軸向流動中可移動彈性支承黏彈性圓柱體的動力特性

張波

(陜西理工學(xué)院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

軸向流動中可移動彈性支承黏彈性圓柱體的動力特性

張波

(陜西理工學(xué)院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

分析了軸向流動中可移動彈性支承對黏彈性圓柱體動力特性的影響。以彈性支承點為分界點，分段建立了運動微分方程，同時還建立滿足支承點處的連續(xù)條件。應(yīng)用微分求積法導(dǎo)出其特征方程，運用Matlab語言編程求解黏彈性圓柱體在軸向流動中的前三階復(fù)頻率，對可移動彈性支承的彈簧剛度和支承點位置對圓柱體動力特性的影響進行了分析。

動力特性 軸向流動 黏彈性圓柱體 可移動彈性支承

1 圓柱繞流問題

物體繞流是日常生活和工程實際中普遍存在的現(xiàn)象，圓柱繞流問題也是流體力學(xué)的經(jīng)典研究課題，在許多實際工程問題中有非常重要的意義。例如，航天工業(yè)、發(fā)電和送變電工程(橋梁、建筑物、煙囪)、架空電纜以及海底技術(shù)等，經(jīng)常會遇到旋渦脫落誘發(fā)的流體動力載荷和結(jié)構(gòu)振動問題。然而國內(nèi)外學(xué)者大部分都是從彈性或剛性圓柱體的角度來研究流體誘發(fā)振動問題的［1-2］，但是，實際上像塑料、橡膠、混凝土以及金屬等工業(yè)材料，巖石、土壤、石油、礦物等地質(zhì)材料，常同時具有彈性和黏性兩種不同機理的形變，綜合體現(xiàn)黏性流體和彈性固體兩者的特性，很少有人從黏彈性材料的角度出發(fā)來研究這個問題。本文是在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，研究了軸向流動中可移動彈性支承的彈簧剛度和支承點位置對黏彈性圓柱體動力特性的影響。

2 黏彈性圓柱體的特征方程

如圖1所示，在x=x1處有一個可移動彈性支承的黏彈性圓柱體。假定圓柱體的運動全部限制在x—y平面內(nèi)，其材料服從Kelvin模型［3-4］，即

式中，σ為正應(yīng)力，e為線應(yīng)變，E為彈性模量，η為黏性系數(shù)。

圖1 軸向流動中具有可移動彈性支承黏彈性圓柱體

設(shè)兩端的線彈簧剛度分別為k1和k2，轉(zhuǎn)動彈簧剛度分別為c1和c2;y為圓柱體撓度;m為圓柱體單位長度質(zhì)量;ma為圓柱體單位長度附加質(zhì)量(ma=ρVCm，其中ρ為流體密度，V是圓柱體的體積，Cm為附加質(zhì)量系數(shù));u為流動速度;EI為抗彎剛度;D為圓柱體直徑;l為圓柱體長度，將該圓柱體分成兩段，即［x0，x1］，［x1，x2］，其中x0=0，x2=l，設(shè)每段對應(yīng)的撓度函數(shù)為yi(x，t)(i=1，2)，則各段的運動微分方程為

式中，CT為圓柱體縱向阻力系數(shù);CN為圓柱體橫向阻力系數(shù);Cv為有效黏性阻力系數(shù);γ為常數(shù)(圓柱體下游受支承時γ=1，下游端自由或彈性支承時γ=0)，是自由端的形狀阻力系數(shù)，T0為初始軸向拉力。

支承處連續(xù)條件為

式中，k為可移動彈性支承的彈簧剛度。

引入無量綱量，求得具有可移動彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動中的無量綱振型微分方程為

式中，β為質(zhì)量比;v為無量綱流動速度;α為無量綱延滯時間;ω為圓柱體無量綱復(fù)頻率。

相應(yīng)的邊界條件為

支承處連續(xù)條件為

本文采用δ法(取δ=10－5)處理邊界條件，網(wǎng)點的布置為

采用微分求積法［5］，可以得到方程(4)的模擬方程

邊界條件的模擬方程為

支承處連續(xù)條件的模擬方程為

從式(8)、(9)和(10)可以得到

矩陣［K］，［G］，［I］(［I］為(N－4)×(N－4)階單位矩陣)中含有無量綱延滯時間、無量綱流速等參數(shù)，式(11)構(gòu)成了廣義特征值問題。

軸向流動中具有可移動彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體的特征方程為

3 結(jié)果與分析

從方程(4)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無量綱延滯時間α=0時，方程就退化為具有可移動支承的彈性圓柱體在軸向流動中的流體誘發(fā)振動方程。當(dāng)支承處無量綱線彈簧剛度a→∞時，方程就退化為Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動中的流體誘發(fā)振動方程。

圖2(a)～圖2(c)分別給出了無量綱延滯時間α =0.01，質(zhì)量比β=0.1，兩端同時有線彈簧(無量綱線彈簧剛度ɑ=0.1)支承和轉(zhuǎn)動彈簧支承(無量綱轉(zhuǎn)動彈簧剛度b=0.1)的條件下，中間有不同剛度(無量綱剛度分別取從0.01到100之間的數(shù)值)的線彈簧支承(支承位置相同，ζ1=0.5)時，Kelvin模型圓柱體的前三階模態(tài)無量綱復(fù)頻率ω的實部及虛部與無量綱流速v之間的關(guān)系圖。圖2(d)給出了兩端同時有線彈簧(無量綱線彈簧剛度a=0.1)支承和轉(zhuǎn)動彈簧支承(無量綱轉(zhuǎn)動彈簧剛度b=0.1)，中間有彈簧剛度(無量綱線彈簧剛度a=1)線彈簧支承的條件下，線彈簧支承位置ζ1=0.1時，Kelvin模型圓柱體的前三階模態(tài)無量綱復(fù)頻率ω的實部及虛部與無量綱流速v之間的關(guān)系圖。

從圖2(a)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=0.01時:在v=3.91時，第一階模態(tài)發(fā)生發(fā)散，在v=5.34時又恢復(fù)穩(wěn)定;第二階模態(tài)在v=8.68處發(fā)散，在v=8.78處又恢復(fù)穩(wěn)定;第三階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

從圖2(b)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=1時:第一階模態(tài)在v=3.89處發(fā)散，在v=5.3時又恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);第二階模態(tài)在v=8.58處發(fā)散，在v=8.8時又恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);第三階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖2 無量綱流速與前三階模態(tài)的無量綱復(fù)頻率的實部及虛部的關(guān)系曲線

從圖2(c)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=100時:第一階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài);第二階模態(tài)在v=1.231處發(fā)散，在v=8.47處又恢復(fù)穩(wěn)定。同第一階模態(tài)相同，第三階模態(tài)在v <9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

從圖2(d)可以看出當(dāng)線彈簧支承位置ζ1=0.1時:第一階模態(tài)在v=3.986處發(fā)散，在v=6.48時恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);在v<9的范圍內(nèi)，第二階模態(tài)和第三階模態(tài)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)語

從以上的分析可以得到，當(dāng)中間支承線彈簧的剛度和支承位置不同時，圓柱體的動力特性也存在很大的不同。剛度的影響主要隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態(tài)首次發(fā)散的臨界無量綱流速增加，而第二階模態(tài)首次發(fā)散的臨界流速卻是減小。在無量綱流速v=0時，隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態(tài)復(fù)頻率的實部和虛部都是逐漸減小，但是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)復(fù)頻率的實部和虛部都是逐漸增加的。而支承位置的影響在于，第一階模態(tài)復(fù)頻率的實部和虛部越接近中間位置，數(shù)值越來越小，但是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)卻相反。

［1］KANG H S，SONG K N，KIM H K，et al.Axial-Flow-Induced Vibration for a Rod Supported by Translation Springs at Both Ends［J］.Nuclear Engineering and Design，2003(220):83-90.

［2］ZHOU C Y，SO R M C and LAM K.Vortex-Induced Vibration of an Elastic Circular Cylinder［J］.Journal of Fluids and Structure，1999(13):165-189.

［3］楊挺青.黏彈性力學(xué)［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，1990.

［4］倪振華.振動力學(xué)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1989.［5］王鑫偉.微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用［J］.力學(xué)進展，1995，25(2):232-240

TU502+6

A

1003-1995(2011)02-0127-04

2010-08-27;

2010-12-18

張波(1976—)，男，陜西■陽人，講師，碩士。

(責(zé)任審編 王天威)