高中立體幾何之“傳統(tǒng)”與“向量”的PK

　　第一輪新課程改革的實(shí)施隨著2010年高考的結(jié)束告一段落，但是我們的新課程還將繼續(xù)，我們對(duì)新課程改革的探索與實(shí)踐還將繼續(xù)，我省高考中的立體幾何問題涉及一個(gè)翻折問題，新穎獨(dú)特，堪稱為一個(gè)好題，但從閱卷的情況看，學(xué)生的作答與得分情況并不理想，這種情況值得我們反思，目前高中立體幾何關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)實(shí)性生活，從生活中來，到生活中去，并將知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際的思考方式，知識(shí)點(diǎn)分成“空間幾何體、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”與“空間向量與立體幾何”兩塊，產(chǎn)生了“傳統(tǒng)歐氏推理體系”的立體幾何(以下簡(jiǎn)稱“傳統(tǒng)”)與“空間向量計(jì)算體系”的立體幾何(以下簡(jiǎn)稱“向量”)的雙線教學(xué)，目前關(guān)于涉及“立體幾何”具體教學(xué)的文獻(xiàn)已經(jīng)很多，多數(shù)都是圍繞具體題目的解法進(jìn)行展開，缺乏對(duì)立體幾何“雙線”的整體把握，筆者認(rèn)為我們要“治標(biāo)”就必須要“治本”，下面筆者就從“發(fā)展歷史”、“教學(xué)必要性”、“教學(xué)編排與內(nèi)容”三方面對(duì)兩者進(jìn)行對(duì)比分析，以期對(duì)我們今后的教學(xué)有所啟示。
　　
　　1　“發(fā)展歷史”的PK
　　
　　歐氏幾何學(xué)作為研究空間形態(tài)的科學(xué)，在數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)首先以幾何學(xué)的形式出現(xiàn)，幾何學(xué)提出的問題，誘發(fā)了一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)觀念和有力的數(shù)學(xué)方法，幾何學(xué)具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)、豐富的直觀背景以及鮮明的認(rèn)證層次，在直覺和形式化之間建立了一種特殊的聯(lián)系，使得幾何學(xué)成為啟發(fā)邏輯思維和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途徑，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞說過：“幾何是數(shù)學(xué)中的這樣一個(gè)部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對(duì)詞更好，即‘洞察’與‘嚴(yán)格’，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用，”這就明確地指出幾何學(xué)不只是一個(gè)數(shù)學(xué)分支，而且是一種思維方式，它滲透到數(shù)學(xué)的所有分支，對(duì)于幾何的思維價(jià)值，蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家科爾莫格羅夫的話也很精辟，他指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題轉(zhuǎn)化到幾何上的視覺化——幾何想象，或如平常人們所說的幾何直覺，對(duì)于幾乎所有數(shù)學(xué)分支的研究工作，甚至對(duì)于最抽象的工作有著重大意義?！?br/>　　向量從阿基米德的平行四邊形法則算起，至今已經(jīng)走過兩千多年的歷程，向量的原型是力，它是物理對(duì)象，阿基米德用有向線段表示力，使它又成為了幾何對(duì)象，文藝復(fù)興時(shí)期，笛卡爾發(fā)現(xiàn)用代數(shù)方法可以研究圖形的幾何性質(zhì)，劃時(shí)代地創(chuàng)立了解析幾何與坐標(biāo)方法，使得數(shù)量標(biāo)志幾何位置成為可能，引入坐標(biāo)系后，向量又成了一對(duì)有序?qū)崝?shù)(是指平面向量)，從而又變成了代數(shù)對(duì)象，所以向量實(shí)際上溝通了物理和數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)中又溝通了幾何與代數(shù)，人們習(xí)慣用“數(shù)”表示代數(shù)，“形”表示幾何，從而可見向量是“數(shù)形結(jié)合”的橋梁，這種溝通使數(shù)學(xué)大大增強(qiáng)了活力，向量是一種有用的數(shù)學(xué)工具，向量作為一種成熟的數(shù)學(xué)工具進(jìn)入幾何領(lǐng)域，又為人們解決這些領(lǐng)域的問題提供了新的方法，增加了新的視野，此后幾何學(xué)就沿著兩個(gè)方向發(fā)展，一是基于幾何直觀的傳統(tǒng)歐氏綜合幾何學(xué)，二是沿著解析幾何、向量幾何的方向發(fā)展，向量學(xué)科的形成和發(fā)展是一個(gè)不斷觀察現(xiàn)實(shí)世界和提出問題、分析問題和解決問題的過程，這說明數(shù)學(xué)思想與方法本身就是面對(duì)社會(huì)發(fā)展、服務(wù)于社會(huì)發(fā)展的，幾千年積累形成的數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)將繼續(xù)促進(jìn)社會(huì)的發(fā)展，如今向量已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)基本概念之一，是一個(gè)非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型，回顧向量的發(fā)展的歷史，我們會(huì)清晰地感到，向量作為一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，它的最早原型就是人們一刻也不能缺少的“力”、無處不在的“速度”、只要運(yùn)動(dòng)就會(huì)生成的“位移”等，可見向量并不是憑空產(chǎn)生的概念，它是由人們生存、生活、生產(chǎn)中時(shí)刻遇到的那些經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)不斷的抽象、升華、提煉而成，通過向量的教學(xué)，可以讓廣大師生知道，一個(gè)數(shù)學(xué)模型之所以能確立、發(fā)展，關(guān)鍵在于它具有廣泛的應(yīng)用性，社會(huì)發(fā)展需要它，它就會(huì)發(fā)展，社會(huì)也會(huì)因?yàn)樗陌l(fā)展而得到促進(jìn)。
　　
　　2　“教學(xué)必要性”的PK
　　
　　幾千年來，“傳統(tǒng)”幾何學(xué)科作為世界文明史的一個(gè)科學(xué)體系，雖經(jīng)歷風(fēng)雨，卻依然生機(jī)勃勃，一個(gè)根本原因就在于它本身的價(jià)值決定了它具有不可替代的教育價(jià)值，它是二種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具；有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的理性思維習(xí)慣；有助于發(fā)展學(xué)生演繹推理和邏輯思維能力；有利于學(xué)生形成科學(xué)的世界觀和理性精神；能為創(chuàng)造活動(dòng)提供豐富的素材；可以作為各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型，史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律進(jìn)行抽象，通過概念和符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算與邏輯推理的科學(xué)，”從這個(gè)數(shù)學(xué)的定義來看，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)、定理，更重要的是要鍛煉學(xué)生的思維能力(包括邏輯思維能力、空間想象能力和推理證明能力)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，從另一方面來看，新課程中增加了獨(dú)立的“推理與證明”章節(jié)，而“傳統(tǒng)”幾何正是以“推理與證明”為根本的，王林全教授認(rèn)為證明在數(shù)學(xué)教育中的地位可考慮以下幾個(gè)方面：(1)在數(shù)學(xué)教育中，解釋、判斷和證明的重要性；(2)在課堂教學(xué)中，建立證明教學(xué)的條件；(3)通過證明教學(xué)，幫助學(xué)生建立推理論證的數(shù)學(xué)思想方法，所以，數(shù)學(xué)教學(xué)能夠通過邏輯論證把數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生的思維過程，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生思維能力，數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值在于：(1)通過證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；(2)通過證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的)以及數(shù)學(xué)交流能力；(3)通過證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識(shí)系統(tǒng)化；(4)通過證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識(shí)，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，是做數(shù)學(xué)的基本功，也是人們?cè)赺般學(xué)習(xí)和生活中常用的思維方式，是發(fā)展理性思維的重要方面：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的區(qū)別除了研究對(duì)象不同之外，最突出的就是數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律的正確性必須用推理的方式來證明，而在證明的過程中，又經(jīng)常要用合情推理去猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路，因此，無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)，還是對(duì)于學(xué)生理性思維的培養(yǎng)，都需要在基礎(chǔ)教育階段的高中數(shù)學(xué)中加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，傳統(tǒng)幾何歷經(jīng)風(fēng)雨一直被世界各國(guó)視為重點(diǎn)，雖經(jīng)歷多年的爭(zhēng)論，但最終取得的共識(shí)是：幾何學(xué)中的嚴(yán)密推理對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想能力具有重要的作用。
　　從控制論的角度分析，學(xué)習(xí)一門課程好比瀏覽一個(gè)城市，課程的邏輯體系，就好比城市的交通系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)有一個(gè)“放射型”的交通中心，交通中心應(yīng)該四通八達(dá)，找到它，我們到哪兒都方便，而歐幾里德的幾何體系沒有一個(gè)突出的中心，沒有一個(gè)能讓學(xué)生俯瞰全局的制高點(diǎn)，它的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)式而不是放射型的，《幾何原本》的每一節(jié)都那么重要，任何一部分沒有學(xué)好，往前走路就斷了，這就是串聯(lián)邏輯結(jié)構(gòu)的特征，從問題解決的角度分析，“傳統(tǒng)”立體幾何體系的又一個(gè)問題在于它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法，學(xué)生學(xué)會(huì)了加減乘除，就會(huì)算很多算術(shù)題；學(xué)會(huì)了解方程、方程組，就能解大量的方程應(yīng)用題，而幾何方面，盡管人們學(xué)了一堆幾何定理，仍然會(huì)在一些其實(shí)并不難解的問題面前束手無策，立體幾何給出的基本解題工具主要是全等三角形和相似三角形，而許多問題里面的圖形，并不包含這些，要用上它們，往往要作輔助線，可怎樣作輔助線呢?這同樣是一個(gè)難點(diǎn)，也使得很多學(xué)生束手無策，平面幾何如此，立體幾何也如此，當(dāng)然，三角法在立體幾何中是一個(gè)應(yīng)用廣泛的方法，甚至是一個(gè)通法，但是三角法的應(yīng)用仍然沒有改變立體幾何難學(xué)的狀況，那是因?yàn)榱Ⅲw幾何的知識(shí)的基底太多，比如，要求二面角的大小，必須先造角，那么如何去造，方法就有很多，而且每一個(gè)具體的問題，幾乎只有一種造法，這樣在學(xué)生手頭，每一個(gè)問題都是新的，學(xué)生對(duì)立體幾何學(xué)習(xí)失敗的歸因方向不言而喻，“立體幾何太難了”、“我不是學(xué)幾何的料”是較多學(xué)生的結(jié)論，因此在立體幾何的學(xué)習(xí)中引入一種新的工具是在所難免的，這時(shí)候空間向量成為了理想的工具，吳文俊先生認(rèn)為：“歐幾里得體系除了數(shù)量關(guān)系，純粹在形式間經(jīng)過公理、定理來進(jìn)行邏輯推理……盡管立體幾何漂亮的定理有的是，漂亮的證明也有的是，但是你跑不遠(yuǎn)，更不能騰飛……對(duì)于幾何，對(duì)于研究空間形式，你要真正的騰飛，不通過數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好辦法，”由此可見，傳統(tǒng)的幾何要“騰飛”，必須引入具有“數(shù)量關(guān)系”的空間向量，幾何發(fā)展的根本出路在于幾何代數(shù)化，這其中的原因除了用代數(shù)方法研究幾何問題能“以數(shù)釋形”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力外，還有一個(gè)很重要的原因就是，隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，很多現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題后，需要用計(jì)算機(jī)輔助處理，其中有關(guān)幾何圖形的問題計(jì)算機(jī)是無法直接處理的，只有將幾何圖形“翻譯”成代數(shù)語言，再編寫程序，從而達(dá)到處理幾何圖形的目的，研究幾何圖形的代數(shù)方法有很多種，如面積和體積的計(jì)算，笛卡爾時(shí)代的坐標(biāo)幾何，向量幾何等，其中被實(shí)踐證明，對(duì)高中學(xué)生較為有效的方法是向量幾何，這是由于實(shí)現(xiàn)幾何代數(shù)化首先應(yīng)把幾何中一個(gè)最基本的幾何量——“兩點(diǎn)的相對(duì)位置(位移)”代數(shù)化，兩點(diǎn)的相對(duì)位置是幾何中最基本的幾何量，它包括距離和方向兩個(gè)要素，把這個(gè)量加以抽象，就引出向量的概念，然后把幾何中的全等和平行(平移)、相似等轉(zhuǎn)化為向量的加法、數(shù)乘向量和數(shù)量積三個(gè)運(yùn)算，這樣就把空間圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量代數(shù)體系中的運(yùn)算，向量運(yùn)算體系與算術(shù)、代數(shù)運(yùn)算體系基本相似，學(xué)生就可以運(yùn)用他們熟悉的代數(shù)方法進(jìn)行推理，來進(jìn)一步掌握空間圖形的性質(zhì)，所以向量有助于學(xué)生更容易理解和掌握幾何代數(shù)化的方法，引入空間向量可以更新學(xué)生對(duì)空間形式的思維方法，為學(xué)生建立一種符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展要求的思維方式，同時(shí)由于向量運(yùn)算體系與算術(shù)、代數(shù)運(yùn)算體系基本相似，學(xué)生就可運(yùn)用他們熟悉的代數(shù)方法進(jìn)行推理，來掌握?qǐng)D形的性質(zhì)，從而豐富了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，到高中階段學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)幾何的代數(shù)化方法，這是當(dāng)前世界各國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)階段要求達(dá)到的水平，高中學(xué)生初步學(xué)習(xí)幾何的代數(shù)化方法，能為以后的學(xué)習(xí)打下較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　但是，空間向量引入立體幾何的嘗試并不是第一次，20世紀(jì)60年代，國(guó)外有一批熱心改革的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，發(fā)起了一場(chǎng)轟轟烈烈的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，但是他們的改革走了極端，例如，著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家狄東尼甚至提出了“歐幾里德滾蛋”的口號(hào)，他們的想法是讓向量運(yùn)算來取代立體幾何，結(jié)果遭到了挫折，有人說新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)以失敗告終，有人則反對(duì)這種說法，認(rèn)為不算失敗，不管怎么說，反正是進(jìn)行不下去了，為什么沒有成功呢?也許從事這一運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家們沒有真正弄清楚歐幾里德體系能夠占領(lǐng)課堂兩千多年的原因吧，他們想簡(jiǎn)單的切斷歷史，讓學(xué)生從上一代人的終點(diǎn)開始，盡快的吸取近代甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的成就，結(jié)果表明，這只是一廂情愿的良好愿望，人的認(rèn)知過程是有客觀規(guī)律的，我們很難期望用數(shù)學(xué)家的領(lǐng)悟來代替中學(xué)生的領(lǐng)悟，更不能希望中學(xué)生跳過一系列的認(rèn)識(shí)發(fā)展階段，直達(dá)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大門，這說明，在高中數(shù)學(xué)中引入空間向量的同時(shí)，絕對(duì)不能忽略“傳統(tǒng)”立體幾何的教學(xué)。
　　
　　3　“教學(xué)編排與內(nèi)容”的PK
　　
　　在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中，立體幾何安排為三個(gè)模塊，必修教材中有兩個(gè)模塊，一是空間幾何體：觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體及其簡(jiǎn)單組合體；能畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，能識(shí)別三視圖所表示的立體模型，二是了解空間圖形的不同表示形式，點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的性質(zhì)和判定；能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，選修教材中有一個(gè)模塊，空間向量與立體幾何：掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系，能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理，能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題。
　　新課程中的立體幾何教學(xué)分成幾個(gè)部分，并分布在不同的教材之中，逐步進(jìn)行深入與學(xué)習(xí)，不象舊教材中比較集中，相對(duì)要分散，新教材的引入是這樣的：幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，空間幾何學(xué)是幾何學(xué)的重要組成部分，它在土木建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航海測(cè)繪等大量實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用，我們從對(duì)空間幾何體的整體觀察人手，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖，了解一些簡(jiǎn)單的幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法，這樣的一個(gè)編排方式，使學(xué)生更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)的角色，比如不少學(xué)生在立體幾何中的數(shù)學(xué)語言這一關(guān)上問題很大，學(xué)生數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的問題解決有利于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言內(nèi)容到形式的統(tǒng)一，使學(xué)生感受到立體幾何的具體實(shí)在，可以克服對(duì)立體幾何抽象性的恐懼感，從具體到抽象，又將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成具體的圖形形象，新課程有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)世界，運(yùn)用知識(shí)能力的提高和向量運(yùn)算能力的加強(qiáng)，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的難度。
　　“傳統(tǒng)”立幾在新舊教材處理方法上的變化反映于以下幾點(diǎn)：(1)從局部到整體，具體到抽象，舊教材：點(diǎn)、線、面——柱、錐、臺(tái)、球，新教材：柱、錐、臺(tái)、球——點(diǎn)、線、面；(2)專設(shè)“空間幾何體的三視圖”這一節(jié)，重點(diǎn)在于培養(yǎng)空間想象能力；(3)“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”推進(jìn)路線，舊教材：平面——線線——線面——面面，新教材：平面——平行——垂直；(4)空間幾何體：強(qiáng)調(diào)直觀感知，引進(jìn)結(jié)構(gòu)特征、線面關(guān)系，強(qiáng)調(diào)操作確認(rèn)，學(xué)會(huì)思辨論證；(5)線線、線面、面面關(guān)系，舊教材：判定定理和性質(zhì)定理都要求邏輯推理，對(duì)于平行垂直，既重定性又重定量，新教材：判定定理要求操作確認(rèn)、合情推理，性質(zhì)定理要求思辨論證、邏輯推理，對(duì)于平行與垂直，重在定性；(6)不要求用反證法證明簡(jiǎn)單的問題。
　　“向量”在解決立體幾何問題中主要有三個(gè)方面的應(yīng)用：(1)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；(2)求線、面所成的角度；(3)求點(diǎn)、線、面的距離問題，而現(xiàn)在立體幾何問題的題型也主要有下面幾種形式：(1)計(jì)算問題，(2)證明問題，(3)探究性問題：①軌跡判斷問題，②取值范圍問題，③存在性問題，向量解決立體幾何問題的方式主要有兩種：(1)代數(shù)式運(yùn)算方式，(2)向量坐標(biāo)運(yùn)算方式，一般來說，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，思維量更少，運(yùn)算技巧性更低，更容易掌握，但坐標(biāo)運(yùn)算方式的弱點(diǎn)是要十分精確地寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確無誤地寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，坐標(biāo)一錯(cuò)則全盤皆錯(cuò)，另外，有些情況下可能并不是很方便建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)不妨考慮用代數(shù)式運(yùn)算，只是運(yùn)算技巧相對(duì)要強(qiáng)一些，從整體來看，學(xué)生通過向量法解決立體幾何問題，主要有4種方法：(1)向量的加、減法，向量的數(shù)乘；(2)AB·CD=|AB|·|CD|·cosθ(θ為AB與CD的夾角)；(3)利用向量垂直的特殊位置關(guān)系；(4)向量的代數(shù)式，學(xué)生只要學(xué)會(huì)了上面四種方法，大部分的立體幾何問題都可以迎刃而解，其中第四種向量的代數(shù)式，較前幾種方法稍難一些。
　　
　　4　結(jié)束語
　　
　　通過上述“傳統(tǒng)”與“向量”的PK，我們發(fā)現(xiàn)在“傳統(tǒng)”與“向量”之間存在著一種辨證關(guān)系，我們不能片面地說孰好孰壞，而應(yīng)該從辨證的角度來看待它們，用“傳統(tǒng)”方法是幾何方法，而“向量”方法是代數(shù)方法，無論是代數(shù)領(lǐng)悟力好的學(xué)生，還是空間感強(qiáng)的學(xué)生，都找到了一種適合自己的解題方法，這樣更符合我國(guó)新課程的理念，體現(xiàn)了立體幾何課程對(duì)全體學(xué)生的適應(yīng)性，即為不同學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，打好不同的基礎(chǔ)，從而獲得最佳發(fā)展，這也是適合國(guó)際人才需求發(fā)展的需要，“傳統(tǒng)”與“向量”的雙線教學(xué)使學(xué)生在掌握有關(guān)知識(shí)，增強(qiáng)解決問題能力的同時(shí)，還了解到數(shù)學(xué)為什么今天被人們稱為數(shù)學(xué)文化的原因，了解到數(shù)學(xué)發(fā)展必須緊扣社會(huì)發(fā)展的脈絡(luò)，了解到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一，了解到數(shù)學(xué)就在我們身邊，數(shù)學(xué)并不是空想出來的，而是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的濃縮，它是現(xiàn)實(shí)生活中具體事例的特例，從而，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在生活中，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。
　　
　　參考文獻(xiàn)
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　　4　吳麗娟，知其變，更應(yīng)知其所以變，數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，(