冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動(dòng)

肖 明

（湖北第二師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，武漢 430205）

冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動(dòng)

肖 明＊

（湖北第二師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，武漢 430205）

為了解冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動(dòng)機(jī)制，基于廣義達(dá)西定理和冪律流體的本構(gòu)方程，通過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了冪律流體在具有滲透性管壁的單根圓管中流動(dòng)的速度分布和流量分布表達(dá)式.研究結(jié)果表明：冪律流體在可滲透性管壁的圓管中流動(dòng)時(shí)的流量將比在剛性管壁圓管中的流量大，并且還得出冪指數(shù)n越大，通過(guò)圓管中的流量也越大的結(jié)論.

冪律流體；滲透的；本構(gòu)方程；哈根－泊肅葉方程

長(zhǎng)期以來(lái)，由于非牛頓流體在油田開(kāi)采和生物醫(yī)學(xué)等工程與科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域得到了日益廣泛的應(yīng)用，人們?cè)絹?lái)越多地使用非牛頓流體如聚合物溶液、泡沫液和乳狀液等作為驅(qū)油劑來(lái)提高采油量［1-6］；在生物滲流和工程滲流中，非牛頓流體更具有普遍性，例如，血液在血管中的流動(dòng)，就明顯呈現(xiàn)出其具有非牛頓流體的特性［7-8］.因此，非牛頓流體在單根圓管中的流動(dòng)特性的研究就成了廣大學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn).凡是滿(mǎn)足流體應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系式τ＝的流體，都被稱(chēng)為牛頓流體，其中τ為剪切應(yīng)力為應(yīng)變率，μ為動(dòng)力粘度.牛頓流體具有一個(gè)可嚴(yán)格稱(chēng)之為粘度的特性參數(shù)，即牛頓應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系式中的μ.并不是所有的流體都滿(mǎn)足牛頓應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，把不服從牛頓應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的流體統(tǒng)稱(chēng)非牛頓流體.冪律流體是非牛頓流體中的一種，自然界中常見(jiàn)的冪律流體有人體的血液、膠體、牛奶、凝膠等.而所有的非牛頓流體，其本構(gòu)方程都要求有兩個(gè)或兩個(gè)以上的特性參數(shù).為了方便起見(jiàn)，通常引進(jìn)一個(gè)所謂非牛頓流體的視粘度，其視粘度定義為切應(yīng)力與應(yīng)變速率絕對(duì)值˙γ之比，用μa表示，即μa＝.冪律型流體的本構(gòu)方程為τ＝，根據(jù)視粘度的定義，冪律型流體的視粘度μa＝，其中τ、˙γ、n、μa、μ分別為剪切應(yīng)力、應(yīng)變速率、冪指數(shù)、視粘度和稠度系數(shù).當(dāng)n＝1，冪律型流體的本構(gòu)方程退化成牛頓流體的本構(gòu)方程式；n＜1，代表擬塑性非牛頓流體；n＞1，表示膨脹性非牛頓流體.稠度系數(shù)μ的范圍通常在103Pa·sn（聚對(duì)苯二甲酸乙二酯樹(shù)脂）到105Pa·sn（高粘度硬聚氯乙烯），其中n為冪指數(shù).對(duì)于石油工程的鉆井完井液，冪指數(shù)n通常取值在0.2～1之間.

Zhang等人［3］基于多孔介質(zhì)具有分形特征的事實(shí)，提出了冪律流體在多孔介質(zhì)中滲透率的分形模型.Balhoff和 Thompson［9］用有限單元方法模擬了軸對(duì)稱(chēng)收縮管道中冪律流體的流動(dòng).Yun等人［10］從理論上分析了冪律流體在單根收縮毛細(xì)管中流動(dòng)情況，并給出了冪律流體的速度分布和流量分布的分形解析表達(dá)式.Vajravelu等人［11］研究了Bingham流體在管壁具有可滲透性圓管中流動(dòng)情況，并得出了流體的速度表達(dá)式和流量表達(dá)式.Govier等人［12］研究了冪律流體在單根毛細(xì)管中的流動(dòng)，但是他們并沒(méi)有考慮到毛細(xì)管的管壁滲透性影響；然而這些影響將會(huì)對(duì)人體健康造成嚴(yán)重問(wèn)題，譬如由于動(dòng)脈壁中膽固醇的沉積和結(jié)締組織的增生一方面會(huì)引起斑狀硬皮等疾??；另一方面還會(huì)在一定程度上阻礙血管中血液的流動(dòng).本文主要考慮了管壁滲透性影響，詳細(xì)推導(dǎo)冪律流體在單根圓管中的速度和流量的解析表達(dá)式.研究結(jié)果表明冪律流體在圓管中的流速和流量取決于管壁的滲透率k，并得出冪律型流體在可滲透性管壁的圓管中流動(dòng)時(shí)流量將比在剛性管壁圓管中流量大，隨著冪指數(shù)n的增加，通過(guò)圓管中的流量也增加的結(jié)論.

1 冪律流體在可滲透性圓管中的流量

考慮冪律流體在一段具有滲透性管壁的圓管中流動(dòng)，設(shè)圓管內(nèi)徑為R，管壁是均質(zhì)的各向同性多孔介質(zhì)，其滲透率為k.若在圓管的兩端壓降為Δp，則流體就會(huì)在壓力梯度作用下在圓管內(nèi)沿軸向流動(dòng).如圖1所示為冪律流體在單根圓管中流動(dòng)示意圖.設(shè)冪律流體沿z軸流動(dòng)，流體在圓管內(nèi)半徑為r處受到與流動(dòng)方向相反的剪切力τ.在圓管內(nèi)取半徑為r的一段圓柱體流體，根據(jù)圓柱體中流體受力平衡得

圖1 冪律流體在單根圓管中流動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic of flow for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

剪切力τ的大小為

冪律流體的本構(gòu)方程為［12］

聯(lián)立方程（2）和（3）并整理得

邊界條件為［13］

式中，vB為壁面處的滑移速度，α為滑移參數(shù).

對(duì)于流體在管壁多孔介質(zhì)區(qū)域的流動(dòng)，滿(mǎn)足達(dá)西定理

式中，k為多孔介質(zhì)材料的滲透率，μa為冪律流體的視粘度（μa＝μ0˙γn－1）；QV為流體流過(guò)單位橫截面積的體積流量，此處的QV代表流體在多孔介質(zhì)中的滲透速度，而不是流體在多孔介質(zhì)中真正的流速.

方程（4）兩邊積分，并代入邊界條件（5a）

根據(jù)邊界條件（5b）和方程（4）可以得到滑移速度vB的大小：

通過(guò)可滲透性圓管的總流量為

圖2為根據(jù)方程（10）比較冪律流體在可滲透性圓管中和剛性管壁圓管（k＝0）中流量與壓強(qiáng)降的關(guān)系.其中非牛頓流體的稠度系數(shù)μ0＝0.1，圓管壁的滲透率大小為k＝10－12m2，管壁的滑移參數(shù)α＝0.1，冪律流體的冪指數(shù)n＝0.3，圓管內(nèi)半徑r＝10－6m.從該圖中我們可以看出，冪律流體在管壁可滲透性圓管中的流量要比剛性管壁圓管中流量大，這與文獻(xiàn)［14］給出的結(jié)論相一致，這可能是因?yàn)閳A管壁外的冪律流體通過(guò)管壁多孔介質(zhì)流入圓管內(nèi)的流量大于從圓管內(nèi)流出的流體流量.

圖2 冪律流體在可滲透性圓管中流量與壓強(qiáng)降的關(guān)系Fig.2 Flow rate vs.pressure drop for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

圖3顯示了冪律型流體（n＝0.8）和牛頓流體（n＝1）在可滲透性圓管中流量隨壓強(qiáng)降的變化關(guān)趨勢(shì)圖，該圖表明了無(wú)論是冪律流體還是牛頓流體，它們的流量都隨圓管兩端的壓強(qiáng)差的增加而增加，并且冪指數(shù)n越大，流量就越大.這是因?yàn)閮缰笖?shù)n是流體的非牛頓特點(diǎn)程度的量度，n越大，流體的非牛頓特性程度就越弱，流動(dòng)的粘滯阻尼越小，因此通過(guò)可滲透性圓管的流量也就越大.

2 結(jié)果分析與討論

圖3 比較冪律流體和牛頓流體在可滲透性圓管中流量隨壓強(qiáng)降的變化關(guān)系Fig.3 Comparing flow rate for power－law fluids with that for Newtonian fluids through a circular pipe with permeable wall atμ0＝0.1mPa·s，k＝10－10 m2，α＝0.1，r＝10－6 m

1）若管壁是剛性的、具有不可滲透性，則滲透率k趨近于0，根據(jù)方程（6）和（9），此時(shí)管壁的滑移速度vB趨近于0，此時(shí)通過(guò)圓管的總流量為：

此結(jié)果正好與Govier G.W.等人［12］得出的冪律流體在單根毛細(xì)管中流量結(jié)論一致，從而驗(yàn)證了本文對(duì)邊界條件設(shè)置的合理性和推導(dǎo)過(guò)程的正確性.

2）當(dāng)n＝1，該非牛頓流體蛻變?yōu)榕ｎD流體，根據(jù)方程（9），此時(shí)壁面的滑移速度為

將方程（12）代入方程（8），得出牛頓流體在圓管內(nèi)徑r處的流速為

將n＝1代入方程（10），并假設(shè)管壁是剛性、不可滲透性的材料，即vB＝0，方程（10）可以化簡(jiǎn)為

這正是圓管中完全發(fā)展的不可壓縮層流所滿(mǎn)足的Hagen－Posieulle方程［15-16］.

3 結(jié)論

本文通過(guò)理論推導(dǎo)得到了冪律型流體在具有滲透性管壁單根圓管中流動(dòng)的速度和流量的解析表達(dá)式，結(jié)果表明其速度和流量不僅與冪律流體的冪指數(shù)n有關(guān)，還與管壁的滲透率k及圓管的半徑R有關(guān)，這些都與物理實(shí)際情況相吻合.該理論模型可能為石油工程、生物系統(tǒng)（譬如支氣管樹(shù)、血管系統(tǒng)及其與之相關(guān)的一些真實(shí)物理系統(tǒng)等）等提供一些有價(jià)值的理論指導(dǎo).當(dāng)然，實(shí)際的血管系統(tǒng)可能是由一些血管組成分叉網(wǎng)絡(luò)，如果考慮這些分叉管道管壁的滲透性，研究?jī)缏闪黧w在由這種可滲透性管壁組成的分叉網(wǎng)絡(luò)中的流量和速度分布問(wèn)題，將會(huì)是更有實(shí)際意義的課題，這方面的工作正在進(jìn)行中.

［1］Chang J，Yortsos Y C.Pressure－transient analysis of fractal reservoirs［J］.SPE Form.Eval，1990，5（1）：31－38.

［2］Acuna J A，Ershaghi I，Yortsos Y C.Practical application of fractal pressure transient analysis of naturally fractured reservoirs［J］.SPE Form Eval，1995，10（3）：173－179.

［3］Zhang Bin，Yu Boming，Wang Haixia，et al.A fractal analysis of permeability for power－law fluids in porous media［J］，F(xiàn)ractals.2006，14（3）：171－177.

［4］Pearson J R A，Tardy P M J.Models for flow of non－Newtonian and complex fluids through porous media［J］.J Non－Newtonian Fluid Mech，2002，102：447－473.

［5］Woods J K，Spelt P D M，Lee P D，et al.Creeping flows of power－law fluids through periodic arrays of elliptical cylinders［J］.J Non－Newtonian Fluid Mech，2003，111（2－3）：211－228.

［6］Bear J.Dynamics of Fluids in Porous Media［M］.New York：Elsevier，1972.

［7］Das B.Non－Newtonian flow of blood in an arteriosclerotic blood vessel with rigidpermeable walls［J］.J Theor Biol，1995，175（1）：1－11.

［8］Bitoun J P，Bellet D.Blood flow through a stenosis in microcirculation［J］.Biorheology，1986，23（1）：51－61.

［9］Balhoff M T，Thompson K E.Modeling the steady flow of yield－stress fluids in packed beds［J］.AICHE J，2004，50：3034－3048.

［10］Yun Meijuan，Yu Boming，Xu Peng，et al.Fractal analysis of power－law fluid in a single capillary［J］.Chinese Physics Letters，2008，25（2）：616－619.

［11］Vajravelu K，Sreenadb S，Ramakrishna S，et al.Bingham fluid flow through a circular pipe with permeable wall［J］.ZAMM，1987，67：568－569.

［12］Govier G W，Aziz K.The flow of complex mixtures in pipes［M］.New York：Litton Edu Pub Inc，1972.

［13］Beavers G S，Joseph D D.Boundary conditions at a naturally permeable wall［J］.J Fulid Mech，1967，30：197－207.

［14］Parnas R，Cohen Y.Couple parllel flows of power－law fluids in a channel and bouning porous media［J］.Chem Eng Comm，1987，53：3－22.

［15］張也影.流體力學(xué)（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［16］Fox R W，McDonald A T，Pritchard P J.Introduction to Fluid Mechanics（6th Edition）［M］.USA：John Wiley ＆Sons，2004.

Power－law fluids flow in a circular tube with naturally permeable walls

XIAO Ming
（School of Physics and Electronic Information，Hubei University of Education，Wuhan 430205）

In order to understand the flow behavior mechanics of power－law fluids，the analytical expressions of velocity and flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall are derived based on generalized Darcy's law and constitutive equation for power－law fluids.It is found that the flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall is larger than that through a circular pipe with impermeable wall and the flow rate increases with the increase of power index n.

power－law fluids；permeable；constitutive equations；Hagen－Poiseuille equation

O373

A

1000－1190（2011）04－0561－04

2011－05－21.

＊E－mail：mxiaohwbei＠sina.com.