分擔值與正規(guī)族

,

(1.江蘇省盱眙中學 數(shù)學組,江蘇 淮安 211700;2.電子科技大學 數(shù)學學院,四川 成都 610054)

0 引言

1969年,Drasin D[1]證明了如下結果:

定理A[1]設F為區(qū)域D上的一族解析函數(shù),a≠0,b為常數(shù),n≥3為一正整數(shù),如果對任意的f∈F,f′(z)-afn(z)≠b則F在D上正規(guī).

上述定理是由Hayman W K[2]在1959年所提出的著名猜想.1991年,陳懷惠和方明亮[3]證明了定理A在n=2的時候也成立,對于亞純函數(shù),陳懷惠和方明亮[4]證明了如下定理:

定理B 設F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù),a≠0,b為常數(shù),n≥3為一正整數(shù),如果對任意的f∈F,f′(z)-afn(z)≠b則F在D上正規(guī).

對于定理B,在n=2的時候并不成立,如

問題1.相應于定理B,在n=2的時候,我們是否可以從分擔值的角度重新考慮呢?

相應于問題1,從分擔值的角度出發(fā),本文證明了

定理1 設F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù),a(z)≠0為D上的一解析函數(shù),b為常數(shù).如果對F中的任意兩個函數(shù)f(z)和g(z),在D上f′(z)-a(z)f2(z)和g′(z)-a(z)g2(z)都以b為公共值,且f(z)和g(z)的所有極點重級≥3,則F在D上正規(guī).

1 引理

為證明本文的定理,我們需要以下引理 .

引理1[5](Zalcman-Pang引理)設F為區(qū)域D?C上的一族亞純函數(shù),k為一個正整數(shù),如果對任意的f∈F,f的零點重級≥k,那么對于任意的-1≤α

(a)點列{zn},zn∈D,zn→z0;

(b)函數(shù)列{fn},fn∈F;

其中收斂是按球面距離內閉一致收斂,且g(ξ)為復平面上的非常數(shù)亞純函數(shù),滿足g*(ξ)≤g*(0)=kA+1.

注1 1)以色列數(shù)學家Zalcman[6]證明了α=0 的情形;1988年,龐學誠[7]證明了-1<α<1 的情形,這兩種情況對零點不用作任何要求.1995年,龐學誠、Zalcman[8]又證明了-1<α≤k的情形.

2)當f(z)為復平面上的亞純函數(shù)(整函數(shù)),如果f(z)的球面導數(shù)有界,則它的極至多為2(多為1).

引理2[9]設g(z)為復平面上的有限極超越亞純函數(shù),p為不恒為零的多項式.如果g(z)的所有零點重級≥k+1,則g(k)(z)-p有無窮多零點.

其中b≠0,c為常數(shù),且若g(z)所有零點重級≥k+1,則

其中r,δ,α,β是常數(shù)滿足αr≠0,|β|+|δ|≠0.

引理4 設g(z)為復平面上的有理函數(shù),b≠0為一常數(shù).如果g(z)所有零點重級≥3,則g′(z)=b至少有一解.

證明假設在復平面上g′(z)≠b,下面分兩種情況討論

1)g(z)是一個多項式,則g′(z)=b+c其中c≠0是一常數(shù).因此

g(z)=(b+c)z+d

其中d≠0是一常數(shù),這與g(z)零點重級≥3矛盾.

2)g(z)為一個非多項式的有理函數(shù),則根據(jù)引理3由g′(z)≠b有

(1)

其中d≠0,c是常數(shù).假設g(z0)=0.因為g(z)零點重級≥3,我們有

(2)

(3)

即有

這與d≠0,c≠0矛盾.

2 定理1的證明

(4)

按球面距離內閉一致收斂,且g(ξ)是復平面上的非常數(shù)的亞純函數(shù),g(ξ)的極≤2,g(ξ)的零點重數(shù)≥3.

由(4)我們有

按球面距離內閉一致收斂.

其中

由Hurwitze定理可知存在

使得對于充分大的n有

由題設對于F中的任意兩個函數(shù)f(z)和g(z),在D上f′(z)-a(z)f2(z)和g′(z)-a(z)g2(z)都以b為公共值,則對任意的正整數(shù)m有

因此

以下證明沒有這樣的有理函數(shù)的存在,分兩種情況討論.

1)g(ξ)為一多項式.則-g′(ξ)-a(z0)=A(ξ-ξ0)l其中A為非零常數(shù),l≥2為一個正整數(shù).這時g”(ξ)=-Al(ξ-ξ0)l-1只有唯一零點ξ0,注意到g(ξ)零點重級≥3得到g(ξ0)=0;g′(ξ0)=0.這與-g′(ξ0)-a(z0)=0矛盾.

2)g(ξ)為非多項式的有理函數(shù).g(ξ)無重級級點,則我們可以設

(5)

其中A≠0為常數(shù),s≥1,t≥1為正整數(shù),記m=m1+m2+…ms.由(5)知

其中

h(ξ)=(m-t)ξs+t-1+as+t-2ξs+t-2+…a0,

p1(ξ)=A(ξ-ξ1)m1-1(ξ-ξ2)m2-1…(ξ-ξs)ms-1h(ξ),

q1(ξ)=(ξ-η1)2…(ξ-η2)2(ξ-ηt)2,

是多項式.這與-g′(ξ)-a(z0)只有一唯一的零點矛盾.

[1]Drasin D.Normal families and nevanlinna theory[J].Acta Mathematic scientia,1969,122:231-263.

[2]Hayman W K.Research problem in function theory[M].Athlone press of university of London.1967:122-128.

[3]Chen H H,Fang M L.On a theorem of Drasin[J].Advance in Mathematics,1991,201:504-541.

[4]Chen H H,Fang M L.On the value distribution of fnf′[J].Sci China 1995,A(38):789-798.

[5]Yang L.Value distribution theory[M].Science Press,Berlin,1993:203-208.

[6]Zalcman L.A heuristic principle in complex function theory[J].Amer Math Monthly,1975,82:813-817.

[7]Pang X C.Normality conditions for differential polynomials[J].Kexue Tongbao,1988,33(22):1690-1693.

[8]Pang X C,Zalcman L.Normal families and shared values[J].Bull London Math.Soc,1995,18:437-450.

[9]Huang X J,Gu Y X.Normal families of meromorphic functions with multiple zeros and poles[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,29(5):611-619.

[10]Wang Y F,Fang M L.Picard values and normal families of meromorphic function with multiple zeros[J].Acta Mathematica Scientia,1998,14(5):17-26.