矩陣方程組中心對(duì)稱最小二乘解的迭代算法

(福建工程學(xué)院 軟件學(xué)院,福建 福州 350003)

0 引言與引理

定義1 若矩陣X=(xij)n×n∈Rn×n的元素滿足xij=xn+1-i,n+1-j(i,j=1,2,…,n),則稱X為中心對(duì)稱矩陣.全體n階中心對(duì)稱矩陣的集合記為CSRn×n.

本文討論矩陣方程組

AiXBi+CiXDi=Fi(i=1,2)

(1)

的下列問(wèn)題:

問(wèn)題I 給定Ai,Bi,Ci,Di,Fi∈Rn×n(i=1,2),求X∈CSRn×n,使得

矩陣方程組特殊解的求解問(wèn)題在光子光譜學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和自動(dòng)控制理論等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.線性矩陣方程組的求解問(wèn)題是數(shù)值代數(shù)方面的重要部分,比較成熟的算法[1-6]多種多樣.本文借鑒共軛梯度法的思想,建立了一種變形共軛梯度法.解決了方程組(1)的中心對(duì)稱最小二乘解及最佳逼近矩陣的計(jì)算問(wèn)題.當(dāng)方程組(1)有中心對(duì)稱解時(shí),求其中心對(duì)稱最小二乘解等同于求中心對(duì)稱解.

引理1 設(shè)A∈Rn×n,則A∈CSRn×n的充分必要條件是SAS=A.

引進(jìn)記號(hào):gi(X)=AiXBi+CiXDi(i=1,2).

定理1 求解問(wèn)題I等價(jià)于求矩陣方程

(2)

的中心對(duì)稱解,且矩陣方程(2)一定有中心對(duì)稱解,其中

證當(dāng)X∈CSRn×n時(shí),由引理1知X=SXS.因此,求X∈CSRn×n使得

等價(jià)于求X∈CSRn×n使得

(3)

下面證明求解極小值問(wèn)題(3)等價(jià)于求解矩陣方程(2).考慮矩陣方程組

{A1XB1+C1XD1=F1,A1SXSB1+C1SXSD1=F1

A2XB2+C2XD2=F2,A2SXSB2+C2SXSD2=F2

(4)

將矩陣方程組(4)按行拉直可得線性方程組

(5)

易見(jiàn),求線性方程組(5)的最小二乘解等價(jià)于求矩陣方程組(4)的最小二乘解,即求極小值問(wèn)題(3)的解.線性方程組(5)的正規(guī)方程組為

(6)

將線性方程組(6)還原即得矩陣方程(2).

(7)

1 求解問(wèn)題I的迭代算法

為了討論方便,引進(jìn)記號(hào)

下面建立求矩陣方程(2)的中心對(duì)稱解,即求解問(wèn)題I的迭代算法(算法1).

第1步: 任取初始矩陣X0∈CSRn×n,計(jì)算

R0=H-f(X0),P0=f(R0).輸值k:=0

第2步: 如果Rk=O,停止;否則,輸值k:=k+1;

第4步: 轉(zhuǎn)向第2步.

根據(jù)引理1,采用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,當(dāng)初始矩陣X0∈CSRn×n時(shí),由算法1得到的矩陣Xk∈CSRn×n(k=1,2,3,…).由矩陣內(nèi)積運(yùn)算的交換律,容易證明下面結(jié)論.

引理2 設(shè)矩陣X,Y∈Rn×n,則[f(X),Y]=[X,f(Y)].

定理2 如果X*是問(wèn)題I的解,那么對(duì)任意初始矩陣X0∈CSRn×n,由算法1得到的矩陣Xi,Ri和Pi滿足

[Pi,X*-Xi]=‖Ri‖2(i=0,1,2,…)

(8)

證采用數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)于i=0,由引理2可得

[P0,X*-X0]=[f(R0),X*-X0]=

[R0,f(X*-X0)]=[R0,H-f(X0)]=‖R0‖2.

假定i=s時(shí)(8)式成立,則當(dāng)i=s+1時(shí),有

即(8)式也成立.由數(shù)學(xué)歸納法原理知,結(jié)論成立.證畢

推論1 若Ri≠O,則Pi≠O(i=0,1,2,…),從而算法1不會(huì)中斷.

定理3 若存在正整數(shù)k,使得Ri≠O(i=0,1,…,k),則由算法1得到的Ri和Pi滿足

[Ri,Rj]=0,[Pi,Pj]=0 (i≠j;i,j=0,1,…,k)

(9)

證根據(jù)矩陣內(nèi)積運(yùn)算的交換律,只需對(duì)0≤i

第1步: 證明[Ri,Ri+1]=0,[Pi,Pi+1]=0 (i=0,1,…,k-1).采用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)i=0時(shí),有

假定對(duì)i

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對(duì)i=0,1,…,k-1,都有[Ri,Ri+1]=0,[Pi,Pi+1]=0.

第2步: 假定0≤i

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,(9)式成立.證畢

推論2 對(duì)任意初始矩陣X0∈CSRn×n,問(wèn)題I的解可在有限步迭代計(jì)算后得到.

事實(shí)上,在有限維矩陣空間Rn×n中,矩陣組R0,R1,R2,…兩兩正交,必定存在正整數(shù)k≤n2,使得Rk=0.但是,由于計(jì)算過(guò)程中舍入誤差的影響,算法1不一定能夠在有限步迭代計(jì)算后得到問(wèn)題I的精確解,因此只能把它作為迭代算法使用.

引理3 設(shè)矩陣A∈Rm×n,列向量b∈Rm,線性方程組Ax=b有解,則極小范數(shù)解x*=A+b∈R(AT),且R(AT)中只有Ax=b的一個(gè)解.這里A+表示A的Moore-Penrose逆.

定義2 對(duì)于列向量x∈Rnm,定義n×m矩陣

mat(x)=[x(1:m),x(m+1:2m),…,x((n-1)m+1:nm)]T

其中x(i:j)表示向量x中第i個(gè)分量到第j個(gè)分量構(gòu)成的列向量.

若取初始矩陣X0=f(Y0)(任意Y0∈CSRn×n),可以驗(yàn)證,由算法1得到的矩陣Xk,Rk,Pk∈CSRn×n(k=0,1,2,…),由算法1中Xk的表達(dá)式可導(dǎo)出

Xk=f(Yk)(Yk∈CSRn×n)

(10)

記

將矩陣方程(2)按行拉直得到線性方程組

(11)

(12)

綜上所述,可得下面的結(jié)論.

定理4 問(wèn)題I的解存在,不考慮舍入誤差時(shí),對(duì)任意的初始矩陣X0∈CSRn×n,由算法1經(jīng)有限步迭代計(jì)算可得到問(wèn)題I的解;若取初始矩陣X0=f(W)(任意W∈CSRn×n)由算法1得到的解X*是問(wèn)題I的極小范數(shù)解,其表達(dá)式由(12)式給出.

2 問(wèn)題II的解

因?yàn)樯鲜龅仁接叶藘蓚€(gè)矩陣的內(nèi)積為零,所以

當(dāng)X∈SE時(shí),改寫(xiě)矩陣方程(2)為

令

3 數(shù)值算例

例1 用算法1求問(wèn)題I的極小范數(shù)解和問(wèn)題II的解,其中

1)選取初始矩陣X0=O,終止準(zhǔn)則‖Rk‖<10-9,求得

[‖A1X2B1+C1X2D1-F1‖2+‖A2X2B2+C2X2D2-F2‖2]1/2=29.5041.

易見(jiàn),矩陣方程組AiXBi+CiXDi=Fi(i=1,2)無(wú)中心對(duì)稱解,矩陣X2是其極小范數(shù)中心對(duì)稱最小二乘解.

例2 用算法1求(1)的極小范數(shù)中心對(duì)稱解,其中矩陣Ai,Bi,Ci,Di同例1,而

選取初始矩陣X0=O,求得

[‖A1X3B1+C1X3D1-F1‖2+‖A2X3B2+C2X3D2-F2‖2]1/2=3.0611×10-13.

易見(jiàn),矩陣方程組AiXBi+CiXDi=Fi(i=1,2)有中心對(duì)稱解,矩陣X3是其極小范數(shù)中心對(duì)稱解.

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