蟻群算法在非圓弧滑動面邊坡穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

蔣 莉，郭 強，劉憲亮

（1.華北水利水電學(xué)院，河南 鄭州 450011；2.中水北方勘測設(shè)計研究有限責(zé)任公司，天津 河西 300222；3.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004）

0 引言

在邊坡穩(wěn)定分析中，如果目標函數(shù)為凸函數(shù)，且搜索空間比較規(guī)則，應(yīng)用傳統(tǒng)的分析方法容易得到最優(yōu)解。 但復(fù)雜條件下的邊坡穩(wěn)定性分析是一個含多極值點、目標函數(shù)無確切表達式的非線性規(guī)劃問題，對這種問題，再用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法就難以搜索到全局最優(yōu)解(最危險滑動面)。 蟻群算法(Ant Colony Algorithm)是意大利學(xué)者Marco. Dorigo 等人在自然界蟻群集體行為特征的啟發(fā)下提出來的一種新型仿生算法。 該算法對目標函數(shù)無特殊要求，適用于目標函數(shù)為高度非線性、非凸或離散型的最優(yōu)化模型。本文試運用蟻群算法，并結(jié)合斯賓塞（Spencer）法，對非均質(zhì)邊坡進行穩(wěn)定分析，通過對非圓弧滑動面的搜索，確定最危險滑動面位置及其對應(yīng)的最小安全系數(shù)。

1 蟻群算法簡介

1.1 蟻群算法的思想起源[1]

自然界中，螞蟻、蜜蜂、飛蛾等群居昆蟲個體行為極其簡單，但由多個個體組成的群體卻呈現(xiàn)出有規(guī)律的行為。 螞蟻在搜索食物源并搬運食物回巢穴時，其個體之間通過一種稱之為信息素(Pheromone)的化學(xué)物質(zhì)進行信息傳遞。 每只螞蟻能夠在它所經(jīng)過的路徑上釋放、感知這種化學(xué)物質(zhì)，并能夠根據(jù)該化學(xué)物質(zhì)的強弱決定自己的運動方向。 由此蟻群的集體行為就表現(xiàn)出一種信息正反饋現(xiàn)象：某一路徑上走過的螞蟻數(shù)越多，留下的信息素痕跡(Trail)就越多，后來螞蟻選擇該路徑的概率也就越大。 螞蟻群體正是通過這種行為最終找到通往目的地的最佳路徑的。

1.2 蟻群算法的優(yōu)點

受蟻群這種集體行為啟發(fā)而提出的蟻群算法是基于種群進化的算法，易于實現(xiàn)分布式并行計算，且具有靈活性和開放性，可通過移植、雜交等方法同其他算法相結(jié)合，以改善算法的性能，或形成新的算法。它通過對目標函數(shù)的自適應(yīng)來調(diào)整螞蟻的搜索行為， 并通過路徑選擇過程中的多樣性來保證得到更多的搜索空間，能夠?qū)Χ嘧兞?、非線性的復(fù)雜問題進行優(yōu)化，并快速地得到全局最優(yōu)解。 蟻群算法首先應(yīng)用于求解TSP 問題(Traveling Salesman Problem，旅行商問題)，并取得了較好的效果。 由于具有較強的魯棒性，對蟻群系統(tǒng)模型稍加修改，便可用來求解其他類型的規(guī)劃或決策問題。

1.3 應(yīng)用蟻群算法應(yīng)遵循的規(guī)則

蟻群算法在完成整個任務(wù)的過程應(yīng)遵循如下規(guī)則：（1）螞蟻觀察到的范圍為一個方格形狀，并且移動的距離也在此范圍內(nèi)，每只螞蟻僅能感知其范圍內(nèi)的環(huán)境信息。 （2）螞蟻在可感知的范圍內(nèi)覓食或?qū)は佈?，如果存在目標，直接過去，否則，看是否有信息素，并朝信息素濃的方向前進。 （3）每只螞蟻都朝信息素最濃的方向移動，如果周圍沒有信息素誘導(dǎo)，螞蟻將按照自己的原運動方向前進。（4）若螞蟻的移動方向被障礙物遮擋，它會隨機地選擇其他方向;如果有信息素指引，它將朝信息素濃的方向前進。 （5）每只螞蟻在剛找到食物或者蟻穴時散發(fā)的信息素最多，隨著所走距離的增加，信息素以一定速率在環(huán)境中揮發(fā)。

2 蟻群算法對非圓弧滑動面的搜索

2.1 基本思路

工程上對非圓弧臨界滑動面安全系數(shù)的求解主要有簡布法、摩根斯坦一普賴斯法以及沙爾瑪法等。 斯賓塞法是摩根斯坦一普賴斯法的一個特例，它假定土條側(cè)向力為常數(shù)，在很多情況下，采用該法所得的安全系數(shù)滿足工程要求[2]。 本文使用斯賓塞法計算邊坡的安全系數(shù)，其計算公式和計算方法可參見文獻[2]。

由于臨界滑動面所對應(yīng)的安全系數(shù)是所有可能滑動面對應(yīng)安全系數(shù)的最小值，因此，可將在邊坡穩(wěn)定中搜索臨界滑動面的問題視為螞蟻搜尋最佳路徑的問題。 采用蟻群算法搜索非圓弧滑動面邊坡的臨界滑動面的步驟為：（1）劃分網(wǎng)格，使邊坡體離散（如圖1 所示），并將入口區(qū)和出口區(qū)坡面上的各點分別引向虛擬點START 點和END 點。 滑體入口點至START 點和逸出點至END 點只作引導(dǎo)螞蟻搜索滑動面用，不參與邊坡安全系數(shù)計算。 （2）設(shè)置一定數(shù)量的人工螞蟻，每只螞蟻從START 點出發(fā)，隨機地向END 點移動。人工螞蟻在網(wǎng)格頂點間爬行的路徑即可視為邊坡的任一滑動面。 （3）計算每只螞蟻走過路徑的安全系數(shù)值。 該值與螞蟻在路徑上留下的信息素強度有關(guān)。 由于每只螞蟻在它所經(jīng)過的路徑上留下了不同數(shù)量的痕跡，因此，每次循環(huán)后，螞蟻選擇路徑的概率都會改變。 對于最佳路徑，即安全系數(shù)最小的滑動面，留在其上的信息素量會越來越大， 螞蟻選擇這條路徑的概率也會越來越大，最終所有的螞蟻都會選擇這條路徑。

圖1 邊坡體離散及滑動面搜索Fig.1 Slope discrete and search for slip surface

2.2 數(shù)學(xué)模型

邊坡穩(wěn)定分析中，目標函數(shù)是Min(Fs)，即尋找令Fs最小的路徑。 根據(jù)路徑上信息素強度的不同，螞蟻以不同的概率選擇路徑，最終找到令目標函數(shù)成立的路徑。而螞蟻只能在一定范圍內(nèi)移動，如圖1中的一些結(jié)點即為螞蟻可以移動的范圍。 這個范圍就是問題的約束條件，而這些點的密集程度影響著所求解的精確。

為解決滿足工程實際問題的需要，應(yīng)構(gòu)建如圖2 所示的多階段不完全序貫決策問題。 由圖2 可能看出，在起點B 與終點E 之間有N 層結(jié)點，它們將問題分成N+1 個階段。 在問題的決策過程中，從起點B 始，在入口區(qū)根據(jù)決策準則進入第u 層的第一個結(jié)點(u，1)(u∈{1,2,…,q})，然后按順序逐層決策，至出口區(qū)第v 層的第一個結(jié)點(v，1)v∈{q,q+1, …,N}，最后到達終點E。

圖2 多階段不完全序貫決策問題Fig.2 Multistage incomplete sequence decision-making problem

根據(jù)蟻群算法基本原理，假設(shè)(r，i)表示第r 層中的第i 個節(jié)點，(r＋1，j)表示第r+1 層中的第j 個結(jié)點。[(r，i)，(r＋1，j)]表示結(jié)點(r，i)到結(jié)點(r＋1，j)的連線，則t 時刻螞蟻k 由起點B 轉(zhuǎn)移至結(jié)點(u，1)，或者由結(jié)點(r，i)轉(zhuǎn)移到結(jié)點(r＋1，j)的轉(zhuǎn)移概率可表示為

式中： τ[(r,i),(r+1,j)](t)為時刻t 在節(jié)點(r，i)、(r＋1，j)連線上殘留的信息素痕跡強度(Intensity),初始時各條路徑上信息素痕跡強度相等,即τij(t)=0(或設(shè)定等于某個常數(shù)C)；η[(r,i),(r+1,j)](t)為時刻t 在節(jié)點(r，i)、(r＋1,j)連線上的信息素痕跡能見度(Visibility)，且η[(r,i),(r+1,j)](t)=1/d[(r,i),(r+1,j)](t),d[(r,i),(r+1,j)]為點(r，i)至(r＋1，j)的距離；α、β 分別表示信息素痕跡強度和能見度在螞蟻選擇路徑時的相對重要程度指數(shù)(α≥0、β≥0)；Ji(k)為處在位置i 的螞蟻k 下一步允許選擇的區(qū)位集合。

由于人工蟻群系統(tǒng)具有一定的記憶功能，它們能記住已走過的城市，若用tabuk(k=1,2,…,m)記錄螞蟻k 目前已走過的區(qū)位，則有Ji(k)={0,1,…,n}-tabuk。式（1）中的關(guān)鍵是如何確定殘留在路徑上的信息素強度τ[(r,i),(r+1,j)]和調(diào)整項η[(r,i),(r+1,j)]。 對于η[(r,i),(r+1,j)]，本文采用均勻分布法,即螞蟻由條分線r 轉(zhuǎn)移到條分線(r＋1)時，條分線上的每點被選中的概率相等。 此時

人工蟻群保留了自然蟻群信息素揮發(fā)的特點，隨著時間的推移，以前留下的信息素逐漸消逝。 參數(shù)ρ(0≤ρ＜1)表示信息素的持久性， 1-ρ 則表示信息素的衰減度。 τ[(r,i),(r+1,j)](t)經(jīng)過一次循環(huán)后按式（3）調(diào)整。

此時， 建立起安全系數(shù)與信息素之間的關(guān)聯(lián)，Δτk[(r,i),(r+1,j)]的值由式（4）確定。

式中：Fsk為第k 只螞蟻本次所搜索到的滑動面的安全系數(shù)；Q∈(1,10)為常數(shù)。

2.3 計算過程

（1）初始時刻t＝0。 對每條路徑[(r,i),(r+1,j)](r＝1,…,N；i＝1,…,Mr；j＝1,…,Mr+1)，置τ[(r,i),(r+1,j)](0)=較小的正常數(shù)、Δτ[(r,i),(r+1,j)]＝0。 將m 個螞蟻置于START 點，如圖1 所示。

（2）讓每只螞蟻從START 點走到END 點，中間所走的路徑根據(jù)每條路徑上的概率來決定。 走完全程的路徑就可作為一個邊坡的滑動面進行計算，即每個螞蟻分別獨立地按式（1）計算轉(zhuǎn)移概率，并追蹤生成有效的滑動面。

（3）計算每只螞蟻走過路徑所生成滑動面的安全系數(shù)值Fsk(k＝1,2,…,m)，所有安全系數(shù)值中的最小值為最優(yōu)解。

（4）每只螞蟻走完一個路徑后，會在其所經(jīng)過的路徑上留下一定的信息素，即為Δτk[(r,i),r+1,j]＝0，信息素量的大小與其路徑生成的滑動面對應(yīng)的安全系數(shù)值有很大關(guān)系，安全系數(shù)越小，留下的信息素量就會越大。 對各螞蟻及路徑[(r,i),(r+1,j)]，按式（2）～（4）分別計算η[(r,i),(r+1,j)]、Δτk[(r,i),(r+1,j)]和τ[(r,i),(r+1,j)](t)，然后計算轉(zhuǎn)移概率。

（5）令t＝t＋1。若t≥tmax（tmax為預(yù)定的最大循環(huán)次數(shù)），則輸出最佳路徑（即最危險滑動面）和最小安全系數(shù)值，否則，繼續(xù)搜索滑動面。

以上過程使用Fortran 語言編制蟻群算法邊坡穩(wěn)定程序， 在安全系數(shù)計算過程中， 使用斯賓塞（Spencer）法。

3 算例分析

3.1 基本資料

某非均質(zhì)邊坡[3]，剖面形狀如圖3 所示。 設(shè)該邊坡由3 種材料組成，材料的性質(zhì)如表1 所示。

圖3 非均質(zhì)邊坡剖面圖Fig.3 Heterogeneity slope section

表1 邊坡材料力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanic parameters of slope material

3.2 計算結(jié)果分析

將滑動體剖面用條分法分為21 條，條分線的間距為1.5m， 每條條分線上的節(jié)點間距為0.5m。取m=60、α=1.0、β=5.0、ρ=0.6、tmax=100，Q＝5， 運用蟻群算法進行邊坡臨界滑動面的搜索， 得到安全系數(shù)Fs為1.356， 最危險滑動面位置如圖4 所示。對于該非均質(zhì)土坡， 用遺傳算法計算的結(jié)果為1.377[4]，不同方法安全系數(shù)計算結(jié)果比較如表2 所示。

從計算結(jié)果可以看出，用蟻群算法計算出的安全系數(shù)與其他方法的計算結(jié)果很近似。 這說明蟻群算法在非圓弧滑動面的搜索中是適用的，并且蟻群算法所得到的計算結(jié)果比其他方法的結(jié)果的誤差更小，即蟻群算法很容易得到對應(yīng)安全系數(shù)最小的臨界滑動面，在精確地搜索邊坡最危險滑動面及其對應(yīng)的安全系數(shù)上可行的。

表2 不同方法計算邊坡最小安全系數(shù)結(jié)果Table 2 The minimum safe index results of different calculation methods

圖4 臨界滑裂面位置Fig.4 Critical slide plane's location

4 結(jié)語

經(jīng)算例計算證明，運用蟻群算法結(jié)合斯賓塞法,在分析非均質(zhì)邊坡穩(wěn)定性時， 能夠成功地搜索到臨界非圓弧滑動面及其對應(yīng)的最小安全系數(shù)， 所以運用蟻群算法解決復(fù)雜邊坡穩(wěn)定分析問題是適用和可行的。 經(jīng)與其他計算方法相比，蟻群算法算得的安全系數(shù)更小。 這說明該算法在精確地搜索邊坡最危險滑動面及其對應(yīng)的安全系數(shù)上具有一定的優(yōu)越性。

[1] Dorigo M.Ant system：optimization by a colony of cooperation agents. IEEE Trans on SMC-Part B，1996.

[2] 錢家歡，殷宗澤. 土工原理與計算[M]. 2 版.北京：中國水利水電出版社，1997.

[3] 陳祖煜. 土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析：原理、方法、程序[M]. 北京：中國水利水電出版社.2003.

[4] 溫新麗，郭強. 改進遺傳算法在邊坡穩(wěn)定非圓弧互動面搜索中得應(yīng)用[J]. 浙江水利水電?？茖W(xué)校學(xué)報，2007（04）：51-54.