Fitzhugh-Nagumo方程行波解及孤立波解

陳自高, 張金輝

(華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450011)

非線性發(fā)展方程被廣泛用來描述科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)各種復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，因而如何求解這些非線性發(fā)展方程具有重要的意義．近年來，多種獲取非線性發(fā)展方程精確解的方法陸續(xù)被提出，如齊次平衡法[1]，雙曲正切函數(shù)法[2]，試探函數(shù)法[3]， sine-cosine法[4]，擴(kuò)充的雙曲正切函數(shù)法[5]，修正的雙曲正切函數(shù)法[6]， Jacobi橢圓函數(shù)展開法[7-8]，F(xiàn)展開法[9-17]等．這些推廣的方法都是通過用一個(gè)輔助方程的解來替代雙曲正切函數(shù)法中的雙曲正切函數(shù)來實(shí)現(xiàn)的，這表明如果選擇不同的輔助方程就可以得到非線性發(fā)展方程不同的精確解．但這種方法以選取的輔助方程能夠引出新的孤立波解為前提，故問題的關(guān)鍵在于如何選取合適的輔助方程． 注意到以上所利用的輔助方程一般都是常系數(shù)的，對(duì)于變系數(shù)的輔助方程很少有作者進(jìn)行研究．本文在Bernoulli輔助方程的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的推廣，把常系數(shù)的Bernoulli輔助方程改進(jìn)為變系數(shù)的，并利用它的解給出非線性發(fā)展方程的精確解．由于輔助方程的變系數(shù)特點(diǎn)，故利用改進(jìn)的變系數(shù)Bernoulli輔助方程可以得到非線性發(fā)展方程較為豐富的精確解．

反應(yīng)擴(kuò)散方程是非常重要且應(yīng)用廣泛的一類偏微分方程，它描述了生物學(xué)中物種數(shù)量的遷徙變化，人體或動(dòng)物等復(fù)雜的組織發(fā)育形成的過程，人體生理學(xué)中的種種現(xiàn)象以及許多有趣的化學(xué)反應(yīng)，具有強(qiáng)烈的實(shí)際意義．一類反應(yīng)擴(kuò)散方程

ut-uxx-u(1-u)(u-a)=0

(1)

就是一種簡單形式的Fitzhugh-Nagumo反應(yīng)擴(kuò)散方程，其中f(u)=u(1-u)(u-a)稱為擴(kuò)散源．在生物學(xué)中，此方程是一類描述神經(jīng)再生及傳播的演化方程，由該方程可推演出鈮(Nb)分子的性質(zhì)；該方程還從生物現(xiàn)象學(xué)的角度就肌球蛋白分子球形部分Ⅱ的行為給予描述[18]．該方程不僅應(yīng)用在生物群體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，還廣泛出現(xiàn)在生化反應(yīng)的文獻(xiàn)中．因此，研究Fitzhugh-Nagumo方程的精確解在理論和應(yīng)用方面都具有重要意義．

本文主要利用變系數(shù)Bernoulli輔助方程法，并借助數(shù)學(xué)符號(hào)軟件Mathematica，給出了方程(1)新的顯式精確解，其中包括一般形式的行波解、扭狀正則孤立波解和奇異孤立波解．

1 變系數(shù)Bernoulli輔助方程法

假設(shè)給定一個(gè)(1+1)維非線性偏微分方程

F(u,ux,u1,uxx,uxt,utt,…)=0,

(2)

這里的F是關(guān)于u=u(x,t)和它的各階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，其中包含非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)．下面，我們簡要地介紹變系數(shù)Bernoulli輔助方程法的主要步驟．

第一步：設(shè)方程(2)具有行波解

u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct,

(3)

其中，k和c是待定常數(shù)．行波變換(3)把方程(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程

F(u,u′,u″,…)=0.

(4)

第二步：假設(shè)方程(4)的解可以表示為函數(shù)ω(ξ)的如下多項(xiàng)式：

(5)

這里的正整數(shù)n由平衡方程(4)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與非線性項(xiàng)所確定，αi(ξ)(i=0,1,2,…,n)是待定函數(shù)，ω(ξ)滿足下面的變系數(shù)Bernoulli輔助方程：

ω′(ξ)=ω(ξ)+q(ξ)ω2(ξ),

(6)

其中，q(ξ)為關(guān)于ξ的單變?cè)瘮?shù)．

第三步：把式(5)代入方程(4)并考慮變系數(shù)Bernoulli輔助方程(6)，合并并整理ωi(ξ)相同次數(shù)的項(xiàng)，并令ωi(ξ)的各次系數(shù)為0得到關(guān)于ai(ξ)(i=0,1,2,…,n),q(ξ),k,c的常微分方程組．

第四步：從第三步得到的常微分方程組中解出ai(ξ)(i=0,1,2,…,n)，q(ξ),k,c,然后便可得到了方程(6)的解ω(ξ)，把方程(6)的解ω(ξ)以及ai(ξ)(i=0,1,2,…,n),q(ξ),k,c代入式(5)，便得到了方程(2)的行波解．

注1 變系數(shù)Bernoulli輔助方程(6)的解為

(7)

其中，c1為積分常數(shù)．

2 Fitzhugh-Nagumo方程的精確解

設(shè)方程(1)具有行波解

u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct,

(8)

其中，k和c是待定常數(shù)．行波變換(8)把方程(1)化為關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程：

u3(ξ)-au2(ξ)-u2(ξ)+au(ξ)+cu′(ξ)-k2u″(ξ)=0.

(9)

由齊次平衡原則，考慮方程(9)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″(ξ)和非線性項(xiàng)u3(ξ)之間的齊次平衡，可設(shè)

u(ξ)=a1(ξ)ω(ξ),a1(ξ)≠0.

(10)

把式(10)代入方程(9)并考慮變系數(shù)Bernoulli輔助方程(6)，令ωi(ξ)的系數(shù)為0，則得到一個(gè)關(guān)于a1(ξ),q(ξ),k,c的常微分方程組

ω1: -a1(ξ)k2-2a1′(ξ)k2-a1″(ξ)k2+aa1(ξ)+

ca1(ξ)+ca1′(ξ)=0,

ω2: -3q(ξ)a1(ξ)k2-a1(ξ)q′(ξ)k2-

cq(ξ)a1(ξ)=0,

(11)

由常微分方程組(11)中的ω3可知

(12)

或

(13)

以下分兩種情況進(jìn)行討論.

情形1 將式(12)代入常微分方程組(11)中的ω2，并化簡得：

(14)

求解常微分方程(14)，得：

(15)

其中，c2為積分常數(shù)．將式(12)代入常微分方程組(11)中的ω1，并化簡得：

aq(ξ)+cq(ξ)+cq′(ξ)-q(ξ)k2-2q′(ξ)k2-q″(ξ)k2=0.

(16)

利用式(15)，求解常微分方程(16)得：

(17)

或

(18)

故由式(17)、(15)、(7)及式(12)，可得方程(1)的精確解：

(19)

又由式(18)、(15)、(7)及式(12)，可得方程(1)的另一精確解：

(20)

情形2 將式(13)代入常微分方程組(11)中的ω2，并化簡得：

(21)

求解常微分方程(21)得：

(22)

其中，c2為積分常數(shù)．將式(13)代入常微分方程組(22)中的ω1，并化簡得：

aq(ξ)+cq(ξ)+cq′(ξ)-q(ξ)k2-2q′(ξ)k2-q″(ξ)k2=0.

(23)

利用式(22)，求解常微分方程(23)，得：

(24)

或

(25)

故由式(24)、(22)、(7)及式(13)，可得方程(1)的精確解

(26)

又由式(25)、(22)、(7)及式(13)，可得方程(1)的另一精確解

(27)

取波數(shù)時(shí)，方程(1)有奇異孤立波解

注2 在變系數(shù)Bernoulli輔助方程法中，輔助方程的變系數(shù)q(ξ)是未知的函數(shù)，需要由常微分方程組確定．在這一點(diǎn)上，本文所采用的方法同其他的展開法有所不同．

注3 若取變系數(shù)Bernoulli輔助方程為：

ω′(ξ)=p(ξ)ω(ξ)+ω2(ξ),

(28)

其中，p(ξ)為關(guān)于ξ的單變?cè)瘮?shù)．類似地，可得到方程(1)的四組精確解

(29)

(30)

(31)

(32)

對(duì)于方程(1)的解(29)～(32)，取波數(shù)為特定值，同樣可以得到相應(yīng)的孤立波解．由于篇幅限制，這里從略．

參考文獻(xiàn)：

[1] WANG M L. Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J]. Phys切 Lett, 1995(A199):169-172.

[2] PARKES E J, DUFFY B R. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equations[J]. Comput. Phys Commun, 1996(98):288-300.

[3] 閆振亞，張鴻慶. 具有三個(gè)任意函數(shù)的變系數(shù)KdV- MKdV方程的精確孤子解[J]. 物理學(xué)報(bào)，1999, 48 (11): 1957-1961.

[4] YAN C. A simple transformation for nonlinear waves[J]. Phys Lett, 1996(A244):77-84.

[5] FAN E G. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations[J]. Phys Lett, 2000(A277): 211-218.

[6] ELWAKIL S A, ELLABANY S K, ZAHARAN M A, et al. Modified extended tanh-function method for solving nonlinear partial differential equations[J]. Phys Lett, 2002(A299): 179-188.

[7] PARKES E J, DUFFY B R, ABBOTT P C. The Jacobi elliptic-function method for finding periodic-wave solutions to nonlinear evolution equations[J]. Phys Lett, 2001(A295):280-286.

[8] LIU S K, FU Z T, LIU S D, et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J]. Phys Lett, 2001(A289):69-74.

[9] ZhOU Y B, WANG M L, WANG Y M. Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients [J]. Phys Lett, 2003(A308):31-36.

[10]WANG M L, ZHOU Y B. The periodic wave solutions for the Klein-Gordon-Schrdinger equations[J]. Phys Lett, 2003(A318):84-92.

[11]李向正, 張金良, 王躍明,等. 非線性Schdinger方程的包絡(luò)波解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2004, 53(12):4045-4051.

[12]WANG M L, LI X Z. Applications of F-expansion to periodic wave solutions for a new Hamiltonian amplitude equation[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2005, 24(6): 1257-1268.

[13]WANG M L, LI X Z. Exact solutions to double Sine- Gordon equation[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2006, 27(2): 477-486.

[14]ZHANG J L, WANG M L, LI X Z. Solitary waves for Cubic-Quintic nonlinear Schrdinger equation with variable coefficients[J]. Commun Theor Phys, 2006, 45(2): 343-346.

[15]LIX Z, WANG M L. A sub-ODE method for finding exact solutions of a generalized KdV-mKdV equation with high-order nonlinear terms[J]. Phys Lett, 2007(A361):115-118.

[16]WANG D S, LIU Y F, ZhANG H Q. Symbolic computation and families of Jacobi elliptic function solutions of the (2+1)-dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov equation [J]. Appl Math Comput， 2005(168): 823-847.

[17]ZhANG J F, DAI C Q, YANG Q, et al. Variable- coefficient F-expansion method and its application to nonlinear Schrdinger equation[J]. Opt Commun, 2005(252):408-421.

[18]WAZ A M. Analytic study on Burgers, Fisher, Huxley equations and combined forms of these equations[J]. Appl Math Comput, 2008(195):754-761.