SOLO理論視角下學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平評(píng)價(jià)

蒲淑萍，李 萍

（1.淄博師范高等?？茖W(xué)校教育科學(xué)研究中心，山東淄博255130；2.淄博師范高等?？茖W(xué)校附屬小學(xué)，山東淄博255100）

一、問題提出

“用字母表示數(shù)”是學(xué)生由自然的“算術(shù)語言”向抽象的“代數(shù)語言”過渡的起始，是學(xué)生進(jìn)入代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的入門知識(shí)，是學(xué)習(xí)方程、不等式等的重要基礎(chǔ)。大量的教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知存在困難，如薛文敘研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)字母表示數(shù)很多學(xué)生“認(rèn)為正數(shù)前面應(yīng)該是正號(hào)負(fù)數(shù)前面應(yīng)該是負(fù)號(hào)”；[1]蔡宏圣發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”后，請(qǐng)學(xué)生解答“四（1）班a人，四（2）班比四（1）班多6人，四（2）班有多少人”這樣的問題，結(jié)果卻有70%以上的孩子認(rèn)為：缺少條件，不能解答；[2]虞琳娜在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，“比較‘5a’與‘3b’的大小時(shí)，一些學(xué)生始終認(rèn)為‘5a＞3b’”，[3]等等?？梢钥吹剑瑢W(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平與運(yùn)用能力參差不齊，有著很大的差別。初一學(xué)生經(jīng)過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，是否還停留在最初的上述認(rèn)知層面上？是否已基本達(dá)到了學(xué)習(xí)后繼知識(shí)的認(rèn)知層次與能力要求？筆者對(duì)此進(jìn)行了研究。

二、研究方法

本研究以測(cè)試為基礎(chǔ)，通過對(duì)初一新入學(xué)學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平測(cè)試，利用SOLO分類理論對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，以了解學(xué)生通過小學(xué)階段“用字母表示數(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，對(duì)基本教學(xué)要求的完成情況，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程、不等式等內(nèi)容做好充分的教學(xué)準(zhǔn)備。

S0L0的英文全稱為Structure of the Observed Learning Outcome，即可觀測(cè)學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)。SOLO的理論基礎(chǔ)是皮亞杰的發(fā)展階段學(xué)說，由著名教育心理學(xué)家比格斯（Biggs）教授及其同事經(jīng)過長(zhǎng)期的研究和探索提出，是一種以等級(jí)描述為特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法。SOLO分類法中的5個(gè)層次深刻描述了學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知水平與認(rèn)知程度。

（一）研究樣本

為摸清學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)知情況，2010年9月2日我們對(duì)上海市某中學(xué)新入學(xué)的初一某班學(xué)生共55人進(jìn)行測(cè)試，收回有效卷52份。該校是上海一所普通中學(xué)，每個(gè)年級(jí)所有班級(jí)均為平行班，所選樣本基本能夠反映上海市初一學(xué)生的一般情況。

（二）研究工具

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[4]中對(duì)“用字母表示數(shù)”的基本要求是：（1）在現(xiàn)實(shí)情境中，借助代數(shù)式進(jìn)一步認(rèn)知用字母表示數(shù)的意義；（2）能分析簡(jiǎn)單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；（3）會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算。測(cè)試題從以上三項(xiàng)基本要求出發(fā)，編制如下：

（1）學(xué)校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

（2）已知圓的周長(zhǎng)為r，那么圓的面積是多少？

（3）已知兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差，怎樣求這兩個(gè)數(shù)？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種情形，并給出解決辦法。

三、測(cè)試結(jié)果與分析

SOLO理論將學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果由低到高分為五個(gè)不同的層次，即：前結(jié)構(gòu)（Prestructural）、單一結(jié)構(gòu)（unistructural）、多元結(jié)構(gòu)（multitructural）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（relational）、拓展抽象結(jié)構(gòu)（extendedabstract）等。這五種水平的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性按照一定的層級(jí)逐步提升，各個(gè)水平及其表現(xiàn)如下表：

表一 SOLO理論的各個(gè)水平及其表現(xiàn)

參照以上層次分類，我們分別對(duì)學(xué)生回答三道測(cè)試題的情況，對(duì)學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知情況進(jìn)行水平劃分與評(píng)價(jià)。

（一）理解用字母表示數(shù)的意義

測(cè)試題（1）主要為了了解學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)的意義”的認(rèn)知水平：

（1）學(xué)校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

依照SOLO分類理論，處于這一水平的回答只包含一些不相關(guān)的信息，表現(xiàn)為拒絕或者沒有能力進(jìn)入某一個(gè)問題的解決，如空白的回答，完全無關(guān)的回答，不合邏輯的回答等。

在本題中，部分學(xué)生填寫不知道、無，或者空白等，我們認(rèn)定這樣的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運(yùn)算，即只從問題的一個(gè)側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如，有學(xué)生認(rèn)為24x＋5y表示的意義是“學(xué)校買了24只足球和5個(gè)籃球”；“學(xué)校買了x只足球和5個(gè)籃球”；“所有球的總價(jià)”；“買球總共花的錢”等等。

這樣的一些答案我們認(rèn)為是單一結(jié)構(gòu)水平的回答。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進(jìn)行的相關(guān)但又不相同的幾種運(yùn)算。處于這一水平的學(xué)生回答，能夠意識(shí)到該式子表達(dá)的是購(gòu)買兩種球，或認(rèn)為購(gòu)買兩種球的總價(jià)。這樣的學(xué)生能夠?qū)懗鲆环N相對(duì)完整的答案，但對(duì)整個(gè)式子表達(dá)的意義并不理解。以下幾種回答我們認(rèn)為是多元結(jié)構(gòu)水平的回答：

（1）買x只足球和5個(gè)籃球；

（2）買足球與籃球的總價(jià)；

（3）買24只足球和5個(gè)籃球的總價(jià)。

關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學(xué)生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達(dá)到這個(gè)水平，學(xué)生需具備能夠搞清24x＋5y式子中每一個(gè)數(shù)字與字母的含義的能力，并能用完整、準(zhǔn)確的語言表達(dá)式子意義的能力。筆者認(rèn)為，答案中寫清“x只足球”、“5只籃球”以及“購(gòu)買兩種球的價(jià)錢的總和”等信息的學(xué)生的認(rèn)知水平達(dá)到了關(guān)聯(lián)水平。

擴(kuò)展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學(xué)生從己知信息中洞察到需要運(yùn)用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

學(xué)號(hào)為2010010825的學(xué)生給出的答案如下：

24x是購(gòu)買x只足球的價(jià)錢，5y是購(gòu)買5只籃球的價(jià)錢，所以這樣的式子就是買足球與籃球所需花費(fèi)的錢的總和。

我們認(rèn)為該生的回答經(jīng)過了一定的抽象思維，對(duì)“用字母表示數(shù)”意義的認(rèn)知己經(jīng)達(dá)到了擴(kuò)展抽象水平。

（二）分析數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示

測(cè)試題（2）主要為了考察學(xué)生對(duì)“分析問題中數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表達(dá)”的認(rèn)知水平：

（2）已知圓的周長(zhǎng)為r，那么圓的面積是多少？

一般的，在圓中，字母r通常代表半徑，但不絕對(duì)。當(dāng)用字母表示數(shù)時(shí)，要求學(xué)生需具備弄清題目中字母的具體指代意義。本題著重考查學(xué)生對(duì)圓的半徑、面積、周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系用字母表示后學(xué)生的認(rèn)知運(yùn)用水平。

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

同上述測(cè)試題（1）中前結(jié)構(gòu)水平的基本情況。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運(yùn)算，即只從問題的一個(gè)側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

本題的測(cè)試結(jié)果中出現(xiàn)了非常令人吃驚的現(xiàn)象，52位測(cè)試學(xué)生中，竟有27人自行將題目中的“周長(zhǎng)”二字改換成了“半徑”，并隨后寫下答案：π·r2?？梢妼W(xué)生對(duì)于“字母r通常代表半徑”有著極其深刻的認(rèn)識(shí)，顯示出學(xué)生的思維在“用字母表示數(shù)”方面有著極強(qiáng)的“功能固著”的做法，這應(yīng)引起數(shù)學(xué)教師的注意，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的意義的教學(xué)。

以上的這些答案與做法，我們將其歸入單一結(jié)構(gòu)水平的回答。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進(jìn)行的相關(guān)但又不相同的幾種運(yùn)算。處于這一水平的回答的學(xué)生，能夠意識(shí)到要求面積，需要先求半徑，然后求出面積等于等等。這些答案了解周長(zhǎng)與半徑、面積與半徑的關(guān)系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學(xué)生能夠?qū)懗鲆环N相對(duì)完整的答案。

關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學(xué)生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達(dá)到這個(gè)水平，學(xué)生需具備“會(huì)利用圓的周長(zhǎng)求其半徑——用半徑求出面積”的程序操作，能夠搞清字母的含義及圓的周長(zhǎng)、面積公式，并能用完整、準(zhǔn)確的計(jì)算過程寫出正確答案的能力。筆者認(rèn)為，答案中寫清“π等形式的學(xué)生的認(rèn)知水平達(dá)到了關(guān)聯(lián)水平。

擴(kuò)展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學(xué)生從己知信息中洞察到需要運(yùn)用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

（三）代數(shù)式求值問題，用字母解決問題

測(cè)試題（3）主要為了考察學(xué)生對(duì)“會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算”的認(rèn)知與運(yùn)用水平?？紤]到學(xué)生馬上開始初中的代數(shù)學(xué)習(xí)，本題還考察了學(xué)生對(duì)于靈活使用字母解決問題的能力，即字母可表示常數(shù)，也可表示變量的較高要求融于本題的設(shè)計(jì)思想中：

（3）已知兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差，怎樣求這兩個(gè)數(shù)？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種情形，并給出解決辦法。

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

同上述測(cè)試題（1）中前結(jié)構(gòu)水平的基本情況。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運(yùn)算，即只從問題的一個(gè)側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如有學(xué)生的解答步驟只寫了：“a＋b＝ab，然后算出a＝0，b＝0”；或“（n＋m）－（n－m）÷2＝n，n＋（n－m）＝m”等，但這些解答沒有完整提取題目信息，解答不完整、不正確。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進(jìn)行的相關(guān)但又不相同的幾種運(yùn)算。處于這一水平的回答的學(xué)生，能夠意識(shí)到要求兩數(shù)，需要先通過消去一個(gè)、求得另一個(gè)的做法，然后求出第二個(gè)數(shù)等等，這些學(xué)生了解消元法求兩數(shù)的關(guān)系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學(xué)生能夠?qū)懗鲆环N相對(duì)完整的答案。如，一位學(xué)生的回答：關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學(xué)生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達(dá)到這個(gè)水平，學(xué)生需具備設(shè)出和差的具體值，并能用準(zhǔn)確的計(jì)算過程使用消元法求出兩數(shù)、寫出正確答案的能力。近1／3的學(xué)生達(dá)到了關(guān)聯(lián)水平的認(rèn)知與運(yùn)用。該水平下學(xué)生的回答基本以以下形式出現(xiàn)：

擴(kuò)展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學(xué)生從己知信息中洞察到需要運(yùn)用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。有9位學(xué)生的回答是如下情形：

這種回答是對(duì)上一水平回答的提升與抽象。能夠這樣解答的學(xué)生經(jīng)過了較高的抽象思維，對(duì)“用字母表示數(shù)”求代數(shù)式值的問題、利用字母解決問題的能力與認(rèn)知水平己經(jīng)達(dá)到了擴(kuò)展抽象水平。

（四）五個(gè)水平的小結(jié)

對(duì)于上述三個(gè)測(cè)試題，按照SOLO分類法對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行分類后，再結(jié)合測(cè)試卷中學(xué)生具體的解答情況，總結(jié)如下：

表二 學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平小結(jié)

以上分析均來自于測(cè)試卷答題情況，通過對(duì)小學(xué)階段其任課教師的簡(jiǎn)短訪談，以上數(shù)據(jù)基本上能夠反映學(xué)生的認(rèn)知水平。另外，針對(duì)文章開始提到的問題，如學(xué)生認(rèn)為“5a＞3b”等問題，小學(xué)階段教師與初一任課教師均認(rèn)為，該現(xiàn)象存在于學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的初學(xué)階段。經(jīng)過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，升入初中一年級(jí)的絕大多數(shù)學(xué)生多數(shù)能正確理解這些較為初步的問題，認(rèn)知水平基本達(dá)到了關(guān)聯(lián)水平及以上。

（五）學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程

在SOLO理論的指導(dǎo)下，通過對(duì)學(xué)生“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，我們可以得到對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知的發(fā)展過程。如下表所示：

表三 學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程

四、研究結(jié)論與教學(xué)建議

（一）研究結(jié)論

對(duì)照以上分析與討論，可以看到經(jīng)過小學(xué)階段的較扎實(shí)地學(xué)習(xí)，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”的認(rèn)知水平達(dá)到了繼續(xù)學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的代數(shù)式以及方程、不等式，甚至函數(shù)等內(nèi)容的基本要求。但也看到，還有約13%的學(xué)生“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知能力較弱，認(rèn)知水平較低，這也需要教師在進(jìn)一步教學(xué)中采取積極措施。如為這部分學(xué)生補(bǔ)習(xí)該部分內(nèi)容，強(qiáng)化他們對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知與運(yùn)用能力，才不致使他們?cè)诔踔械拇鷶?shù)學(xué)習(xí)過程中與其他學(xué)生拉開越來越大的距離，失去學(xué)習(xí)代數(shù)的信心與能力。對(duì)處于多元結(jié)構(gòu)水平及關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生則需進(jìn)一步訓(xùn)練他們思維的深刻性，以及全面、準(zhǔn)確地把握信息的能力。教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)多個(gè)梯度，為全體學(xué)生的進(jìn)步與發(fā)展做好充分的教學(xué)準(zhǔn)備。

（二）教學(xué)建議

1.加強(qiáng)字母意義的教學(xué)

測(cè)試（尤其測(cè)試題2）結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)字母的意義認(rèn)識(shí)存在“功能固著”的現(xiàn)象，如，認(rèn)為r只能代表圓的半徑。這也顯示出學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的意義認(rèn)知還不夠深刻、完善，不能在特定的語義環(huán)境下正確提取信息，阻礙了學(xué)生對(duì)字母問題的正確認(rèn)知與靈活應(yīng)用。

2.重視小學(xué)與初中的銜接問題

在小學(xué)，學(xué)生已認(rèn)識(shí)了一些用字母表示的數(shù)、運(yùn)算律、運(yùn)算法則等，有了一定的基礎(chǔ)。到了初中，用字母表示數(shù)又成了初中代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，通過理解并掌握它，才能提高對(duì)代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)的認(rèn)知。初中代數(shù)教學(xué)在開始部分宜引入小學(xué)學(xué)過的字母表示數(shù)的知識(shí)，學(xué)生看到自己熟悉的東西，會(huì)降低心里的抵觸心理；然后再使用歸納、類比思想，感知字母的真實(shí)含義；當(dāng)有了充分的感知后，注意將文字語言與符號(hào)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，符合SOLO理論中各個(gè)層級(jí)結(jié)構(gòu)之間順序發(fā)展，符合學(xué)生從一個(gè)階段到下一階段的認(rèn)知發(fā)展過程。

3.“用字母表示數(shù)”的教學(xué)應(yīng)注意層次漸進(jìn)

學(xué)生從小學(xué)高年級(jí)開始接觸“用字母表示數(shù)”的代數(shù)問題，必須要遵循螺旋漸進(jìn)的學(xué)習(xí)規(guī)律，才能化解學(xué)生對(duì)這一抽象知識(shí)的認(rèn)知與把握。

數(shù)學(xué)的發(fā)展史告訴我們，字母表示數(shù)的過程，不是簡(jiǎn)單的用字母代替文字的過程，而是具體數(shù)量符號(hào)化的過程。孩子們的認(rèn)知發(fā)展可能各具特點(diǎn)，但總體上不可能違背人類認(rèn)識(shí)提升的一般規(guī)律。因而結(jié)合人類認(rèn)識(shí)提升的歷史階段看，孩子認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)存在這樣的遞進(jìn)關(guān)系：字母不僅可以表示未知數(shù)，還可以表示已知數(shù)；字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數(shù)量；不僅可以在縮寫水平上運(yùn)用字母，還可以在符號(hào)水平上運(yùn)用字母。再深入地看，學(xué)生只有認(rèn)知這個(gè)已知的數(shù)量在不斷的變化中，才能認(rèn)知字母的符號(hào)概括作用。

[1] 薛文敘.關(guān)于學(xué)生對(duì)數(shù)和數(shù)的表示形式認(rèn)知情況的案例研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，（8）.

[2] 蔡宏圣.數(shù)學(xué)視界，引領(lǐng)課堂走向深遠(yuǎn)—“用字母表示數(shù)”教學(xué)的重構(gòu)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）2009，（7－8）.

[3] 虞琳娜.在自然的“表示”中感悟字母的含義——“用字母表示數(shù)”教學(xué)簡(jiǎn)錄與思考[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2009，（1）.

[4] 中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.