例談變式在初中數學教學中的作用

● (大麻鎮(zhèn)中心學校 浙江桐鄉(xiāng) 314514) ● (邵逸夫中學 浙江桐鄉(xiāng) 314511)

例談變式在初中數學教學中的作用

●徐利國(大麻鎮(zhèn)中心學校 浙江桐鄉(xiāng) 314514) ●許偉龍(邵逸夫中學 浙江桐鄉(xiāng) 314511)

所謂變式，就是在引導學生認知事物屬性的過程中，不斷變更所提供的直觀材料或事例呈現(xiàn)的形式，使事物的非本質屬性時隱時現(xiàn)，而本質屬性保持恒定.在新課程實施過程中，初中數學教學的主要任務還是讓學生掌握數學基本知識、基本技能、基本的數學思想及對運算能力、空間想象能力、邏緝思維能力、分析與解決問題能力等的培養(yǎng).教師要充分利用變式進行變式訓練，有意識地把教學過程變?yōu)閿祵W思維活動的過程，從而提高學生的解題能力.

1 在命題中變式

在多前件的命題中，把后件與前件作一對一的交換，得到的新命題被稱之為偏逆命題.根據邏輯關系，當原命題為真時，偏逆命題則恒真.根據這一特點，可編撰很多題目.

圖1

例1已知：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于點F，交AB于點E，交CA的延長線于點D.求證：AD=AE.

變式1如圖1，在△ABC中，DF⊥BC，交AB于點E，AD=AE.求證：AB=AC.

變式2如圖1，在△ABC中，AB=AC，DF交AB于點E，交CA的延長線于點D，AD=AE.求證：DF⊥BC.

深度思考

我們發(fā)現(xiàn)，通過對命題前、后件的交換，可以讓學生多角度獲得變式知識，多感觀獲得變式體驗.變式是手段，提升是目的.在變式與提升之間，建立起必然聯(lián)系就是數學思維.

變式是學生主體在教學活動中個性化的感受，這種感受的最初形態(tài)是凌亂、感性的，要成為學生個體的知識還需要有一個內化的過程，需要進行自我建構，自主地對感性狀態(tài)的變式體驗進行歸納、整合，獲得對表象性的體驗的深度認識.因此，對數學變式思考的深入，能讓學生將粗淺的知識升華，讓學生的數學思維走向深刻.

2 在集合中變式

已知全集U，欲求子集A，如果直接求A比較麻煩，那么可考慮先求的補集CUA，再求A=CU(CUA).其實質是通過2次否定實現(xiàn)一次肯定，這也是哲學思想上的否定之否定規(guī)律在數學中的具體表現(xiàn).因此，在解此類題目有困難時，可以充分利用這個特點，轉變思路，從補集的角度入手.

分析“至少有1個方程有2個不相等的實數根”包含著3種情況，分別討論較繁.而通過補集概念來證明非常簡單，因為它的反面只有一種情況，即“沒有一個方程有2個不相等的實數根”.

證明假設在3個方程中沒有一個方程有2個不相等的實數根,則3個方程的判別式

Δ1≤0，Δ2≤0，Δ3≤0，

于是

因為

所以

由于a,b,c均為正數，因此

這與式(1)矛盾.故假設“在3個方程中，沒有一個方程有2個不相等的實數根”是錯誤的，從而原命題結論正確.

深度思考

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”學生的認知發(fā)展是有規(guī)律的，變式教學是學生獲取解題方法的有效途徑.張光鑒在《相似論》中指出，如果在問題求解時，某個偶然的機會，相似塊與問題求解的信息度達到高度的相似結合與相似匹配，產生了某種共振狀態(tài)，信息的幅度就會大大增加.因此，在某種意義上說，變式教學的過程就是相似信息的共振過程，或者說是由相似信息的共振引起的.這樣的教學設計完全擺脫了學生機械地判斷，可以優(yōu)化學生的思維品質，從而促使學生數學思想的發(fā)展.

3 在證明中變式

有些數學問題直接從已知出發(fā)進行推理，能得出的結論甚少,此時可以用間接的證法——反證法證明.當然，用反證法要考慮清楚原結論的反面，掌握證明適用的范圍.

例3已知凸四邊形ABCD,求證：這個凸四邊形一定可以被分別以AB，BC，CD，DA為直徑的半圓所覆蓋.

圖2

分析如圖3，由半圓可以想到以AB，BC，CD，DA為斜邊的直角三角形.連結AC，作DF⊥AC于點F，BE⊥AC于點E，則四邊形ABCD被4個直角三角形△ABE，△BCE，△CDF，△ADF所覆蓋.因為以AB，BC，CD，DA為直徑的4個半圓分別覆蓋4個直角三角形，所以這4個半圓覆蓋四邊形ABCD.

這就是正面的思考，主體工作已經完成，需要細致思考的是點E,F可能在AC的延長線上，如圖3或圖4所示，結論也成立.此時，對比下面的反證法可知，反證法顯得更緊湊、有力.

圖3 圖4

證法1以AB，BC，CD，DA為直徑在四邊形內作4個半圓.設點P為四邊形ABCD內一點，若點P不被這4個半圓的任一個覆蓋，則在4個半圓之外.連結PA，PB，PC，PD，則

∠APB<90°，∠BPC<90°，

∠CPD<90°，∠DPA<90°,

相加得

360°=∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

這一矛盾說明，點P必被某一半圓所覆蓋.

這個證法的關鍵是利用了圓周角等于360°，若先使用這一知識，把推理反過來，又得出一個正面證法.

證法2取四邊形ABCD內一點P，連結PA，PB，PC，PD,則∠APB，∠BPC，∠CPD，∠DPA中的最大角必非銳角.記∠APB≥90°，則點P被以AB為直徑半圓覆蓋.

以上說明，若經常利用變式的思維，則可以使命題的證明更有力，同時也可以提升學生解題能力的層次.

深度思考

數學教學離不開反面猜想，反面猜想是一種難度較大的跳躍性的創(chuàng)造性思維，是人的思維在已有事實和經驗上，運用非邏輯手段而得到的一種合理的假設推理.在數學的發(fā)展史上，有使用反證法的不少典范，學生應該掌握這一基本的證法.在數學教學中，這樣的教學設計可以讓學生在正面與反面的強烈反差中產生一種震撼，經歷此心理活動后往往會給學生留下深刻的印象，從而強化對變式觀念的建立.

4 在習題中變式

課本習題中有許多基本的題目，只要仔細挖掘，就能讓學生得到變式的訓練.

課例4如圖5，A，B，C，D這4個點在一條直線上，問圖中有幾條線段？是哪幾條？

解從左到右找線段，以A為起點的線段有AB，AC，AD這3條，以B為起點的有BC，BD這2條，以C為起點的有CD一條，因此圖5中共有線段3+2+1=6條.

圖5 圖6

此題有以下多種變式：

(1)數線段：一條線段上有n個點A1,A2,A3,…,An，以任意2個點為端點的線段共有多少條？

解在直線上依規(guī)律從左到右找線段，以A1為端點的有(n-1)條,以A2為端點的有(n-2)條，以A3為端點的有(n-3)條,…,以An-1為端點的有1條.因此，共有線段

(2)數角：如圖6，同一平面上有個n個點A1,A2,A3,…,An，以O為端點作射線OA1,OA2,OA3,…,OAn，則圖中共有多少個角？

解在射線上依規(guī)律從左到右，以OA1為始邊的有(n-1)個角，以OA2為始邊的角有(n-2)個，以OA3為始邊的角有(n-3)個,…,以OAn-1為始邊的角有1個.因此，圖中共有角

(3)數三角形：如圖7所示，一條直線上有n個點A1,A2,A3,…,An，點O是直線外一點，順次連結OA1，OA2，OA3,…,OAn，則圖中共有多少個三角形？

解在直線上依規(guī)律從左到右找線段，以點A1為端點的有(n-1)條,以點A2為端點的線段有(n-2)條，以點A3為端點的線段有(n-3)條,…,以點An-1為端點的線段有1條.因此，圖中共有三角形

(4)數平行四邊形.

圖7 圖8

①現(xiàn)有縱、橫2組平行線相交，每組5條，如圖8，則圖中有多少個平行四邊形？

解因為每一條直線與一組平行線相交可得5個點，所以平行四邊形有

②縱、橫2組平行線相交，如果縱向有m條，橫向的有n條，那么這2組平行線可構成多少個平行四邊形？

解因為橫向上每條直線被縱向上的平行線截為m個點，而縱向上每條直線被橫向上的平行線截為n個點，所以平行四邊形有

深度思考

“多種變式體驗”需要建立聯(lián)系.通過以上例子，我們發(fā)現(xiàn)讓學生思維閃光的前提是：教師合理設計變式體驗活動，將獨立的材料按照一定的順序進行排列、整合，同時巧妙地加以引導，這樣才能讓零散的思維聚集為有序的推理.

從獨立走向整合.當“獨立”的素材進行“整合”時，學生思維的深度也就自然而然地顯現(xiàn)出來.在經歷比較、分析之后，學生的思考變得有序、推斷變得合理.這也正是教師希望達到的境界：直觀的變式體驗喚醒學生深入的思考，具體的感知提升為抽象的認識！

“讓學生數學學習經歷變式的過程”伴隨著課改的步伐正與我們共同前行！體驗數學變式學習的必要性，經歷數學思想方法的概括過程，認清知識應用的廣泛性及與生活的聯(lián)系，才能更好地調動學生學習的主動性，使學生的數學思維不僅敏捷而且靈活，不僅深刻而且獨創(chuàng).

“心中悟出始知深.”變式可以簡單，而思維必須深刻！結合以上5個例子的教學實踐，筆者認為，如果平時能夠充分鉆研題目，注重變式教學，并運用于教學實際，讓學生積極、主動地參與教學的全過程，調動和展示學生的思維，使學生在思維中形成一般性的“定勢”，從而有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，這樣學生一定會收益匪淺，并真正把能力的培養(yǎng)落到實處.

[1] 羅增儒.初中數學奧林匹克[M].南寧：廣西教育出版社，2001.

[2] 毛顯勇.數學教學[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3] 王萬勇.數學大世界[M]．長春：世界圖書出版公司，2003.

[4] 何乃忠.新課程有效操作教學解讀[M].南寧：廣西教育出版社，2008.