耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及其自適應(yīng)控制

吳淑花,劉振永,郝建紅,馬志春

(1.石家莊學(xué)院物理與電氣信息工程系,河北石家莊 050035;2.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院,北京 102206)

耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及其自適應(yīng)控制

吳淑花1,劉振永1,郝建紅2,馬志春1

(1.石家莊學(xué)院物理與電氣信息工程系,河北石家莊 050035;2.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院,北京 102206)

利用相圖、龐加萊截面、功率譜、時(shí)間序列圖分析了耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的混沌吸引子的特點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性、平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性等基本動(dòng)力學(xué)特性。提出了在目標(biāo)態(tài)未知的情況下利用自適應(yīng)反饋法將混沌系統(tǒng)精確地控制到不穩(wěn)平衡點(diǎn),并給出了理論證明,數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。

耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng);動(dòng)力學(xué)特性;自適應(yīng)控制

近年來(lái),由于混沌控制具有巨大的應(yīng)用前景而吸引了物理學(xué)家的極大興趣。1990年,OTT等基于有無(wú)窮多的不穩(wěn)定周期軌道嵌入在奇怪吸引子中這一事實(shí),提出了一種利用混沌內(nèi)在特性的控制策略(即OGY法)[1]。此后,人們提出了許多混沌控制的方法,這些控制方法大體可以分為反饋方法和非反饋方法2大類(lèi)[2-8]。反饋方法有OGY法、自適應(yīng)控制、延遲反饋控制(DFC)、線性反饋控制、非線性反饋控制、變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制等等。非反饋控制方法有弱周期參數(shù)擾動(dòng)法、弱周期脈沖附加法、弱噪聲信號(hào)附加法等等。每種方法都有其優(yōu)勢(shì)和不足,選擇合適的方法是有效進(jìn)行混沌控制的關(guān)鍵。

深入細(xì)致地研究系統(tǒng)的混沌行為將有助于認(rèn)識(shí)和有效地進(jìn)行混沌形態(tài)的控制。筆者就文獻(xiàn)[9]中的耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)模型,利用理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真、Poincaré截面圖等,分析了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性。已有學(xué)者對(duì)該系統(tǒng)的混沌控制作了大量的研究[9-11]。文獻(xiàn)[9]中,作者用2種反饋方法(單反饋法和雙反饋法)將耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)和極限環(huán),數(shù)值模擬結(jié)果顯示這2種反饋方法是非常有效的,然不足的是需要提前計(jì)算得到目標(biāo)態(tài)的精確信息。筆者將反饋方法進(jìn)一步完善,在不知道目標(biāo)態(tài)的精確信息情況下,利用自適應(yīng)控制法將耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)控制到不穩(wěn)平衡點(diǎn),并對(duì)該方法的控制過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬。

1 耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的混沌模型

耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)是1個(gè)具有混沌特征的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),該系統(tǒng)由2個(gè)連接在一起的發(fā)電機(jī)組成,其中任何一臺(tái)發(fā)電機(jī)都處于另一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流所形成的磁場(chǎng)中。選擇適當(dāng)變量,該系統(tǒng)可以用下面的1個(gè)四維常微分方程組來(lái)表示[10-11]:

其中x1,x2分別表示2臺(tái)發(fā)電機(jī)的電流變量;ω1,ω2表示2個(gè)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度;q1,q2為轉(zhuǎn)子受到的扭轉(zhuǎn)力矩;μ1,μ2,ε1和ε2是表征發(fā)電機(jī)耗散效果的正數(shù)參數(shù)。令ε1=ε2=0,則耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)可用1個(gè)具有混沌特征的三維自治方程組來(lái)描述:

其中,μ和α分別作為系統(tǒng)的控制參數(shù)(μ為正數(shù)參數(shù),α為非零參數(shù))。當(dāng)μ>1/2時(shí),系統(tǒng)(1)的向量場(chǎng)散度

其中,F=(F1,F2,F3)=(-μx1+x2(x3+α),-μx2+x1(x3-α),x3-x1x2)。

可見(jiàn),系統(tǒng)(1)是類(lèi)似于Lorenz的受迫耗散系統(tǒng),但不拓?fù)涞葍r(jià)[12]。故?t≥0,?x1(t),x2(t)和x3(t)全局有界并且連續(xù)可微。變換(x1,x2,x3)→(-x1,-x2,x3)后,系統(tǒng)保持不變,故系統(tǒng)具有以x3為軸的自然對(duì)稱(chēng)性。

2 耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的典型混沌吸引子

當(dāng)參數(shù)μ=2和α=3時(shí),作者研究了系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為。圖1a)—圖1d)顯示了系統(tǒng)(1)具有1個(gè)典型的混沌吸引子(本文中的單位均采用約化單位);圖1e)反映了在x1=0截面上的龐加萊映像,這些點(diǎn)形成了具有某種形狀和自相似結(jié)構(gòu)的圖案;圖1f)顯示了x3(t)的功率譜是連續(xù)的;圖1g)反映了x3(t)的時(shí)間序列是非周期的。

用奇異值方法計(jì)算得到系統(tǒng)(1)的3個(gè)Lyapunov指數(shù):λ1=0.449 3,λ2=0,λ3=-3.449 3。按照Kaplan和Yorke猜想[13],可求出系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)

系統(tǒng)(1)具有分?jǐn)?shù)維。以上分析表明系統(tǒng)(1)在參數(shù)μ=2和α=3時(shí)的運(yùn)動(dòng)是混沌的。

2.2 耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析

圖1 當(dāng)μ=2,α=3時(shí)系統(tǒng)(1)的混沌動(dòng)力學(xué)行為分析Fig.1 Dynamical analysisof sysytem(1)atμ=2 andα=3

將系統(tǒng)(1)在各平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式統(tǒng)一表示為

由式(2)計(jì)算得到E0(0,0,0)處的特征多項(xiàng)式

由式(3)和式(4)可知,此時(shí)A=2μ-1,B=α2+μ2-2μ,C=-α2-μ2,AB-C=2μ(α2+(μ-1)2)。

根據(jù)Routh-Hurw itz條件,當(dāng)僅當(dāng)A>0,B>0,C>,AB-C>0時(shí),所有的特征值才都具有負(fù)實(shí)部。本系統(tǒng)在μ>1/2的條件下,C<0。也就是說(shuō),不是所有的特征值都具有負(fù)實(shí)部,因此平衡點(diǎn)E0(0,0,0)是三維相空間中的一個(gè)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

把系統(tǒng)(1)分別在平衡點(diǎn)E1,E2,E3,E4處線性化,可以得到如下相同的特征多項(xiàng)式

在μ>1/2條件下,根據(jù)Routh-Hurw itz條件判定,這4個(gè)平衡點(diǎn)(E1～E4)都是三維相空間中的不穩(wěn)定焦點(diǎn),其位置具有對(duì)稱(chēng)性。觀察圖1a)—圖1d),系統(tǒng)(1)的吸引子不但具有低維混沌吸引子的一般特點(diǎn),還具有更復(fù)雜的折疊和拉伸結(jié)構(gòu),這說(shuō)明了系統(tǒng)(1)在局部上比低維混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的不穩(wěn)定性。圖1a)顯示不穩(wěn)鞍點(diǎn)E0居于混沌吸引子的中央,整個(gè)吸引子以x3軸對(duì)稱(chēng)。周邊的4個(gè)環(huán)形區(qū)域各圍繞1個(gè)不穩(wěn)定的焦點(diǎn),形成1個(gè)多邊的螺旋型的混沌吸引子。系統(tǒng)(1)有5個(gè)平衡點(diǎn),而Lo renz系統(tǒng)只有3個(gè),因此,它完全不同于Lo renz系統(tǒng),它的復(fù)雜性大大增加了混沌控制的難度。

3 自適應(yīng)控制

3.1 自適應(yīng)控制器

考慮一個(gè)n維非線性動(dòng)力系統(tǒng)˙x1=fi(x),在右邊加入控制器u后受控系統(tǒng)變?yōu)?/p>

當(dāng)系統(tǒng)被控制到固定點(diǎn)時(shí),這個(gè)控制擾動(dòng)將趨于0。構(gòu)造一個(gè)具有可變反饋增益ki(t)的閉環(huán)系統(tǒng)[14]

其中,ε∈Rn+,可變反饋增益k(t)∈是一個(gè)非增加的正函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)x＊時(shí),k趨于其最大值k＊。計(jì)算平衡態(tài)y的位置[14]

其中,y∈Rn,λ∈,這種性質(zhì)保證了對(duì)任何λ>0的解有界并且y→x＊。由式(5)、式(6)和式(7)構(gòu)成控制系統(tǒng)[15]

然而,經(jīng)PYRAGAS證實(shí),λ>0時(shí),該控制器不能穩(wěn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍點(diǎn),只有λ<0時(shí)可以穩(wěn)定[14]。

因?yàn)閒(x)是有界的,意味著?l<∞,?i,有|fi(x)|≤l|xi-yi|。如果xi≠yi,選擇L>l,由上式得到如下的不等式

當(dāng)?i,xi=yi時(shí)有˙V=0。按照LaSalle不變?cè)?式(10)保證了t→∞在系統(tǒng)˙xi=fi(x)的任何有界的解都趨于不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

3.2 數(shù)值模擬

此控制器具有一定的靈活性,通過(guò)選擇不同的施控時(shí)間,可以將系統(tǒng)控制到不同的不穩(wěn)平衡點(diǎn)上,控制的目標(biāo)由施加控制時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡決定。也就是說(shuō),施控時(shí),未被控制的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到距離最近的不穩(wěn)平衡點(diǎn)將被穩(wěn)定。

通常情況下,上面的控制器維數(shù)被簡(jiǎn)化使用。如果將一維控制器加到系統(tǒng)(1)的第1個(gè)方程上,受控系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?

選取μ=2,α=3,時(shí)間步長(zhǎng)取0.01,采用四階Runge-Kutta法求解方程(11)。在以下所有數(shù)值模擬中選擇初始值(x1,x2,x3,k,y)t=0=(1,1,2,0,0)。

3.2.1 對(duì)不穩(wěn)焦點(diǎn)E1～E4的穩(wěn)定

將控制器加在系統(tǒng)(1)第1個(gè)子方程上(見(jiàn)方程(11)),令ε=0.3,λ=0.3,在t=11時(shí)刻加入控制,系統(tǒng)(1)被穩(wěn)定在E1(-1.045,3.451,-3.606)點(diǎn)(見(jiàn)圖2所示)。改變控制時(shí)間t=12,系統(tǒng)(1)被穩(wěn)定在另一個(gè)平衡態(tài)E2(1.045,-3.451,-3.606)點(diǎn)。

將控制器加在系統(tǒng)(1)的第2個(gè)子方程上,令ε=0.3,λ=0.3,在t=11時(shí)刻加入控制,系統(tǒng)(1)被穩(wěn)定在E3(3.451,1.045,3.606)點(diǎn);當(dāng)控制時(shí)間為t=12時(shí),系統(tǒng)(1)被穩(wěn)定在E4(-3.451,-1.045,3.606)點(diǎn)。

3.2.2 穩(wěn)定不穩(wěn)鞍點(diǎn)E0

將控制器加在系統(tǒng)(1)的第3個(gè)子方程上,令ε=0.3,λ=-0.3,在t=12時(shí)刻加入控制,系統(tǒng)(1)被穩(wěn)定

在E0點(diǎn)。圖3顯示了鞍點(diǎn)E0被穩(wěn)定的過(guò)程。

4 結(jié) 語(yǔ)

研究了耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的基本性質(zhì),計(jì)算了Lyapunov指數(shù)和維數(shù)、時(shí)域波形圖、頻譜圖和龐加萊截面圖,討論了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性?；贚aSalle不變?cè)碓O(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)控制器,在不知道系統(tǒng)目標(biāo)態(tài)的情況下實(shí)現(xiàn)了耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的混沌控制。數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法簡(jiǎn)單,易于操作,且控制效果好,收斂的速度快,在實(shí)際工程中有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

[1] OTT E,GREBOGIC,YORKEJ A.Controlling chaos[J].Phys Rev Lett,1990,64:1 196-1 199.

[2] CHEN G.On some controllability conditions of chaotic dynamics control[J].Chaos,Solitons&Fractals,1997,8(9):1 461-1 470.

[3] PYRAGAS K,TAMASEV ICIUSA.Experiment control of chaos by delayed self-controlling feedback[J].Phys Lett A,1993,180:99-102.

[4] RAM ESH M,NARAYNAN S.Chaos control by nonfeedback methods in the p resence of noese[J].Chaos,Solitons&Fractals,1999, 10(9):1 473-1 489.

[5] RAJASEKAR S,MURRAAL I K,LA KSHMANAN M.Control of chaos by nonfeedback methods in a simple electronic circuit system and the Fitz Hugh-Nagumo equation[J].Chaos,Solitons&Fractals,1997,8(9):1 554-1 558.

[6] FRANZM,ZHANGM H.Sup ression and creation of chaos in a periodically forced Lorenz system[J].Phys Rev E,1994,52(4):3 558-3 565.

[7] 陳予恕,梁建術(shù).自適應(yīng)延遲反饋控制混沌方法[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)(Journal of Hebei University of Science and Technology),2006, 27(4):267-271.

[8] 梁建術(shù),劉廷召.不變流行法對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的混沌控制[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)(Journal of Hebei University of Science and Technology), 2003,24(2):13-18.

[9] 王興元,武相軍.變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)中的混沌控制[J].物理學(xué)報(bào)(Acta Physica Sinica),2006,55(10):5 083-5 093.

[10] AGIZA H N.Controlling chaos for the dynamical system of coup led dynamos[J].Chaos,Solitons&Fractals,2002,13:341-352.

[11] L IS H,TIAN Y P.Global stabilization of a coup led dynamo system[J].Chaos,Solitons&Fractals,2003,16:787-793.

[12] VANECEK A,CEL IKOVSKY S.Control system s:From linear analysis to synthesis of chaos[M].London:Prentice-Hall,1996.

[13] HUANGD.Adap tive-feedback control algo rithm[J].Phy Rev E,2006,73(6):66 204-66 211.

[14] PYRAGAS K,PYRAGS V,KISS I Z,etc.Adap tive control of unknow n unstable steady states of dynamical system s[J].Phys Rev E, 2004,70(2):26 215-26 226.

[15] BRAUN D J.Adap tive steady-state stabilization for nonlinear dynamical system s[J].Phys Rev E,2008,78(1):16 213-16 218.

Dynamical analysis and adap tive control fo r coupled dynamos system

WU Shu-hua1,L IU Zhen-yong1,HAO Jian-hong2,MA Zhi-chun1
(1.Department of Physics and Electrical Information Engineering,Shijiazhuang University,Shijiazhuang Hebei 050035,China;2.School of Electric and Electronic Engineering,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

The basic dynamic characters fo r the coup led dynamos system are analyzed by phase map,Poincarésection,power spectrum and time series.It involves chaotic attracto r,symmetry,equilibrium states and stability.In the case w here the know ledge of goal states is not know n,an adap tive feedback control is used to stabilize unstable steady states for the coup led dynamos system,and the academic p rovenance is given.Numerical simulations verify the validity and feasibility of themethod. Key words:coup led dynamos system;dynamical p roperties;adap tive control

TM 31;TP273+.2

A

1008-1542(2010)03-0214-05

2009-12-07;

2010-01-08;責(zé)任編輯:王士忠

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10775018)

吳淑花(1968-),女,河北石家莊人,講師,碩士,主要從事非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制方面的研究。