基于Matlab液面銀薄膜分形維數(shù)的計算分析

陳苗根，陳小軍，余森江，焦志偉

（中國計量學院 物理系，浙江 杭州 310018）

基于Matlab液面銀薄膜分形維數(shù)的計算分析

陳苗根，陳小軍，余森江，焦志偉

（中國計量學院 物理系，浙江 杭州 310018）

利用Matlab數(shù)值分析軟件，將沉積在液體基金的銀薄膜真彩數(shù)值圖像進行了二值化處理，并計算了該銀薄膜的分形盒維數(shù)。經計算發(fā)現(xiàn)銀薄膜圖像灰度分布具有雙峰結構。二值化后的圖像計算得到液體基底金屬銀薄膜的盒維數(shù)大約為1.50，計算結果與相關文獻的結果一致。它表明基于Matlab的盒維數(shù)算法用于計算此類液體基底金屬薄膜的二維分形盒維數(shù)具有較好的準確性, 同時也表明其可以用來分析液體基底表面其他金屬薄膜分形維數(shù)。

二值化；分形盒維數(shù)；銀薄膜

1 引言

近年來，分形的研究受到非常廣泛的重視，其原因在于分形既有深刻的理論意義，又有巨大的實用價值。分形向人們展示了一類具有標度不變對稱性的新世界，吸引著人們尋求其中可能存在著的新規(guī)律和新特征［1］。而另一方面，分形結構是廣泛存在在制備的金屬薄膜中，引起了人們極大的關注，成為當今的研究熱點之一。因此，我們希望找到一種簡單可靠的方法并用計算機模擬計算并分析液體基底表面金屬薄膜［3-5］的分形特征。

計算薄膜的分形維數(shù)，分形維數(shù)的定義有很多種，為了簡單方便我們選用計算起來最為簡單的盒維數(shù)。在計算盒維數(shù)之前，一般原圖像都是真彩圖像，這樣的圖像直接處理是不合適的，這就涉及到圖像的灰度處理和二值化，真彩圖像轉化為灰度圖像十分容易，但二值化就較為繁雜了，選擇一種合適的二值化方法是至關重要的，對薄膜分形盒維數(shù)結果有這巨大的影響［2］。二值化圖像的分形盒維數(shù)計算就方便多了，分形盒維數(shù)的原始定義用計算機實現(xiàn)起來難度很大，但它有一些等價定義更適合于應用。此時，選用好的算法和一種簡單的編程語言能使結果準確并縮短課題研究的時間。

2 編程原理和思想

2.1 編程原理

對實驗用顯微鏡所拍真彩圖像進行分形計算必須要分二步進行，分別是圖像二值化處理和分形數(shù)值擬合。這里分形數(shù)值分析采用分形盒維數(shù)方法，兩種方法簡介如下：

圖像二值化是圖像灰度變換的一種特殊情況，是為了從圖像中抽出對象形狀的最基本的處理方法［2］。一般我們手中的都是真彩RGB圖像，首先應將其顏色成分去掉，獲得灰度圖像。從灰度圖像變換到二值圖像最重要的就是閾值處理。以某一閾值T為界，把圖像的灰度級轉換成0或1的操作就是閾值處理。在閾值處理中最關鍵的就是確定圖像的閾值，在特殊情況下，閾值T對整幅都是定值時，叫做固定閾值處理。

分形盒維數(shù)又稱計盒維數(shù)［1］，是應用最廣泛的維數(shù)之一，它的普遍應用主要是由于這種維數(shù)的數(shù)學計算及經驗估計相對容易一些。

設F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ（F）是直徑最大為δ，可以覆蓋F的集的最少個數(shù)，則F的下、上盒維數(shù)分別定義為

如果這兩個值相等，則稱這共同的值為F的盒維數(shù)，記為

盒維數(shù)有一些等價定義，有時這些定義更適合應用?？紤]Rn中δ-坐標網立方體，即下列形式的立方體：

其中m1，…，mn都是整數(shù)，在計算盒維數(shù)時，可以等價地取Nδ（F）為與F相交的邊長為δ的網立方體的個數(shù)。

由于計算機的像素并不是無限小的，因材，在用計算機編程計算平面圖像盒維數(shù)時，可以由函數(shù)logNδ（F）相對于-logδ圖的斜率來估計。

2.2 程序流程

本文選擇Matlab軟件作為編程工具，其具有強大的圖像處理和數(shù)值分析功能，對原始圖像二值化后，用如下類似于文獻6的流程來計算分形盒維數(shù)：

圖1 盒維數(shù)計算流程

3 驗證及計算

3.1 程序驗證

為了驗證上述分形盒維數(shù)計算方法的正確性，對一些已知分形維數(shù)的圖形，我們首先對直線和正方形的分形進行了計算。直線分形盒維數(shù)計算結果是1.0078與理論值1.00誤差0.78%，正方形是2.0152與理論值2.00誤差0.76%，如圖2。我們對Koch雪花曲線和Sierpinki地毯也進行了計算，計算結果顯示koch曲線是1.2613，與理論值1.2618誤差0.039%，Sierpinki地毯是1.8930，與理論值1.8928誤差0.0106%，如圖3。以上驗證結果說明基于Matlab環(huán)境下，該程序的分形盒維數(shù)計算是相當準確和穩(wěn)定的。

圖2 直線和正方形的分形擬合曲線

圖3 Koch雪花和Sierpinki地毯的分形擬合曲線

3.2 銀薄膜圖片二值化及分形維數(shù)計算

圖4a顯示了一張典型的液體基底表面銀薄膜的灰度圖像，圖4b是圖4a的灰度級分布圖，從中可以看出其圖像其具有明顯的雙峰結構，第一峰為圖4a顯灰色液體基底格點數(shù)（灰度值為100左右），第二峰為圖4a顯白色的銀薄膜的格點數(shù)（灰度值為255左右）。該結果說明了該銀薄膜與液體基底有明顯的對比灰度，也說明了采用光學顯微鏡可以準確地分辯銀薄膜和液體基底。

然后，我們將閾值設定在雙峰之間的合適值，這里將閾值設定為175（即灰度值為175），將銀薄膜的灰度圖像二值化。二值化后的圖像如圖4c所示。最后，我們根據圖1流程圖計算得到該液體基底表面銀薄膜分形維數(shù)大約為1.50，如圖4d。該計算結果與相關文獻［4］的結果一致，也說明了該算法可用于計算此類液體基底表面金屬薄膜具有較好的準確性，預示著可以用來計算液體基底表面其他金屬薄膜如銅薄膜［5］，鐵薄膜［6］等分形維數(shù)。

圖4 液面銀薄膜及其分形維數(shù)

4 結論

1）用直線、正方形、Koch曲線和Sierpinki地毯驗證表明用Matlab編程計算分形盒維數(shù)是足夠準確的。

2）液體表面銀薄膜的灰度級具有雙峰結構。計算結果說明了采用光學顯微鏡可以準確地分辯銀薄膜和液體基底。

3）液體表面銀薄膜的分形維數(shù)大約為1.50，計算結果與相關文獻的結果一致，表明該算法用于計算此類液體基底表面金屬薄膜的二維分形盒維數(shù)具有較好的準確性。

［1］張濟忠.分形［M］.北京：清華大學出版社，1995，122-127.

［2］高木干雄，下田陽久主編，孫衛(wèi)東等譯.圖像處理技術手冊［M］.北京：科學出版社，2007.1227-1229.

［3］Gao-Xiang Ye，Thomas Michely，Volker Weidenhof，Inés Friedrich，Matthias Wuttig，Nucleation，Growth，and Aggregation of Ag Clusters on Liquid Surfaces，Phys.Rev.Lett. ［J］，1998，81，622.

［4］Miao-Gen Chen，Jian-Ping Xie，Gao-Xiang Ye，F(xiàn)ormation mechanism and ordered patterns in Cu films deposited on silicone oil surfaces，Phys.Lett.A ［J］，2006，360，323.

［5］Quan-Lin Ye，Sen-Jiang Yu，Jin-Sheng Jin，Gao-Xiang Ye，F(xiàn)ormation mechanism and orderly structures of an iron film system deposited on silicone oil surfaces，Chin.Phys.Lett.［J］，2003，20，1109.

［6］楊書申，邵龍義，MATLAB 環(huán)境下圖像分形維數(shù)的計算［J］.中國礦業(yè)大學學報，2006，35（4），478.

An Analysis of Fractal Dimensions of Silver Films on Liquid Substrates Based on Matlab

CHEN Miao-gen，CHEN Xiao-jun，YU Sen-jiang，JIAO Zhi-wei
(Department of Physics,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

Based on the Matlab data analysis software,we binarizate the color image of the silver films deposited on the liquid substrates firstly,and then calculate the fractal box dimension.It is found that there are two peaks in the gray scale distribution of the image of the silver film. The fractal box dimension of the silver films on the liquid substrates is about 1.50,which is consistent with the reference reported before.It indicates that the program of the fractal box dimension based on the Matlab has good accuracy and it can be used to analyze other metal films on the liquid substrates.

image binarization;fractal box dimension;silver films

周小莉）

O484.1

A

1672-3708（2011）03-0020-05

2011-04-08；

2011-06-01

國家自然科學基金項目（10802083）、浙江省自然科學基金項目（Y6090542）

陳苗根（1981- ），男，浙江玉環(huán)人，博士，副教授，主要從事薄膜物理研究。