不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整數(shù)解

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州225300）

不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整數(shù)解

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州225300）

討論不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2滿足一定條件的整數(shù)解．主要利用分解法，給出了不定方程的一族整數(shù)解．不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整數(shù)解為x＝k （na2－b2），y＝k （2ab－ma2），z＝k （na2－mab＋b2），式中m，n，k，a，b均為整數(shù)．

不定方程；整數(shù)解；分解法

1 引言及主要結(jié)論

先約定：文中字母若無(wú)特別說(shuō)明，均表示整數(shù)．

文獻(xiàn) ［1－5］討論了不定方程x2＋y2＝z2，指出其一切整數(shù)解可表示成

或

式中b＞b＞0，gcd（a，b）＝1，a，b一奇一偶．

本文利用分解法，討論不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2，并給出關(guān)于x，y，z的一族整數(shù)解公式．

定理 設(shè)m，n是給定的正整數(shù)，則不定方程

的一族整數(shù)解可表示成

式中m，n，k，a，b均為整數(shù)．

2 分解法的意義與基本步驟

文獻(xiàn) ［6］指出，分解法是一種技巧性很強(qiáng)的初等方法，很多步驟上的想法都是跳躍性的．由于這種方法的本質(zhì)是把不定方程不斷展開(kāi)，化為容易處理或熟知結(jié)果的方程，因此使用這種方法常常需要有這方面較為豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)．

對(duì)于一般的不定方程用分解法求解的基本步驟如下：

Ⅰ．將f，g分解成f＝f1f2，g＝g1g2（如果f和g都可分解的話）

Ⅱ．在g1≠0時(shí)，令gcd（a，b）＝1，代入 （3）得g2＝λf2，于是 （3）可化為方程組

Ⅲ．解方程組 （4）可得 （3）的一族整數(shù)解 （或一切整數(shù)解）

dxi＝2 XiXn（i＝1，…，n－1），式中g(shù)cd（Xi，…，Xn）＝1，d＞0使gcd（x1，…，xn）＝1．

利用分解法，還可以得到不定方程x4＋y4＋z4＝w2的一族整數(shù)解為

3 定理的證明

由 （1）整理得

當(dāng)z＝x時(shí)，y＝0或mx＋ny＝0為方程 （5）的平凡解．下面求方程 （5）的非平凡解．

解 （6）關(guān)于z，y的方程組得

選擇x＝k（na2－b2），可得

于是 （2）是方程 （1）的一族整數(shù)解，定理證畢．

由該定理直接可得下列推論

推論1 不定方程x2＋my2＝z2的一族整數(shù)解可表示成

式中k≠0，a，b不全為零．

式中k≠0，a，b不全為零．

［1］ 華羅庚．?dāng)?shù)論導(dǎo)引 ［M］．北京：科學(xué)出版社，1979：313－314

［2］ 柯召，孫琦．談?wù)劜欢ǚ匠?［M］．上海：上海教育出版社，1980：37－40

［3］ 潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想 ［M］．北京：北京大學(xué)出版社，1992：87－89

［4］ 管訓(xùn)貴．不定方程x2－py2＝z2的正整數(shù)解 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，2（05）：5－7

［5］ 管訓(xùn)貴．關(guān)于不定方程x2＋ （p－1）y2＝pz2［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，26（01）：12－14

［6］ 曹珍富．丟番圖方程引論 ［M］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：23

On Integer Solutions of Indefinite Equation x2＋mxy＋ny2＝z2

GUAN Xun－gui
（School of Mathematics，Physics ＆Information Science，Taizhou Normal College，Taizhou 225300，Jiangsu，China）

The integer solutions to an equation x2＋mxy＋ny2＝z2which satisfy some conditions are given．By using decomposition method the solutions satisfying the conditions are obtained．The integer solutions of indefinite equation x2＋mxy＋ny2＝z2are x＝k（na2－b2），y＝k（2ab－ma2），z＝k（na2－mab＋b2），where m，n，k，aand b are integers．

indefinite equation；integral solution；decomposition method

O 156

A

1673－1492 （2011）06－0011－02

來(lái)稿日期：2011－10－26

泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校重點(diǎn)課題資助項(xiàng)目 （2010－ASL－09）

管訓(xùn)貴（1963－），男，江蘇興化人，泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理信息學(xué)院副教授．

劉守義 英文編輯：劉彥哲］