化為單個(gè)周期內(nèi)的定常系統(tǒng)。系統(tǒng)矩陣元素依積分起始點(diǎn)而定。因此暈軌道上所有點(diǎn)的狀態(tài)都能夠作為積分起始點(diǎn)，只要積分周期為軌道周期的整數(shù)倍，時(shí)變系統(tǒng)就能夠化為定常系統(tǒng)，從而簡化計(jì)算。

3．1．3可控性

其中

取定系統(tǒng)矩陣A(t)為多元向量函數(shù)f(X)的雅克比矩陣，控制矩陣b為增廣單位陣［03I3］T。從式(9)可以看出，系統(tǒng)僅需要對后3階進(jìn)行控制，因此分析可控性前首先將系統(tǒng)降為3階。控制矩陣b取為I3，則從上式中容易看到可控性矩陣滿秩，線性時(shí)變系統(tǒng)可控。

系統(tǒng)矩陣A(t)是以狀態(tài)向量X(t)為變量的函數(shù)。以暈軌道上任意點(diǎn)為研究對象時(shí)，時(shí)變系統(tǒng)又能夠轉(zhuǎn)換為定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件為

其中n為系統(tǒng)階數(shù)。線性系統(tǒng)可控性特征為:

(1)系統(tǒng)在平動(dòng)點(diǎn)處可控;

(2)一個(gè)周期內(nèi)，暈軌道上所有點(diǎn)對應(yīng)的可控性矩陣序列K(t)均滿秩，t∈［t0，t0+THalo］。

將線性時(shí)變系統(tǒng)式在各軌道機(jī)動(dòng)點(diǎn)處做定常變換后，容易驗(yàn)證對應(yīng)的(8)式是成立的。因此誤差線性系統(tǒng)在小偏差范圍內(nèi)是完全可控的，其上所有點(diǎn)都能夠作為系統(tǒng)控制作用u的施加點(diǎn)。

3．2線性化

用于深空探測的無攝圓限制性三體模型表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性，在考慮攝動(dòng)因素后這種非線性特性就更加明顯。而當(dāng)前比較成熟的控制律多數(shù)以線性系統(tǒng)為研究對象，并且具有良好的控制效果與魯棒性。當(dāng)實(shí)際軌道與標(biāo)準(zhǔn)軌道的狀態(tài)誤差不大時(shí)，誤差線性系統(tǒng)模型具有較高的準(zhǔn)確度。通常用到的線性化方法有兩種:

(1)將誤差狀態(tài)作為新的狀態(tài)變量，利用多元向量函數(shù)的雅克比矩陣作為線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣;

(2)仍以原位置速度作為狀態(tài)量，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換關(guān)系作為系數(shù)矩陣。

本文以前者作為研究重點(diǎn)進(jìn)行分析，不對后者詳細(xì)敘述。

對上式微分并在平衡位置進(jìn)行一階泰勒展開，可得

忽略高階項(xiàng)，并取向量函數(shù)的雅克比矩陣為系數(shù)矩陣，即

雅克比矩陣為

計(jì)算可知，處于暈軌道狀態(tài)時(shí)，交叉項(xiàng)均為0。于是，非線性系統(tǒng)可近似化為線性系統(tǒng)

這種方法在小擾動(dòng)情況下具有較高準(zhǔn)確性。在此假設(shè)下，可以通過選擇能量函數(shù)通過使其非正定獲得控制律，或者選擇線性調(diào)節(jié)器的指標(biāo)函數(shù)利用極小值原理或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解到控制律u(t)。同時(shí)可以近似認(rèn)為擾動(dòng)周期與軌道周期相同，即TR=T。

上面A(t)為系統(tǒng)矩陣，其中變量元素的值會(huì)隨探測器在會(huì)合坐標(biāo)系中的位置而變化。對誤差線性系統(tǒng)來說，控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)即推導(dǎo)出合適的控制向量u，使得誤差系統(tǒng)狀態(tài)量~X＜ε，ε為正常數(shù)。

4 最優(yōu)控制方法

軌道保持過程中要求以最小的速度增量實(shí)現(xiàn)最高的位置精度，這樣的控制要求類似于最優(yōu)控制中對性能指標(biāo)的表述。因此考慮利用極小值原理及Riccati方程來推導(dǎo)一個(gè)THalo內(nèi)的小推力連續(xù)控制方案。

4．1整體連續(xù)推力控制(Total Continuous Thrust Control，TCTC)

以一個(gè)暈軌道周期T為控制區(qū)間，取有限時(shí)間線性調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)為

終端固定，其狀態(tài)約束為X(tf)=0。因此，單周期暈軌道控制問題屬于終端固定的有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器。式(14)中Q＞0、R＞0分別為加權(quán)矩陣，用來控制各分量的比重。通常Q為對角陣，各個(gè)元素取狀態(tài)向量對應(yīng)量綱數(shù)量平方的倒數(shù)。

Hamilton函數(shù)取為

根據(jù)線性調(diào)節(jié)器問題相關(guān)結(jié)論［11］，要求K(t)陣滿足對稱正定和逆Riccati方程，即

線性動(dòng)力學(xué)誤差系統(tǒng)對應(yīng)Riccati方程階數(shù)較高，通常利用數(shù)值積分進(jìn)行求解來提高運(yùn)算速度。積分中需要注意到:如果按照時(shí)間反向推演的方向進(jìn)行積分，數(shù)值積分的初值就是Riccati方程解的終值，即K－1(tf)=0。因此設(shè)置K(0)=［0，…，0］，K∈Rk(n)，其中為系統(tǒng)矩陣階數(shù)。因此可以在以每個(gè)暈軌道周期為單位求解Riccati方程來構(gòu)造反饋控制律。

于是有最優(yōu)控制

設(shè)總的控制量為

式中u0(t)為變軌需要的加速度。當(dāng)飛行器通過一次推力由L1點(diǎn)穩(wěn)定流形進(jìn)入暈軌道運(yùn)行時(shí)，u0(t)=0，于是控制總量u(t)=u*(t)。

最優(yōu)軌跡為下面一階線性微分方程的解

4．2分段連續(xù)推力控制(Segmental Continuous Thrust Control，SCTC)

小推力控制模式具備一定的優(yōu)勢，如推力穩(wěn)定，線性特性好。但是這種方式控制周期長，施控前后時(shí)間系統(tǒng)較難統(tǒng)一，在某些需要付出較高能耗來實(shí)現(xiàn)軌道快速跟蹤的場合就不合適使用。SCTC模式的主要方法就是縮短控制區(qū)間，以此來近似瞬時(shí)脈沖推力模式，使其兼具連續(xù)推力控制與脈沖控制的優(yōu)點(diǎn)。軌道修正時(shí)，每一個(gè)分段連續(xù)控制區(qū)間被模擬為瞬時(shí)推力模式的一個(gè)脈沖。通常每條暈軌道都會(huì)事先規(guī)劃2～3個(gè)機(jī)動(dòng)點(diǎn)，這些機(jī)動(dòng)點(diǎn)處就是每個(gè)分段控制器開始工作的位置;而控制器的工作時(shí)間就由控制區(qū)間tf－t0確定。

但是SCTC模式存在一個(gè)限制:如果入軌誤差比較大，并且要求航天器在較短的時(shí)間內(nèi)收斂至標(biāo)準(zhǔn)軌道，就需要提高機(jī)動(dòng)加速度，而這樣又會(huì)造成振蕩加劇，這樣也會(huì)影響航天器的控制性能。因此，不同的狀態(tài)誤差就對應(yīng)了不同的連續(xù)推力模式能夠接受的最短控制時(shí)間min(Tcon)。

為使得控制向量在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn)附近，結(jié)合小推力模式提供的機(jī)動(dòng)能力，能夠獲得一個(gè)基本保持不變的閾值。具體來講，利用距離誤差除以控制時(shí)間，能夠獲得一個(gè)速度閾值;而利用速度誤差除以控制時(shí)間，能夠獲得一個(gè)加速度閾值。結(jié)合小推力模式下飛行器能夠提供的變軌能力和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在地月三體系統(tǒng)中，飛行器進(jìn)行軌道修正能夠承受速度和加速度選擇如下經(jīng)驗(yàn)值:

無量綱速度:V00=7．4006×10－4;

無量綱加速度:a00=0．001365。

當(dāng)給定了入軌的初始狀態(tài)誤差，通過上面兩個(gè)閾值能夠確定兩個(gè)控制時(shí)間，即

為了保證修正軌道的收斂性，當(dāng)t1≠t2時(shí)，控制區(qū)間Tcon=max(t1，t2)。

5 仿真分析

5．1不同等級入軌誤差的控制效果比較

由于地月系單位長度為地月均距約為3．8×105千米，因此初始狀態(tài)包含了方差為10－6的隨機(jī)高斯噪聲擾動(dòng)，意味著存在100m級的偏差。

圖2 誤差等級σ2=10－6時(shí)軌控前后情況Fig．2 Orbit control situation under the error grade ofσ2=10－6

可以看出，通過線性最優(yōu)控制，狀態(tài)曲線在經(jīng)過若干個(gè)減幅振蕩周期后，能夠在有限時(shí)間內(nèi)(THalo=12．33天)逐漸收斂至標(biāo)準(zhǔn)暈軌道。同時(shí)，入軌誤差等級大，軌道發(fā)散嚴(yán)重，受控軌道振幅也就大。另外，小推力控制的優(yōu)點(diǎn)是能量消耗低，所有能耗被分配整個(gè)軌道，使得每時(shí)刻的能量需求很小。以圖2的情況為例，整個(gè)暈軌道周期中三軸消耗的總速度增量共4．7782×10－6m/s。

5．2 SCTC模式與TCTC模式對比

以10－6入軌誤差等級的某個(gè)初值為例，比較了SCTC和TCTC模式下的控制效果，如圖3。從圖3中比較可以看出，分段連續(xù)軌控下實(shí)際軌道與標(biāo)準(zhǔn)軌道的貼近度比較高，并且通過1個(gè)平太陽日(一個(gè)平太陽日的無量綱數(shù)為0．2303)左右的時(shí)間實(shí)際軌道基本收斂至標(biāo)準(zhǔn)軌道。一個(gè)暈軌道周期實(shí)施1～2次狀態(tài)反饋控制即可。

圖3 兩種軌控效果對比Fig．3 Contrast of two kinds of orbit control effect

表1 不同eX對應(yīng)的最佳控制時(shí)間及跟蹤方差和(一個(gè)平太陽日的無量綱數(shù)為0．2303)Table 1 Best control time and sum of tracking variance corresponding to different eX

圖4 一個(gè)T Halo內(nèi)的加速度曲線Fig．4 Acceleration curves in a T Halo

下面以10－7、10－6和10－5三個(gè)不同入軌誤差等級為例，對比分段連續(xù)推力模式的控制情況。表1是不同誤差eX對應(yīng)的t1、t2及跟蹤結(jié)果，跟蹤方差和(TVS)表示三軸分量方差在單個(gè)THalo內(nèi)的總和。TVS按照式(21)計(jì)算

6 結(jié)論

本文在小偏差假設(shè)基礎(chǔ)上將原限制性三體模型問題轉(zhuǎn)換為誤差線性模型進(jìn)行控制方法研究，并利用最優(yōu)控制方法推導(dǎo)了暈軌道周期內(nèi)的連續(xù)小推力控制方案。結(jié)合減少能耗和提高狀態(tài)量收斂速度的綜合考慮，提出分段連續(xù)推力控制模式來改善超調(diào)后的不良品質(zhì)，其線性反饋控制律也使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)得到簡化。方法能夠根據(jù)實(shí)際軌道與標(biāo)稱軌道偏差的大小，調(diào)整控制時(shí)間區(qū)間長度，以盡可能低的能耗快速消除探測器入軌狀態(tài)偏差。仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

［1］Farquhar R W．The control and use of libration point satellite［R］．NASA TR R－346．

［2］Breakwell J V，Kamel A A，Ratner M J．Stationkeeping of a translunar communication station［J］．Celestial Mechanics，1974，10(3):357－373．

［3］Giamberardino P，Monaco S．On halo orbits spacecraft stabilization［J］．Acta Astronautica，1996，38(12):903－925．

［4］Howell K C，Pernicka J．Stationkeeping method for libration point trajectories［J］．Journal of Guidance，Control and Dynamics，1993，16(1):151－159．

［5］Cielaszyk D，Wie B．New approach to halo orbit determination and control［J］．Journal of Guidance，Control and Dynamics，1996，19(2):266－273．

［6］Rahmani A，JalaliM A，Pourtakdoust S H．Optimal approach to halo orbit control［C］．AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，Austin，2003．

［7］Xin M，Dancer M W．Station-keeping of an L2Libration point satellite withθ－D technique［C］．The 2004 American Control Conference，Boston，2004:1037－1042．

［8］ 胡少春，孫承啟，劉一武．基于序優(yōu)化理論的暈軌道轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)［J］．宇航學(xué)報(bào)，2010，31(3):662－668．［Hu Shaochun，Sun Cheng-qi，Liu Yi-wu．Transfer trajectory design for halo orbit based on ordinal optimization theroy［J］．Journal of Astronautics，2010，31(3):662－668．］

［9］ 俞輝，寶音賀西，李俊峰．雙三體系統(tǒng)不變流形拼接成的低成本探月軌道［J］．宇航學(xué)報(bào)，2007，28(3):637－642．［Yu Hui，BaoYin He-xi，Li Jun-feng．Low energy transfer to the Moon using the patching of invariant manifolds of two there-body systems［J］．Journal of Astronautics，2007，28(3):637－642．］

［10］ 闕志宏，周鳳岐，羅健，等．線性系統(tǒng)理論［M］．西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，1994．

［11］ 程國采．彈道導(dǎo)彈制導(dǎo)方法與最優(yōu)控制［M］．長沙:國防科技大學(xué)出版社，1987．