對物理教材中兩個概念的討論

樊麗儉 馮振宇

(長安大學理學院陜西,西安 710064)

對物理教材中兩個概念的討論

樊麗儉 馮振宇

(長安大學理學院陜西,西安 710064)

通過對某些教材中涉及有關功與勢能計算的表述之討論,指出教材的編寫須嚴謹而深刻.

教材;功;勢能

在我國大學現(xiàn)行的物理教學實踐中,一般來說,都會選定一本公開出版發(fā)行的物理教材作為該門課的教科書.《新華詞典》對教材與教科書有如下解釋[1]:

教材根據(jù)各種教學要求而編寫或選定的教科書、講義、講授提綱、參考資料等的統(tǒng)稱.

教科書根據(jù)各門學科教學要求編寫的供教學使用的正式課本.……是教師講授和學生學習的基本依據(jù).

本文所討論的物理教材實際上就是上述的教科書.由上述解釋可見,教科書對于一門課程的教學是如此重要,因為它是教學的“基本依據(jù)”.如果這個“基本依據(jù)”的某些內(nèi)容在講述上不夠嚴謹,或者在解釋某些結論時沒有觸及問題的本質(zhì),可想而知這會對教學特別是對初學者造成多么大的影響,本文將通過兩個例子來說明這個問題.

1 關于力矩的功

一個物體受力的作用而引起的運動狀態(tài)的變化,不僅決定于力的大小和方向,而且與物體在力的作用下經(jīng)過的路程有關.功就表示了力在一段路程上的積累效應.因此當提到功這個物理量時,嚴格地說應該稱為力做的功.

作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的一個大小不變的力做的功,等于該力對于轉(zhuǎn)軸的矩乘以剛體轉(zhuǎn)過的角位移.不少教材[2～22]在介紹作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力做的功其計算公式時,都用了“力矩的功”這樣一個提法,這顯然是不妥當?shù)?盡管文獻[2]和[8]在給出計算公式后專門用一段話作了說明,指出這里所說的力矩的功本質(zhì)上仍然是力做的功,但作為供學生和教師使用的正式教科書,這種處理方法是不夠嚴謹?shù)?首先,教材與專著的區(qū)別之一是教材中所涉及的內(nèi)容應該是成熟的并被嚴格規(guī)范了的理論與實踐成果,對于經(jīng)典力學的內(nèi)容尤其如此.因此,在物理教材的編寫中,更應注重其用詞用語的科學性、嚴謹性和規(guī)范性.盡管“力矩的功”這樣的說法經(jīng)常出現(xiàn)在一些工程技術人員的口頭表達中,但作為教材,是不宜把這種不嚴格的口頭語言寫入教材的.其次,不少教材在用了“力矩的功”這樣一個提法后,在敘述或解釋所得到的計算公式時還用了“作用于剛體上的力矩”這樣的說法,甚至還出現(xiàn)了“力矩做功”、“力矩可以使剛體轉(zhuǎn)動,在此過程中,力矩對剛體做了功”、“剛體在外力矩作用下發(fā)生角位移時,力矩也要對剛體做功”以及“力矩的功與力的功一樣,也是過程量,反映了力矩在空間上的累積效應”等這樣一些不夠嚴謹?shù)谋硎?這樣做會給初學者帶來概念上的混亂.因為力矩不是一個作用量,它只是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應的度量,作用于物體的只能是力和力偶這兩個獨立的力學要素.如果在教材中用了上述不規(guī)范的提法,就會使初學者混淆力矩和力偶在概念上的區(qū)別,誤導學生產(chǎn)生力矩是作用量的錯誤認識.

鑒于上述討論,筆者在此提出如下兩點建議:

第一,大多數(shù)物理教科書在涉及動能定理這一章中介紹功的計算時常常只介紹重力、彈性力、萬有引力以及摩擦力做功的計算,而把介紹作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上力的功這個內(nèi)容放在了剛體轉(zhuǎn)動這一章里,但恰恰是這樣的內(nèi)容編排最容易引起初學者在概念上的誤解.從這個意義上說,現(xiàn)行物理教科書這樣的內(nèi)容編排是弊大于利的.因為如果把這個內(nèi)容放在剛體轉(zhuǎn)動這一章里講,再加上教材使用了不規(guī)范的提法,作為初學者,即使學生可以對此進行正確的計算,但從概念上說,其計算結果往往會誤導學生產(chǎn)生這是力矩做功的錯誤概念.因此建議把這個內(nèi)容放到動能定理這一章中,將其與重力等其他各類力的做功一起討論,并強調(diào)這是作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力做的功,而不是力矩的功,但這個功的大小等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與剛體角位移的乘積.這樣做不僅可以有效地避免學生產(chǎn)生錯誤的理解,而且可以進一步把質(zhì)點系內(nèi)力、剛體的內(nèi)力以及約束反力的功的計算納入討論范疇,從而進一步強化力做功的概念.

第二,幾乎所有的物理教材都不討論力偶做功的內(nèi)容,但在一些問題中又涉及力偶做功的計算,筆者認為這是一個需要解決的涉及基本概念的重要問題.力偶是由兩個等值、反向、平行的力所組成的力系.但從理論上講,力偶一經(jīng)定義,它就與力在地位上是對應與平等的,它就成為了一個獨立于力之外的另一個可以作用于剛體的力學要素.同理,盡管從初始計算上講是通過計算組成力偶的兩個力做的功來推導力偶做功計算公式(其結論是:力偶做功的大小等于度量該力偶作用效果的力偶矩和剛體轉(zhuǎn)過的角位移的乘積),因為這個推導必須從力偶的原始定義出發(fā),但力偶做功的計算公式一經(jīng)推出,就應該與力做功的計算公式在地位上是對應和平等的.因此,只討論力的功,而不討論力偶的功,這在理論上是矛盾的,在邏輯上是有瑕疵的.因為這就相當于否定了力偶是獨立于力之外的另一個作用于剛體上的力學要素這個基本概念,甚至從某種意義上說,是否定了在力學中引入或定義力偶這個概念的必要性和重要性,否定了力偶這個概念存在的意義.因此,在教材中是否討論力偶做功并不是一個簡單的內(nèi)容增刪問題,而是涉及力學自身在理論體系與概念構建上是否嚴謹、科學的問題.基于上述討論,建議在教材編寫與課堂教學中添加力偶做功的內(nèi)容.

2 關于勢能的計算

這里所說的勢能計算,主要是指在一個物體系統(tǒng)中既有重力勢能又有彈性力勢能的情況下,如何選擇勢能零點而使勢能計算方便、簡潔的問題.這對初學者來說是一個難點.最典型的例子就是一個單自由度的彈簧振子在運動過程中任意位置時的勢能計算,如圖1(a)所示,物塊質(zhì)量為 m,彈簧的彈性系數(shù)為k,l為彈簧的原長,δst為靜平衡時彈簧的靜伸長.為了說明問題方便,將其勢能計算過程詳細羅列如下.取靜平衡位置為坐標原點及重力勢能和彈性力勢能的零點,則物塊在任意位置時的勢能為

圖1

考慮到靜平衡時受力如圖1(b)所示,此時 Fks的大小為

由物塊平衡可得

代入式(1)得

由此可以得出結論:當選擇靜平衡位置為勢能零點時,則系統(tǒng)在任意位置時的勢能就等于彈簧相當于以靜平衡位置為原長到該位置的變形(伸長或壓縮)所產(chǎn)生的彈性力的勢能.

有了上述結論,在計算類似問題的勢能時就會帶來很大的方便,但是,如何解釋得到這個結論的原因,上述結論能否推廣、怎樣推廣,現(xiàn)行教材對此問題的討論是有缺失的.

現(xiàn)行教材一般不明示得到上述結論的過程及原因,更不討論上述結論的推廣條件,而是在遇到具體問題時直接應用上述結論,這就給初學者在這個問題上帶來了很大的困惑與困難.實際上從式(1)、(3)可以看出,之所以可以得到式(4)這樣一個簡單的結果,其原因主要是物塊的重力與彈簧的靜伸長所產(chǎn)生的彈性力在位移 x上做的功大小相等,正負相抵所致.但是,能否從大小相等,正負功相抵這樣一個表象或原因出發(fā)去挖掘問題更本質(zhì)的內(nèi)涵,進而可以對問題從概念上有更深層次的理解,在計算上不必通過功的繁瑣計算就可以得出最終簡潔的結果并給出其推廣條件呢?筆者認為是完全可以做到的,也是必要的.

為此,先分析物塊在任意位置 x處的受力,如圖1(c)所示,此時 Fk的大小為

由式(3)及圖1(b)可知,重力 mg和彈簧靜伸長的彈性力Fks構成了一個平衡力系,由力學中的加減平衡力系公理可知,對于任意一個剛體,對其加上或減去一個平衡力系不影響原力系對剛體的作用效果,據(jù)此對圖1(c)的物塊減去 mg與 Fks組成的平衡力系,其受力情況如圖1(d)所示,此時 F′k的大小為

也就是說,當從圖1(c)中的物塊上去掉一個平衡力系后,該物塊在任意位置所受的力就相當于一個無重物塊受一個從坐標原點為原長(即彈簧的靜伸長處)算起的彈簧伸長所產(chǎn)生的彈性力的作用,如果這時把該坐標原點選為該彈性力勢能的零點,則可以立即得到式(4)的結果.

圖2

由此可見,如果用加減平衡力系公理來解釋式(4)的結果,或者說用該公理來指導勢能的計算,不僅從概念上很清晰,而且它觸及了問題的本質(zhì),從而使勢能計算不必再通過繁瑣計算而獲取結果,更重要的是,用減去一個平衡力系的方法來指導在任意位置的振動系統(tǒng)的勢能計算,不僅可以將式(4)的結果推廣到重力勢能與彈性力勢能其勢能零點在同一點上的情況,而且還可以推廣到重力勢能與彈性力勢能其勢能零點不在同一點的情況;既可以用到彈簧振子上,又可以推廣到其他振動系統(tǒng)上;既可以用到單自由度的情況,又可以推廣到多自由度的情況,并且概念清晰,計算簡單.例如對于圖2(a)所示兩個自由度的振動系統(tǒng),分別選 x1、x2為廣義坐標,選兩個物塊的靜平衡位置 O1、O2為坐標 x1、x2的原點,則利用加減平衡力系公理可以將其受力簡化為圖2(b)所示的情況,分別以兩個坐標原點為物塊1、彈簧1的勢能零點和物塊2、彈簧2的勢能零點,因此很容易求得其勢能表達式為

再例如對于圖2(c)所示的單自由度振動系統(tǒng),將圓輪、物塊的重力勢能零點分別選在各自靜平衡所在的O和O2點,將彈簧的彈性力的勢能零點選在O1點,并假設鉸鏈 O為理想約束,則以同樣的方法處理,可以求得其在任意位置的勢能為

或

而對于圖2(d)所示的單自由度系統(tǒng),如果靜平衡時OA桿水平,則利用加減平衡力系公理,并假設鉸鏈O為理想約束,則 OA桿在任意位置的勢能為

從上述討論可以看出,當應用加減平衡力系公理之后,實際上是把計算重力勢能與彈性力勢能之和的問題變成了僅僅只需要計算彈性力勢能的問題,從而避開了初學者在選擇重力勢能零點與彈性力零點時所出現(xiàn)的對這兩個勢能零點是否應該重合或不重合的困惑,這樣做不僅概念清楚,對問題的解釋更科學,更觸及本質(zhì),而且計算簡單.

還需要指出的是,并不是所有需要考慮重力勢能與彈性力勢能的振動系統(tǒng)都可以應用加減平衡力系公理來簡化勢能的計算.例如圖3所示的振動系統(tǒng),如果該系統(tǒng)的靜平衡位置如圖所示,且其彈簧在靜平衡時為原長(或有靜變形δst),則該系統(tǒng)在計算其在任意位置的勢能時就需要同時計算重力勢能與彈性力勢能,就是用了加減平衡力系公理也不能簡化勢能的計算.這是因為應用加減平衡力系公理能否簡化勢能計算取決于是否同時滿足下列兩個條件:一是在靜平衡時系統(tǒng)所受平衡力系中是否存在由彈簧靜變形而產(chǎn)生的彈性力;二是在靜平衡時彈簧的靜變形是否是由振動

圖3

從上述討論可以看出,一些在計算上并不復雜的問題,卻涉及一些很基本、很重要的概念問題.這些問題往往會影響到初學者對一些結論的理解與應用,因此在教材和教學中應該對這些問題有所表述,因為不能期望學生在初次學習中就能領會到那些教師經(jīng)過多年教學實踐才悟到的概念真諦.

總之,教材的編寫是一項要求非常嚴謹、非?？茖W、非常規(guī)范的工作,對理論的講述,結論的解釋,物理概念定義,問題的提法,基本量的計算都應該精益求精,慎之又慎,使之真正成為教師講授與學生學習的基本依據(jù).

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2008-08-28)