巧解競賽題的一種方法
——“補償法”

肖建華

(太倉高級中學(xué) 江蘇 太倉 215400)

在物理學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)常規(guī)方法對復(fù)雜的物理問題無能為力時，一些特殊的方法往往能發(fā)揮其獨特的威力，將復(fù)雜的物理問題由難變易，由繁變簡;補償法就是一種有效可行的方法.所謂補償法就是在與原問題和物理規(guī)律不相違背的前提下，適當(dāng)補充一些物理條件，從而求解物理問題的方法.本文結(jié)合具體題例，簡要總結(jié)了使用補償法求解物理競賽中萬有引力、質(zhì)心、感應(yīng)電動勢等基本物理量的問題，以及復(fù)雜的運動問題.

1 在力學(xué)中的應(yīng)用

在力學(xué)中常常會遇到這一類問題:一個幾何對稱的物體中間被挖掉一部分.

1.1 用補償法求萬有引力

圖1

解析：萬有引力公式適用于真空中的質(zhì)點，均勻球體可以等效成質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點.本問題是求不規(guī)則的物體和質(zhì)點之間的萬有引力，沒有現(xiàn)成的公式可以用，需要變換思維角度.假設(shè)把用同樣密度的均勻分布的物質(zhì)填滿空穴，這樣就形成了完整的均勻球體.完整的球體跟質(zhì)點m之間的引力為

F=F1+F2

其中F1表示剩余部分對m的吸引力，所以

F1=F-F2=

1.2 用補償法求質(zhì)心

圖2

解析：由于圓盤不是幾何對稱，一般都采取積分法求質(zhì)心,但計算相當(dāng)繁復(fù).如果用補償法處理，那就是在挖去的部分先填上密度和薄圓盤相同的物質(zhì)Δm.補上Δm后，完整的大圓盤的質(zhì)量為

M0=πR2ρ

大圓盤的質(zhì)心坐標(biāo)為

x0=0y0=0

根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)系，便可得到被挖去圓孔的薄圓盤的質(zhì)心坐標(biāo)為

評注：由此可見，對于此類幾何均勻分布的有孔物體，巧用“補償法”進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指钐钛a,再進(jìn)行計算，比較簡便.

2 在電磁場中的應(yīng)用

2.1 用補償法解決電場中的問題

【例3】一個絕緣的剛性細(xì)圓環(huán)，半徑為R，質(zhì)量為M，可以繞垂直于紙面的軸O自由旋轉(zhuǎn)，但不能平動.此環(huán)長度均勻帶電，電荷量為Q.在A點剪下一個小缺口，其空隙長度為l.開始時圓環(huán)靜止不動，接通一個勻強電場E，讓E既垂直于軸O，又垂直于半徑OA，如圖3所示，求圓環(huán)旋轉(zhuǎn)的最大角速度.

圖3

根據(jù)動能定理

解得

評注：通過恰當(dāng)?shù)姆指钐钛a，可以使原來不在公式適用范圍之內(nèi)的問題變?yōu)榭梢灾苯討?yīng)用公式解決的問題.

2.2 用補償法解決磁場中的問題

【例4】一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一個圓柱空間，兩圓柱軸間距離OO′=d，圖4為垂直于軸的截面.設(shè)大圓柱間存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度隨時間t線性增大，即B=-kt.挖出的圓柱空間磁感應(yīng)強度為零.現(xiàn)在空腔里放一長為L,與OO′在同一平面內(nèi)且成60°角的金屬桿AO′C.求桿中的感生電動勢.

圖4

圖5

評注：應(yīng)用補償法，在空腔內(nèi)填補大小相同、變化率相同但方向相反的均勻磁場，使空腔內(nèi)任意一點的感生電場可以看成是兩個無限長的圓柱體產(chǎn)生的電場的疊加，使問題由繁變簡，得到有效的解決.

2.3 用補償法解決復(fù)合場中的問題

【例5】如圖6(a)所示，A1和A2是兩塊面積很大、相互平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，

圖6

兩板間電勢差為U.同時在兩板間還有方向與均勻電場正交而垂直紙面向外的勻強磁場.一電子在左側(cè)帶負(fù)電的板A1上的小孔無初速釋放.為使該電子不碰到右側(cè)帶正電的板A2.問所加磁場的磁感應(yīng)強度至少要多大？(設(shè)電子所受的重力不計)

解析：電子在電磁場的復(fù)合場中做復(fù)雜的曲線運動，可以用數(shù)理方法解決，相對較為繁瑣.可用補償法處理，把復(fù)雜運動巧妙分解.

根據(jù)題意，電子進(jìn)入板間初速度為零，設(shè)想此時電子具有沿圖6(b)所示的y方向的速度+v和-v，使+v引起的磁場力恰好與電子在極板間受到的電場力相平衡，即v的大小滿足

即

由此可見，+v引起的磁場力和電場力平衡使電子沿y軸方向做勻速直線運動，-v引起的磁場力使電子以-v做勻速圓周運動，于是，電子的運動結(jié)合起來，可視為是一個速度為v的向上的勻速直線運動和速率為v的勻速圓周運動的合成.

對勻速圓周運動，有

而要求電子不碰到A2板，則必須有

由上可得

評注：運用補償法，引入大小相同方向相反的速度，將粒子的復(fù)雜運動分解成同一平面內(nèi)的勻速圓周運動與勻速直線運動的合成，巧妙地運用了運動的合成和分解知識來處理復(fù)雜運動的過程，使問題簡化.